कुशल ग्राफ एल्गोरिदम के डिजाइन के लिए स्पार्सिटी की सबसे महत्वपूर्ण धारणा क्या है?

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"विरल ग्राफ़" की कई प्रतिस्पर्धी धारणाएँ हैं। उदाहरण के लिए, एक सतह-एम्बेड करने योग्य ग्राफ को विरल माना जा सकता है। या बाउंड एज घनत्व के साथ एक ग्राफ। या उच्च ग्राफ के साथ एक ग्राफ। बड़े विस्तार के साथ एक ग्राफ। बाउंड्री ट्रेविद के साथ एक ग्राफ। (रैंडम ग्राफ़ के सबफ़ील्ड के भीतर भी, यह थोड़ा अस्पष्ट है जिसे स्पार्स कहा जा सकता है।) Et cetera।

कुशल ग्राफ एल्गोरिदम के डिजाइन पर "विरल ग्राफ" की किस धारणा का सबसे अधिक प्रभाव पड़ा है और क्यों? इसी तरह, "घने ग्राफ" की क्या धारणा ...? (एनबी: कारपिन्स्की ने घने रेखांकन के एक मानक मॉडल के लिए अनुमानित परिणामों पर बहुत काम किया है।)

मैंने अभी जे। नेसेट्रिल द्वारा उनके (पी। ओस्सोना डी मेंडेज़ के साथ) के एक कार्यक्रम पर एक एकीकृत (असममित) ढांचे में ग्राफ़ में विरलता के उपायों को पकड़ने के लिए एक बात देखी है। मेरा प्रश्न - हाँ, शायद काफी व्यक्तिपरक और मुझे अलग-अलग शिविरों की उम्मीद है - एल्गोरिदम में स्पार्सिटी के उपयोग पर एक बहुआयामी परिप्रेक्ष्य को पकड़ने की इच्छा से प्रेरित है (और मुद्दे की अपनी समझ में किसी भी अंतराल को प्लग करें)।

— RJK
स्रोत

क्या आपको लगता है कि एक पूरा ग्राफ भी विरल है? पूर्ण रेखांकन में बड़ा विस्तार और बंधे हुए क्लिक्विडथ हैं।

— योशियो ओकामोटो

@Yoshio ओकामोटो: अच्छा बिंदु - मैं treewidth एक बेहतर विकल्प वहाँ हो गया होता लगता है ...

— RJK

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जे.नेसेट्रिल और पी। ओस्सोना डी मेंडेज़ का कार्यक्रम जिसका आपने उल्लेख किया है, अब एक पुस्तक है ।

— vb le

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मुझे लगता है कि किसी भी उचित मानक द्वारा n × n × n तीन-आयामी ग्रिड ग्राफ को विरल माना जाएगा, और यह कि ज्यादातर उम्मीदवार परिभाषाओं को शामिल करते हैं जिसमें सतह एम्बेडिंग या नाबालिग शामिल हैं। (सबलाइन ट्रिव्यूथ अभी भी संभव होगा, हालांकि।)

मेरा वर्तमान पसंदीदा स्पार्सिटी उपाय अध: पतन है । एक ग्राफ की अध: पतन, ग्राफ के कोने के सभी रैखिक क्रमों पर न्यूनतम है, क्रम में पहले से बाद के कोने में प्रत्येक किनारे को उन्मुख करके बनाए गए ग्राफ के निर्देशित चक्रीय अभिविन्यास में अधिकतम आउटडेग्री। समान रूप से, यह सबग्राफ में अधिकतम, सबग्राफ में न्यूनतम डिग्री के ऊपर है। उदाहरण के लिए, प्लानर ग्राफ में गिरावट पांच होती है क्योंकि किसी भी प्लानर ग्राफ के किसी भी सबग्राफ में अधिकतम पांच पर डिग्री होती है। रैखिक समय में गणना करना आसान है, और परिभाषा से आने वाला रैखिक क्रम एल्गोरिदम में उपयोगी है ।

अपक्षय, आर्बरिटी, मोटाई और किसी भी उपसमूह की अधिकतम औसत डिग्री सहित कुछ अन्य मानक उपायों के एक निरंतर कारक के भीतर है, लेकिन मुझे लगता है कि इनका उपयोग करना कठिन है।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

यह काफी अच्छा जवाब है। यह इस बात पर प्रकाश डालता है कि ग्रिड जैसी सरल संरचना अक्सर विरल रेखांकन के बारे में सोचते समय शरारत का कारण बन सकती है। (मुझे लगता है कि यह बहुत आश्चर्य की बात नहीं है कि राबर्टसन-सीमोर सिद्धांत के लिए ग्रिड ग्रिड कितने महत्वपूर्ण हैं।) क्या यह कहना उचित होगा कि अपवित्रता लालची एल्गोरिथ्म के रूप में है क्योंकि ट्रेविद्थ गतिशील प्रोग्रामिंग के लिए है? या शायद स्पार्सिटी उपायों के बारे में कहने के लिए और अधिक है जो अच्छे आदेशों को लागू करते हैं, उदाहरण के लिए पैमाइश?

