लेविन के इष्टतम फैक्टरिंग एल्गोरिदम का संदर्भ?

Question

मैनुअल ब्लम के " एडवांस टू बिगिनिंग ग्रेजुएट स्टूडेंट ":

LEONID LEVIN का मानना ​​है कि मैं ऐसा करता हूं कि P = NP का उत्तर जो भी हो? समस्या, ऐसा कुछ भी नहीं होगा जैसा आपको लगता है कि यह होना चाहिए। और उसने कुछ बेहतरीन उदाहरण दिए हैं। एक के लिए, उन्होंने एक ऐसा ALGORITHM दिया है जो काफी हद तक इष्टतम है। वह यह साबित करता है कि यदि उसका एल्गोरिथ्म घातीय है, तो FACTORING के लिए प्रत्येक एल्गोरिथ्म घातीय है। समान रूप से, यदि फैक्टरिंग के लिए कोई एल्गोरिथ्म पाली-टाइम है, तो उसका एल्गोरिदम पॉली-टाइम है। लेकिन हम उनके एल्गोरिथ्म के चल रहे समय को बताने में सक्षम नहीं हैं क्योंकि, एक मजबूत अर्थ में, यह समय चल रहा है अकल्पनीय है।

लेविन का प्रकाशन पृष्ठ 404 देता है, डीबीएलपी फैक्टरिंग से संबंधित कुछ भी नहीं दिखाता है, और Google विद्वान पर "लेओनिड लेविन फैक्टरिंग" के लिए एक खोज ब्याज की कुछ भी नहीं है जो मुझे मिल सकती है। AFAIK सामान्यीकृत छलनी सबसे तेज एल्गोरिथ्म है जिसे फैक्टरिंग के लिए जाना जाता है। मैनुअल ब्लम किस बारे में बात कर रहा है? क्या कोई मुझे कागज से जोड़ सकता है?

Answer 1

$NP$

यहाँ ब्लैंक द्वारा SECURITY और CRYPTOGRAPHY पर दिए गए व्याख्यान नोट्स का एक उद्धरण है :

लियोनिद लेविन के वैकल्पिक नंबर-स्प्लिटिंग (फैक्टरी) ALGORITHM। बता दें कि SPLIT INPUT की गणना करने वाले किसी भी एल्गोरिथम को निरूपित करता है: एक सकारात्मक संमिश्र (यानी प्राइम नहीं) पूर्णांक n। OUTPUT: n का nontrivial factor।

THEOREM: एक "इष्टतम" नंबर-विभाजन एल्गोरिथ्म मौजूद है, जिसे हम OPTIMAL-SPLIT कहते हैं। यह एल्गोरिथम इस अर्थ में OPTIMAL है कि: प्रत्येक संख्या-विभाजन एल्गोरिथ्म SPLIT के लिए एक (काफी बड़ा लेकिन निश्चित) स्थिर C है, जो कि प्रत्येक सकारात्मक कम्पोजिट पूर्णांक इनपुट n के लिए, इनपुट n पर OPTIMAL-SPITIT के "रनिंग टाइम" के लिए है। इनपुट सी पर SPLIT के चलने का समय सबसे अधिक C पर।

यहाँ लेविन का इष्टतम फैक्टरिंग एल्गोरिदम है :

OPTIMAL-SPLIT ALGORITHM: BEGIN सभी एल्गोरिदम को आकार के क्रम में, प्रत्येक आकार के भीतर लेक्सोग्राफिक रूप से गणना करता है। सभी एल्गोरिदम को चलाएं ताकि किसी भी समय, टी, ith एल्गोरिथ्म को निष्पादित करने के लिए समय का [1 / (2 ^ i)] अंश मिल जाए। Wnenever 1 एल्गोरिथ्म में कुछ आउटपुट पूर्णांक m के साथ सीमा 1 <m <n में होती है, यदि m n n को विभाजित करता है (यानी यदि n mod m = 0)। यदि हां, तो मी वापस लौटें। समाप्त

Comments

क्या कोई समझा सकता है कि अंश को 1 / (2 ^ i) होने की आवश्यकता है लेकिन 1 / i की तरह कुछ सरल नहीं है?

— netvope 5

@netvope: 1 / i डाइवर्स का अनंत योग। आप इसे 1 / i ^ 2 के साथ कर सकते हैं, लेकिन 1/2 ^ मैं बहुत सरल है।

— एंटीमनी

Answer 2

$NP \cap coNP$

एक संख्या को देखते हुए हम फैक्टर एन करना चाहते हैं।

क्या N प्राइम है? यदि ऐसा है तो 'PRIME' आउटपुट:

$i = 1...\infty$

$P = 1...i$

I प्रोग्राम को इनपुट N के साथ चरण I के लिए चलाएँ

$L \neq 1$$M \neq 1$$N = L*M$$(L,M)$

Comments

आप किसी ज्ञात प्रायोगिक परीक्षण का उपयोग नहीं कर सकते क्योंकि यह इष्टतम फैक्टरिंग की तुलना में तेज़ होने के लिए ज्ञात नहीं है। इसके अलावा, मुझे एक बिंदु समझ में नहीं आता है। यह साबित करने के लिए कि यह एक स्थिर कारक तक फैक्टरिंग के लिए इष्टतम है, मुझे लगता है कि हमें यह साबित करना होगा कि अंतिम चरण में गुणा समय जटिलता में प्रमुख शब्द नहीं है। अगर मुझे सही से याद है, तो एसिम्प्टोटिक सेटिंग में सबसे तेज़ ज्ञात गुणन एल्गोरिथ्म FFT पर आधारित है और n-बिट पूर्णांकों के लिए O (n लॉग एन लॉग लॉग एन) समय लेता है। क्या यह साबित करना संभव है कि इष्टतम फैक्टरिंग के रूप में कम से कम लंबे समय तक ऐसा होता है?

— त्सुयोशी इतो

@Tsuyoshi: मुझे लगता है कि आप सही हैं कि यह एल्गोरिथ्म इष्टतम होने में विफल रहता है यदि ज्ञात गुणन / लयबद्धता परीक्षण फैक्टरिंग की तुलना में कठिन हैं। हालाँकि, यदि आप ऊपर ब्लम के उद्धरण को पढ़ते हैं, तो वह केवल यही कहता है कि लेविन का एल्गोरिथ्म बहुपद है और यदि केवल इष्टतम है, जो इस समस्या को दूर करता है। दो अन्य बातें: (1) आप इस एल्गोरिथ्म में एक ज्ञात मौलिकता परीक्षण का उपयोग करने से कैसे बच सकते हैं? (२) मुझे लगता है कि यह एल्गोरिथ्म बिलकुल सही नहीं है, क्योंकि चल रहे समय को विभिन्न कार्यक्रमों के बीच ठीक से विभाजित नहीं किया गया है; सही सूत्रीकरण के लिए अल-तुर्कस्टनी का उत्तर देखें।

— पीटर शोर

@ पेटर: ठीक है, ब्लम की बोली कहती है, "उसने [लेविन] ने एक ऐसा कारखाना दिया है, जो बहुधा स्थिरांक तक, अधिकतम रूप से इष्टतम है।" लेकिन यह देखते हुए कि हम यह भी नहीं जानते हैं कि फैक्टरिंग रैखिक समय से अधिक है या नहीं, इस कथन पर विश्वास करना कठिन है।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: मैं देख रहा हूं, मैं गलत ब्लम बोली पढ़ रहा था।

— पीटर शोर