दो मैक्सिमम प्लानर ग्राफ के सबसे बड़े सामान्य सबग्राफ

Question

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें -

अधिकतम प्लानर ग्राफ़ और को देखते हुए , ग्राफ़ को अधिकतम किनारों की संख्या के साथ खोजें जैसे कि और दोनों में एक उपसमूह (आवश्यक रूप से प्रेरित नहीं) है जो कि लिए आइसोमोर्फिक है ।$G_1$$G_2$$G$$G_1$$G_2$$G$

क्या यह बहुपद समय में किया जा सकता है? यदि हाँ, तो कैसे?

यह ज्ञात है कि यदि और सामान्य ग्राफ़ हैं, तो समस्या NP- पूर्ण है (क्योंकि एक क्लिक हो सकता है)। यह भी ज्ञात है कि यदि और पेड़ हैं, या डिग्रीधारी आंशिक k- पेड़ हैं, तो समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है। तो मैक्सिमम प्लानर केस का क्या? क्या किसी को यह पता है? दो मैक्सिमम प्लॉनर ग्राफ पर ग्राफ आइसोर्फिज्म बहुपद है। शायद यह किसी तरह मदद करता है?$G_1$$G_2$$G_1$$G_1$$G_2$

Comments

“अधिकतम दो ग्रहों पर ग्राफ आइसोमोर्फिज्म बहुपद है। शायद यह किसी तरह मदद करता है? ” यह कम से कम संबंधित है (आप शायद पहले से ही जानते हैं): आइसोमोर्फिज्म तय करने के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म का अस्तित्व निश्चित रूप से सबसे बड़ा सामान्य उपसमूह खोजने के लिए एक कुशल एल्गोरिथ्म के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है।

— त्सुयोशी इतो

हाँ यकीनन। और यह शायद पर्याप्त नहीं है। मुझे बहुत यकीन नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि ऐसे ग्राफ वर्ग हैं जिनके लिए आइसोमोर्फिज्म बहुपद है लेकिन सबसे बड़ा सामान्य उपसमूह नहीं है?

— विनायक पाठक

ऐसा लगता है कि समस्या पूर्ण है। सबसे बड़ा सामान्य चक्र हो सकता है और यह ज्ञात है कि हैमिल्टनियन चक्र की समस्या अधूरा है जो कि मैक्सिमल प्लानर ग्राफ पर है। math.ias.edu/~avi/PUBLICATIONS/MYPAPERS/W82a/tech298.pdf$NP$$G$$NP$

— मोहम्मद अल-तुर्किस्टनी

Answer 1

यह एनपी-पूर्ण है, कमी के एक संशोधित संस्करण के माध्यम से विगार्डसन ने यह साबित करने के लिए इस्तेमाल किया कि मैक्सिमल प्लानर ग्राफ्स की हैमिल्टनिटी एनपी-पूर्ण है।

मैक्सिकन प्लेनर ग्राफ्स में हैमिल्टनियन चक्रों के लिए विगडर्सन के 1982 एनपी-पूर्णता प्रमाण की कठोरता का सावधानीपूर्वक परीक्षण ( http://www.math.ias.edu/avi/node/820 ) से पता चलता है कि उसकी कमी के कारण उत्पन्न होने वाली संपत्ति में संपत्ति है बढ़त मौजूद ऐसी है कि या तो वहाँ के माध्यम से एक Hamiltonian चक्र मौजूद या वहाँ सब पर किसी भी Hamiltonian चक्र मौजूद नहीं है। उदाहरण के लिए, को विगार्डसन के -गेट्ज में से एक में किनारों में से एक चुना जा सकता है ।$e$$e$$e$$M$

को इस तरह से निर्मित एक कठिन उदाहरण होने दें , और एम्बेड करें ताकि किनारे एम्बेडिंग के बाहरी त्रिकोण से संबंधित हो। इस एम्बेडेड ग्राफ के कनेक्ट कई प्रतियां, इसलिए उनके कि -edges एक चक्र है, और परिणाम दो और कोने, इस चक्र के प्रत्येक पक्ष पर एक, की प्रतियां के सभी उजागर कोने से जुड़ा जोड़कर अधिक से अधिक समतल फिर से बनाने के । कॉपियों की संख्या , और परिणामस्वरूप ग्राफ कॉल करें । आज्ञा देना संख्या की संख्या में ।$G$$G$$e$$e$$G$$c$$H$$n$$G$

सबसे बड़े सामान्य सबग्राफ के लिए हमारा कठिन उदाहरण जोड़ी जहां एक द्विध्रुवीय है जिसमें के समान संख्या में कोने हैं । इस प्रकार, एक इष्टतम सामान्य उपसमूह को सभी लंबों को जोड़ना होगा। यदि हम पर्याप्त रूप से बड़ा करते हैं, तो उपसमूह आवश्यक रूप से द्विपदीय के शीर्षों को में दो जोड़े हुए शीर्षों के साथ जोड़ेगा , क्योंकि उनकी डिग्री ( और ) प्रत्येक दूसरे शीर्ष की तुलना में पर्याप्त रूप से अधिक होगी , इसलिए इन डिग्रियों को जोड़कर इस युग्म के कारण किसी अन्य व्यवधान के लिए समाधान आकार का निर्माण होगा।$(H,B)$$B$$H$$c$$H$$c$$2c$$H$

तो Hamiltonian, तो आम subgraph Hamiltonian चक्र (ऋण मिलान द्वारा गठित है की प्रतियां में) bipyramid की भूमध्य रेखा करना होगा किनारों, भूमध्य रेखा के लिए और शीर्षकों के लिए । यदि हैमिल्टनियन नहीं है, तो ( बड़े पर्याप्त विकल्पों के लिए कि इष्टतम समाधान एपेक्स को सही तरीके से जोड़ते हैं) किसी भी सामान्य उपसमूह में कम किनारों होंगे: फिर भी शीर्ष पर लेकिन से कम कहीं और। इसलिए परीक्षण कि क्या और के सामान्य उपसमूह में कम से कम$G$$e$$G$$c(n+2)$$c(n-1)$$3c$$G$$c$$3c$$c(n-1)$$H$$B$$c(n+2)$ किनारों एनपी-पूर्ण है।