— RJK

@ आरजेके: इस तर्क को अपने चरम पर ले जाने के लिए, 3-रेगुलर प्लानर ग्रिड (हेक्सागोनल ग्रिड / वॉल ग्राफ) के पास अप्राप्य है, लेकिन लगभग उतने ही विरल हैं जितने कि मिल सकते हैं।

— आंद्र सलामॉन

@Andras: बेशक, लेकिन कैसे छोटे treewidth के साथ एक ग्राफ के बारे में जो विरल नहीं है? इस (एक तरफ़ा) अर्थ में, मुझे लगता है कि ट्रेविदथ एक स्पार्सिटी उपाय के रूप में भी योग्य है।

— RJK

k

$k$

n

$n$

k

$k$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

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प्रतीत होता है कि स्पार्सिटी की कई "अच्छी" धारणाएं हैं, लेकिन स्पार्सिटी की उन संरचनात्मक धारणाओं के लिए एक पदानुक्रम की बात है, जिनमें एक मॉडल-सिद्धांत का स्वाद है। मुझे लगता है कि इनसे कुशल ग्राफ एल्गोरिदम पर एक मजबूत प्रभाव पड़ा है।

$k$ $K_{k+2}$

नवंबर 2010 से अनुज डावर के पाठ्यक्रम के नोट्स में स्थानीय रूप से बंधे हुए त्रिभुज पर चर्चा की गई है, जो बहिष्कृत नाबालिगों के साथ अतुलनीय है। बंधी हुई डिग्री स्पष्ट रूप से विरल रेखांकन को परिभाषित करती है, और इस तरह के रेखांकन ने स्थानीय ट्रेविद को बाध्य किया है, लेकिन बहिष्कृत नाबालिगों के एक सेट द्वारा निश्चित नहीं हैं।

बंधी हुई डिग्री का प्रभाव स्पष्ट है: यह अक्सर एक कठिन समस्या को हल करने के लिए दिखाए गए पहले प्रतिबंधों में से एक है, उदाहरण के लिए, बाध्य-डिग्री ग्राफ पर ग्राफ आइसोमॉर्फिज़्म के लिए लुक्स का एल्गोरिथ्म। एक नाबालिग को बाहर करने का प्रभाव भी स्पष्ट है, कम से कम बंधे हुए ट्रेविद की आड़ में (जैसा कि सुरेश ने बताया)।

स्थानीय रूप से बंधे त्रिभुज और बहिष्कृत नाबालिगों को मामूली रूप से बहिष्कृत करने की धारणा, इसलिए पदानुक्रम में "सबसे सामान्य" वर्ग का गठन किया गया। हालांकि, यह अभी तक स्पष्ट नहीं है कि व्यावहारिक एल्गोरिदम में इस संपत्ति का उपयोग कैसे किया जाए। यहां तक कि नाबालिग को बाहर करने के "ट्रैक्टेबल" मामले में जरूरी नहीं कि अच्छे व्यावहारिक एल्गोरिदम हों; मॉडल-सिद्धांत संबंधी एल्गोरिदम में बड़े स्थिरांक लाजिमी हैं। मुझे उम्मीद है कि इनमें से कुछ कक्षाएं लंबे समय में व्यावहारिक रूप से कुशल एल्गोरिदम के रूप में बदल जाएंगी।

मेरा उत्तर भी देखें कि मामूली बहिष्कृत रेखांकन के लिए क्या आसान है? आगे संबंधित टिप्पणियों के लिए।

— आंद्रस सलामन
स्रोत

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मैं किसी भी ग्राफ संपत्ति के बारे में नहीं सोच सकता, जो कि कुशल एल्गोरिदम के डिजाइन पर उतना ही प्रभाव डालती है जितना कि बंधे हुए त्रिभुज और सामान्य रूप से द्विदिश।

— सुरेश वेंकट
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हाय सुरेश: मैं कहूंगा कि यह हेडलाइन प्रश्न का "सही" उत्तर है, लेकिन क्या आप अपनी पोस्ट को थोड़ा सा मांस देने के लिए तैयार होंगे? मुझे लगता है कि यह मूल सामान है, लेकिन मैंने पहले से ही एक चौड़ाई की अवधारणा की वैधता को ओवरक्लेंडिंग करने की गलती की है - क्लिक्वाइड्थ - विरल रेखांकन के लिए।

— RJK

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एक ग्राफ को आसन्न मैट्रिक्स के रूप में सोच सकते हैं - मैट्रिक्स स्पार्सिटी (उदाहरण के लिए शून्य प्रविष्टियों का%) के लिए कई परिभाषाएं हैं, जो ग्राफ़ में ही वापस अनुवाद कर सकते हैं। शून्य प्रविष्टियों के% के अलावा, पुनरावर्ती के तहत मैट्रिक्स बैंडविड्थ ग्राफ़ स्पार्सिटी के लिए एक अच्छा प्रॉक्सी हो सकता है (ऐसा लगता है कि बैंडविड्थ पतन से संबंधित है)।

— lynxoid
स्रोत