सुपर मारियो गैलेक्सी समस्या

Question

मान लीजिए कि मारियो किसी ग्रह की सतह पर चल रहा है। यदि वह एक पूर्व निर्धारित दूरी के लिए, एक निश्चित दिशा में, एक ज्ञात स्थान से चलना शुरू करता है, तो हम कितनी जल्दी निर्धारित कर सकते हैं कि वह कहां रुकेगा?

$P$$s$$P$$v$$p$$\ell$$P$$P$

$P$$s$$v$$\ell$

$P$$O(1)$$\ell$$P$

(व्यवहार में, पथ की लंबाई वास्तव में अबाधित नहीं है; इनपुट का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या के संदर्भ में एक वैश्विक ऊपरी सीमा है। लेकिन पूर्णांक इनपुट पर जोर देने से कुछ बल्कि संख्यात्मक संख्यात्मक मुद्दे उठते हैं - हम वास्तव में कहां गणना करते हैं। बंद करने के लिए? - तो चलो वास्तविक आदानों और सटीक वास्तविक अंकगणित से चिपके रहते हैं।)

क्या इस समस्या की जटिलता के बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है?

$n$$[0,1]^2$$(0,1/2)$$(1,0)$$\lfloor \ell \rfloor$$\lfloor \ell \rfloor$$O(\log \ell)$$n$$\log \ell$

Comments

मैंने एक सरल समस्या के बारे में सोचा, वह यह है: हमारे पास एक सादा बहुभुज और एक निश्चित बिंदु से प्रकाश की किरण है। जब यह एक छोर तक पहुंचता है तो यह केवल प्रतिबिंबित हो जाता है। हम यह जानना चाहते हैं कि दी गई दूरी के बाद बीम अपनी यात्रा को कहां समाप्त करेगी। यह दिया जा सकता है (लगभग) इस एक को कम किया जा सकता है, एक पॉलीटोप लेकर जो किसी दिए गए बहुभुज के आकार में ऊपर और नीचे के किनारों के साथ बहुत छोटी ऊंचाई का प्रिज्म है। शायद इसे हल करने से पहले मदद मिल सकती है।

— julkiewicz

"टी] एन में बहुपद और लॉग एल" मेरे लिए कोई मतलब नहीं है। यदि यह l पर निर्भर करता है, तो यह P के निर्देशांक पर भी निर्भर होना चाहिए, और यदि आप इनपुट में सभी संख्याओं के लॉग को जोड़ते हैं, तो इनपुट के निर्देशांक को पूर्णांक तक सीमित करने पर इनपुट का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक बिट्स की संख्या है। मुझे लगता है कि आप वास्तविक जटिलता पर समय की जटिलता देख रहे हैं जब इनपुट को थोड़ा स्ट्रिंग के रूप में दिया जाता है।

— त्सुयोशी इतो

$\ell$

वास्तव में संबंधित नहीं है, लेकिन सुपर मारियो के एनपी-पूर्णता के बारे में यह पेपर वास्तव में आश्चर्यजनक है: arxiv.org/pdf/1203.1895v1.pdf

— Lamine

"शायद यही कारण है कि यह बहुत मूल्यांकन किया गया है," किसी ने कहा कि जटिलता सिद्धांत के बारे में पूरी तरह से उदासीन है।

— जेफ

Answer 1

यह समस्या बहुत कठिन है। हम इसे सरल बनाने के लिए इसे सरल बना सकते हैं, निम्नानुसार।

1. $P$$\pi$

2. हम मान सकते हैं कि पॉलीटॉप वास्तव में त्रि-आयामी नहीं है, बल्कि एक बहुभुज का "डबल" है; यह एक तकिया की तरह थोड़ा सा दिखता है। हम आगे भी सरल कर सकते हैं और मान सकते हैं कि बहुभुज के बराबर और समानांतर पक्ष हैं; उदाहरण के लिए, एक वर्ग के रूप में खेल Astroids में।

$O(\log(\ell))$

यदि हम तर्कसंगतता नहीं मानते हैं, लेकिन यह मानते हैं कि बहुभुज एक बहुभुज का दोहरा है, तो हम "तर्कहीन बिलियर्ड्स में अनुक्रम काटने" के सिद्धांत पर चर्चा कर रहे हैं। ऐसा लगता है कि अनिवार्य रूप से यहां कुछ भी ज्ञात नहीं है; उदाहरण के लिए कोरिन्ना उल्सिग्राई द्वारा इस वार्ता का अंतिम वाक्य देखें ।

अगर हम न तो धारणा बनाते हैं, तो ठीक है, मैं साहित्य में कुछ भी नहीं सोच सकता।

$O(\log(\ell))$

Answer 2

मुझे लगता है कि आप रैखिक से बेहतर कर सकते हैं। मैं सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में नया हूँ, इसलिए मुझे माफ कर दो अगर यह बकवास है।

कुछ सामान्य विचार (भिन्न मूल्य):

