सबसे सामान्य संरचना कौन सी है जिस पर मैट्रिक्स उत्पाद सत्यापन

1979 में, फ्रीवाल्ड्स ने दिखाया कि किसी भी क्षेत्र में मैट्रिक्स उत्पादों का सत्यापन यादृच्छिक $O(n^2)$ समय में किया जा सकता है । अधिक औपचारिक रूप से, एक फ़ील्ड F से प्रविष्टियों के साथ तीन मैट्रिसेस A, B, और C दिए गए हैं, यह जाँचने की समस्या है कि AB = C में यादृच्छिक $O(n^2)$ समय एल्गोरिथम है या नहीं।

यह दिलचस्प है क्योंकि मैट्रिस को गुणा करने के लिए सबसे तेजी से ज्ञात एल्गोरिथ्म इस की तुलना में धीमा है, इसलिए यह जांचना कि एबी = सी कंप्यूटिंग सी से तेज है या नहीं।

मैं जानना चाहता हूं कि सबसे सामान्य बीजीय संरचना क्या है जिस पर मैट्रिक्स उत्पाद सत्यापन अभी भी एक समय (यादृच्छिकता) एल्गोरिदम है। चूंकि मूल एल्गोरिथ्म सभी क्षेत्रों में काम करता है, मुझे लगता है कि यह सभी अभिन्न डोमेन पर भी काम करता है। $O(n^2)$

इस प्रश्न का सबसे अच्छा उत्तर मुझे पथ, मैट्रिक्स और त्रिभुज समस्याओं के बीच उप-विषयक समीकरणों में था , जहां वे कहते हैं "रिंगों पर मैट्रिक्स उत्पाद सत्यापन यादृच्छिक समय [BK95] में किया जा सकता है ।" ([बीके 95]: एम। ब्लम और एस। कन्नन। उनके काम की जाँच करने वाले कार्यक्रम डिज़ाइन करना। जे। एसीएम, 42 (1): 269-291, 1995।) $O(n^2)$

सबसे पहले, सबसे सामान्य संरचना के छल्ले हैं जिन पर इस समस्या का एक यादृच्छिक एल्गोरिदम है? दूसरा, मैं यह नहीं देख सका कि [BK95] के परिणाम सभी रिंगों पर टाइम एल्गोरिदम कैसे दिखाते हैं। क्या कोई समझा सकता है कि यह कैसे काम करता है? $O(n^2)$ $O(n^2)$

ds.algorithms linear-algebra matrix-product

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न: क्या यह स्पष्ट है कि नियतात्मक सत्यापन गुणा जितना कठिन है? क्या होगा यदि आपको न केवल ए, बी और सी दिया जाता है, बल्कि एक कॉम्पैक्ट प्रमाण पत्र भी; यह कुछ भी मदद करता है?

— जुक्का सुकोला

@ जुक्का: मेरा मानना है कि इस समस्या के लिए सबसे अच्छा नियतात्मक एल्गोरिथ्म मैट्रिक्स गुणा से अधिक तेज नहीं है, लेकिन मुझे नहीं पता कि क्या कारण है कि यह मामला होना चाहिए। दूसरे प्रश्न के बारे में, यदि एबी सी के बराबर नहीं है, तो एक छोटा प्रमाण पत्र है जो काम करता है: सी की प्रविष्टि जो गलत है, और ए और बी के कॉलम की संगत पंक्ति

— रॉबिन कोठारी

यह इस बात के लिए एक त्वरित तर्क है कि यह छल्ले पर क्यों काम करता है। यह देखते हुए मैट्रिक्स , , , हमें इसकी पुष्टि एक यादृच्छिक बिट वेक्टर चुनकर , तो पता चल सके कि । अगर यह स्पष्ट रूप से गुजरता है $A$ $B$ $C$ $A B = C$ $v$ $ABv = Cv$ । $AB = C$

मान लीजिए और । चलो । एक नॉनजरो मैट्रिक्स है जिसके लिए । यह होने की संभावना क्या है? चलो एक अशून्य प्रवेश किया। इस धारणा के द्वारा, $AB \neq C$ $ABv = Cv$ $D = AB - C$ $D$ $Dv = 0$ $D[i',j']$ $\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$ । संभावना के साथ , $1/2$ , तो हम है $v[j'] = 1$

। $D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

इसके अलावा आपरेशन के तहत किसी भी अंगूठी एक additive समूह है, इसलिए वहाँ की एक अद्वितीय उल्टा होता है , यानी, । अब, बुरा घटना की संभावना अधिक से अधिक है $D[i',j']$ $-D[i',j']$ $-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$ $1/2$ । (यह देखने का एक तरीका "स्थगित निर्णयों का सिद्धांत" है: योग के बराबर , कम से कम एक अन्य को नॉनजरो होना चाहिए। के इन अन्य अशून्य प्रविष्टियों के लिए इसी। यहां तक कि अगर हम इन सभी सेट 'उनमें से एक को छोड़कर है बेहतर , वहां अभी भी पिछले एक होने के लिए समान प्रायिकता है या $-D[i',j']$ $D[i',j]$ $v[j]$ $v[j]$ $0$ $1$ , लेकिन अभी भी केवल इन मूल्यों को अंतिम योग कर सकता है में से एक के बराबर ।) तो संभावना कम से कम के साथ , हम सफलतापूर्वक कि खोजने के , जब अशून्य है। (नोट और स्वतंत्र रूप से लिए चुने जाते हैं ।) $-D[i',j']$ $1/4$ $Dv \neq 0$ $D$ $v[j]$ $v[j']$ $j \neq j'$

जैसा कि आप देखते हैं, उपरोक्त तर्क घटाव पर निर्भर करता है। तो यह काम नहीं करेगा (उदाहरण के लिए) मनमाने ढंग से सेमिनार पर। शायद आप बीजीय संरचना के गुणक गुणों को आराम कर सकते हैं, और अभी भी परिणाम प्राप्त कर सकते हैं?

— रेयान विलियम्स
स्रोत

अच्छा धन्यवाद। मैं इस बारे में आपकी बात देख रहा हूं कि बहुसांस्कृतिक संरचना पर बाधाओं को कम करने की संभावना है। बस मेरी जानकारी के लिए, यह वही एल्गोरिथ्म नहीं है जो कि फ्रीवाल्ड्स के मूल पेपर में है?

— रोबिन कोठारी

Freivalds 'एल्गोरिथ्म {-1,1} में घटकों के साथ एक यादृच्छिक वेक्टर चुनता है। वह भी काम करता है। आप और अधिक सावधान हैं, तो आप प्राप्त कर सकते हैं सफलता की प्रायिकता कम से कम होने के लिए

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1 / 2

$1/2$

— रयान विलियम्स