क्वांटम और नियतात्मक क्वेरी जटिलता के बीच की खाई को बांधना

Question

हालाँकि, बाउंड-एरर क्वांटम क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी ( ) और नियतात्मक क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी ( ) या बाउंड-एरर रैंडमाइज्ड क्वेरी कॉम्प्लेक्सिटी ( ) के बीच घातीय पृथक्करण ज्ञात हैं, वे केवल कुछ आंशिक कार्यों पर ही लागू होते हैं। यदि आंशिक फ़ंक्शंस में कुछ विशेष संरचनाएं हैं, तो वे साथ बहुपद भी हैं । हालांकि, मैं ज्यादातर कुल कार्यों के बारे में चिंतित हूं।$Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

एक क्लासिक पेपर में यह दिखाया गया था कि कुल कार्यों के लिए से घिरा है , मोनोटोन कुल कार्यों के लिए और सममिति कुल कार्यों के लिए। हालांकि, इन प्रकार के कार्यों के लिए द्विघात से अधिक विभाजनों को नहीं जाना जाता है (यह अलगाव उदाहरण के लिए द्वारा प्राप्त किया जाता है )। जहां तक ​​मैं समझता हूं, ज्यादातर लोग अनुमान लगाते हैं कि कुल कार्यों के लिए हमारे पास । यह अनुमान किन परिस्थितियों में सिद्ध हुआ है (सममित कार्यों के अलावा)? कुल कार्यों के लिए क्वांटम क्वेरी जटिलता के संदर्भ में निर्णय-पेड़ की जटिलता पर सबसे अच्छा वर्तमान सीमा क्या है?$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Answer 1

जहां तक ​​मुझे पता है, आपके द्वारा सामान्य सीमाएं अनिवार्य रूप से सबसे अच्छी तरह से जानी जाती हैं। मॉडल से थोड़ा बदल रहा है, Midrijanis है दिखाया बाध्य है कि , जहां है सटीक की मात्रा क्वेरी जटिलता ; एकतरफा त्रुटि के संदर्भ में भी तंग सीमाएं हैं ( इस पत्र की धारा 6 देखें )।$D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

अधिक विशिष्ट, लेकिन अभी भी सामान्य, फ़ंक्शंस की कक्षाओं के संदर्भ में, बार्नम और सक्स का एक पेपर है, जो दर्शाता है कि चर पर सभी पढ़े जाने वाले कार्यों में क्वांटम क्वेरी जटिलता ।$n$$\Omega(\sqrt{n})$

यद्यपि यह प्रगति सीमित है, लेकिन विशिष्ट कार्यों की क्वांटम क्वेरी जटिलता को कम करने में काफी प्रगति हुई है ; देखने के इस समीक्षा विवरण के लिए (या अधिक हाल ही में जैसे कागज Reichardt की है, जो साबित करता है कि '' विरोधी '' के लिए बाध्य की विशेषता क्वांटम क्वेरी जटिलता के सबसे सामान्य संस्करण)।

Answer 2

मुझे एशले मोंट्रो का जवाब पसंद है, लेकिन मुझे लगा कि मैं उन कार्यों का एक सेट भी शामिल करूंगा जिनके लिए अनुमान को जाना जाता है।

फ़ंक्शंस का एक सेट जो अक्सर ब्याज होता है, फ़ंक्शंस होता है जिसमें निरंतर-आकार 1-प्रमाण पत्र होते हैं। समस्याओं की इस श्रेणी में , विशिष्टता, टक्कर, त्रिकोण-खोज और कई अन्य समस्याएं (HSP-परिवार में नहीं) जैसी चीजें शामिल हैं जिन्हें क्वेरी जटिलता के लिए दिखाया गया है।$OR$

एक निरंतर आकार 1-प्रमाण पत्र की कुल समारोह के लिए , हम ।$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

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विवरण:

एक इनपुट लिए एक प्रमाण पत्र बिट्स का एक उपसमूह है ऐसा है कि सभी इनपुटों के लिए , । तब इनपुट और 1-प्रमाणपत्र जटिलता लिए एक प्रमाणपत्र का न्यूनतम आकार है (0-सर्टिफिकेट जटिलता समान है लेकिन ) तक सीमित है ।$x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

आप यह दिखा सकते हैं कि । फिर आप बर्मन और डी वुल्फ के सर्वेक्षण में प्रस्तुत एल्गोरिथ्म का उपयोग यह दिखाने के लिए कर सकते हैं कि:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Answer 3

यदि हम ग्राफ़ गुणों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो हम आपके द्वारा उल्लिखित सामान्य सीमा की तुलना में थोड़ा बेहतर सीमा साबित कर सकते हैं:

एक क्लासिक पेपर में यह दिखाया गया था कि कुल कार्यों के लिए से घिरा है , मोनोटोन कुल कार्यों के लिए और सममित कुल कार्यों के लिए।$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

पहले मुझे लगता है कि 6 वीं शक्ति बाध्य को ग्राफ गुणों के लिए 4 वीं शक्ति में सुधार किया जा सकता है। यह निम्नानुसार है [1], जहां वे बताते हैं कि किसी भी ग्राफ संपत्ति में कम से कम क्वेरी की जटिलता है , जहां इनपुट आकार है, जो कोने की संख्या में द्विघात है। बेशक शास्त्रीय क्वेरी जटिलता सबसे अधिक ।$\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

मोनोटोन कुल कार्यों के लिए बंधी 4 वीं शक्ति को मोनोटोन ग्राफ गुणों के लिए 3 शक्ति में सुधार किया जा सकता है। यह याओ और संथा ([2] में उल्लिखित) के एक अप्रकाशित अवलोकन से इस प्रकार है कि सभी मोनोटोन ग्राफ गुण क्वांटम क्वेरी जटिलता ।$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[१] सन, एक्स।; याओ, एसी।; शेंगयु झांग, "ग्राफ गुण और परिपत्र कार्य: क्वांटम क्वेरी जटिलता कितनी कम हो सकती है ?," कम्प्यूटेशनल जटिलता, 2004. कार्यवाही। 19 वीं IEEE वार्षिक सम्मेलन, वॉल्यूम।, सं।, P.2.286,293, 21-24 जून 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[२] मैग्नीज़, फ्रेडेरिक; संथा, मिक्लोस; स्वेग्डी, मारियो (2005), "त्रिकोण समस्या के लिए क्वांटम एल्गोरिदम", असतत एल्गोरिदम, वैंकूवर, ब्रिटिश कोलंबिया पर सोलहवीं वार्षिक एसीएम-एसआईएएम संगोष्ठी की कार्यवाही: औद्योगिक और अनुप्रयुक्त अर्थशास्त्र के लिए सोसाइटी, पीपी। 1109-1117, arXiv: क्वांट। -ph / 0,310,134।

Answer 4

2015 में इस सवाल पर बहुत प्रगति हुई है।

सबसे पहले, arXiv: 1506.04719 [cs.CC] में , कुल फ़ंक्शन साथ लेखकों ने द्विघात पृथक्करण में सुधार किया है।$f$

$$Q(f) = \widetilde{O}(D(f)^{1/4}).$$

दूसरी ओर, arXiv: 1512.04016 [क्वांट-फ़] में , यह दिखाया गया कि क्वांटम और नियतात्मक क्वेरी जटिलता के बीच द्विघात संबंध तब होता है जब फ़ंक्शन का डोमेन बहुत छोटा होता है।