• यदि हम प्रत्येक पहलू को एक प्रतीक देते हैं, तो उनके ऊपर मारियो की कक्षा को एक स्ट्रिंग के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जहां स्ट्रिंग में अंतिम प्रतीक का उत्तर है।
• हम सामान्यता की हानि के बिना मान सकते हैं कि मारियो एक किनारे पर शुरू होता है (बस पीछे की ओर चलें और किनारे पर एल का विस्तार करें)
• पदों और कोणों के 2 डी स्थान को अगले किनारे से विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, किनारे से ए, एक्स इकाइयों को शुरू करते हुए, ए के कोण के साथ, हम एक पहलू को पार करने के बाद किनारे वी में समाप्त होते हैं।
• उस बिंदु पर हम एक और अभिविन्यास के साथ एक और किनारे पर हैं, इसलिए हम फ़ंक्शन को पुनरावर्ती रूप से अंतरिक्ष को 2-प्रतीक तार के विभाजन में विभाजित करने के लिए कॉल कर सकते हैं और इसी तरह।
• इस बिंदु पर हम समाप्त हो जाते हैं यदि हम कहते हैं कि समस्या को टीएम पर लागू करने के लिए स्थान को विवेकाधीन किया जाना चाहिए। इसका मतलब है कि प्रत्येक कक्षा को आवधिक होना चाहिए क्योंकि विवेकाधीन ग्रह पर केवल बहुत सारे बिंदु हैं। हम ऊपर वर्णित फ़ंक्शन की गणना कर सकते हैं जब तक कि हमारे पास सभी शुरुआती बिंदुओं के लिए परिक्रमा न हो और इस जानकारी को संग्रहीत न करें। तब समस्या ओ (1) बन जाती है।
• शायद यह एक पुलिस वाले का थोड़ा सा है। कुछ गुगली मुझे बताती है कि तर्कसंगत उत्तल बहुभुज के अंदर लगभग सभी बिलियर्ड कक्ष आवधिक हैं (यानी आवधिक कक्षा घने हैं)। तो (कहो) वर्ग ग्रहों के लिए एक ही दृष्टिकोण काम कर सकता है।
• एक अन्य तरीका यह होगा कि सिस्टम को एक स्ट्रिंग के जनरेटर / पहचानकर्ता के रूप में माना जाए (फिर प्रत्येक पहलू को अपना प्रतीक बताकर)। यदि भाषा में एक ज्ञात जटिलता वर्ग है, तो यह आपका उत्तर है। यदि आप बहुपत्नी के परिवार को गैर-उत्तल और किसी भी आयाम में विस्तृत करते हैं, तो आप बहुत व्यापक वर्ग की भाषाओं पर कब्जा कर सकते हैं।

यह वास्तव में एक उत्तर का गठन नहीं करता है, लेकिन मुझे काम पर वापस जाने की आवश्यकता है। :)

Comments

"इस बिंदु पर हम समाप्त हो जाते हैं यदि हम कहते हैं कि समस्या को टीएम पर लागू करने के लिए स्थान को अलग करना होगा। इसका मतलब है कि प्रत्येक कक्षा को आवधिक होना चाहिए क्योंकि विवेकाधीन ग्रह पर केवल बहुत सारे बिंदु हैं।" आपने समस्या के दिलचस्प हिस्से को नष्ट कर दिया है। मुझे नहीं लगता कि इनपुट असतत है; मैं वास्तविक निरंतर समस्या को हल करना चाहता हूं, भले ही इसके लिए एक आदर्श कंप्यूटर की आवश्यकता हो जो निरंतर समय में सटीक वास्तविक अंकगणित कर सके। विशेष रूप से, मारियो के पथ को कभी एक शीर्ष को छूने की आवश्यकता नहीं है।

— जेफ

मुझे लगा कि यह बहुत आसान है। आप निरंतर संस्करण को एक परिमित मशीन पर कर सकते हैं, इसलिए जब तक प्रारंभिक बिंदु और ग्रह को बारीक रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है। आप केवल प्रतीकात्मक रूप से पथ का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं (गणित-शैली)। आपको केवल निश्चित सीमा का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है कि आप किस पहलू को समाप्त करते हैं। यदि आप यह साबित कर सकते हैं कि मार्ग लगभग निश्चित रूप से आवधिक है (जैसा कि तर्कसंगत उत्तल बहुभुजों पर बिलियर्ड्स के लिए है), आप अभी भी एक ही चाल लागू कर सकते हैं, लेकिन परिणाम बहुत व्यावहारिक नहीं होगा।

— पीटर

काश, जेनेरिक पॉलीहेड्रा पर सामान्य जियोडेक्टिक्स आवधिक नहीं हैं। (विशेष रूप से, जेनेरिक बहुभुज तर्कसंगत नहीं हैं।)

— जेफ़ '10

आप (पीटर) हैं, मुझे लगता है कि, "आवधिक बिलियर्ड कक्षाओं में परिमेय बहुभुज में घने हैं" कागज का जिक्र है। इसका मतलब यह नहीं है कि तर्कसंगत पॉलीगोन में आवधिक पथ सामान्य हैं । वास्तव में, केवल कई आवधिक पथ (समानांतरवाद तक) हैं, इसलिए उनके पास सामान्य होने का कोई मौका नहीं है।

— सैम नेड

वास्तव में, "वाक्" बहुभुज में "विशिष्ट रूप से क्षत-विक्षत" पथ पूर्ण माप हैं। इसलिए यदि हम मारियो भेजते हैं तो यह एक यादृच्छिक दिशा है, वह (क) कभी भी शीर्ष पर नहीं आएगा (जैसा कि जेफ़ समस्या में कहता है), (ख) उसका रास्ता कभी बंद नहीं होगा, और (ग) बड़े पैमाने पर, अनुक्रम विज़िट किए गए चेहरे यादृच्छिक दिखेंगे (एक "कमजोर मिश्रण" संपत्ति के कारण)। यह समस्या के नकारात्मक उत्तर का सुझाव नहीं देता है - उदाहरण के लिए, पाई के अंक भी यादृच्छिक दिखते हैं ...

— सैम नीड