ZFC के सैद्धांतिक सीएस से स्वतंत्र परिणाम

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मैं एक बहुत अस्पष्ट सवाल पूछने जा रहा हूं, क्योंकि सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान और गणित के बीच की सीमा रेखा को भेद करना हमेशा आसान नहीं होता है।

प्रश्न: क्या आप सीएस के किसी दिलचस्प परिणाम से अवगत हैं, जो या तो ZFC (यानी मानक सेट सिद्धांत) से स्वतंत्र है, या जो मूल रूप से ZFC (+ कुछ अन्य स्वयंसिद्ध) में सिद्ध हुआ है और केवल बाद में ZFC अलोर्न में सिद्ध हुआ है?

मैं पूछ रहा हूँ क्योंकि मैं अपने पीएचडी थीसिस को समाप्त करने के लिए करीब हूं, और मेरा मुख्य परिणाम (खेल के एक वर्ग की निर्धारकता जो एक संभाव्य मोडल क्लेकुलस को "गेम शब्दार्थ" देने के लिए उपयोग किया जाता है ) इस समय में सिद्ध है ZFC अन्य स्वयंसिद्ध कथन (अर्थात् सातत्य परिकल्पना का निषेध के साथ बढ़ाया और, मार्टिन का स्वयंसिद्ध )। $\mu$ $\neg CH$ $MA$

तो सेटिंग स्पष्ट रूप से कंप्यूटर विज्ञान (modal -calculus एक लौकिक तर्क है, और मैं इसे संभाव्य प्रणालियों के साथ काम करने के लिए बढ़ा रहा हूं)। $\mu$

मैं अपने शोध में अन्य उदाहरणों का हवाला देना चाहूंगा (यदि आप किसी भी तरह से जानते हैं)।

पहले ही, आपका बहुत धन्यवाद,

अलविदा

Matteo

reference-request lo.logic set-theory

— IamMeeoh
स्रोत

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ये पिछले प्रश्न सहायक हो सकते हैं: cstheory.stackexchange.com/questions/4816/… cstheory.stackexchange.com/questions/1923/…

— मार्क रीटब्लाट

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मैं जवाब देने जा रहा था कि मैटियो एमियो और एलेक्स सिम्पसन ने मार्टिन के एक्सिओम का इस्तेमाल बहुत दिलचस्प परिणाम साबित करने के लिए किया था ...

— बाउर

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यह सबसे अच्छा उदाहरण हो सकता है मैंने एक प्रश्न देखा है जिसका सबसे अच्छा उत्तर प्रश्न में ही निहित है! मैं आपके बहुत दिलचस्प परिणाम से अनजान था।

— टिमोथी चाउ

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जबकि मुझे आपके खुद के अलावा किसी भी ऐसे परिणाम के बारे में पता नहीं है, मुझे लगता है कि आप इस दायरे को कुछ हद तक बढ़ा सकते हैं और पूछ सकते हैं: टीसीएस में क्या परिणाम किसी भी तरह के गैर-मानक स्वयंसिद्धों का उपयोग करके साबित हुए हैं। यहां गैर-मानक से मेरा मतलब ZF (या ZFC) के साथ शास्त्रीय तर्क के अलावा कुछ है।

काम का एक सुंदर उदाहरण जो मेरे दिमाग में है, वह सिंथेटिक डोमेन सिद्धांत का उपयोग करते हुए प्रोग्रामिंग भाषाओं के गुणों पर एलेक्स सिम्पसन के परिणाम हैं। वह स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का उपयोग स्वयंसिद्धों के साथ करता है जो शास्त्रीय तर्क का खंडन करते हैं।

इसके अलावा, एलेक्स और मैंने Banach-Mazur कम्प्यूटेशनलता के बारे में परिणाम दिखाने के लिए एंटी-क्लासिकल निरंतरता सिद्धांतों के साथ अंतर्ज्ञानवादी एक्सोटिक का उपयोग किया।

हालाँकि, उल्लेखित किसी भी उदाहरण में आपके प्रमाणों की तरह "खुली" स्थिति नहीं है, क्योंकि हम जानते हैं कि हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले गैर-मानक स्वयंसिद्ध शब्दों को अंतर्ज्ञानवादी गणित के एक मॉडल के अंदर काम करने के रूप में समझा जा सकता है, जहां मॉडल को दिखाया जा सकता है ZFC में। इसलिए गैर-मानक सेटअप वास्तव में चीजों को अधिक सुरुचिपूर्ण ढंग से करने का एक तरीका है, और सिद्धांत रूप में वे सीधे ZFC में किए जा सकते हैं (हालांकि मैं यह सोचने से डरता हूं कि वास्तव में यह कैसे होगा)।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

धन्यवाद! जब मैं परिचय लिखूंगा तो मैं इस बारे में एलेक्स से अधिक जानकारी लूंगा।

— IamMeeoh

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यह "कंप्यूटर विज्ञान" की आपकी परिभाषा पर निर्भर करता है। नीचे दिए गए उदाहरण को लें - क्या इसकी गिनती है?

पूर्णांक का एक कोडिंग का विशिष्ट रूप से डिकोडेबल बाइनरी कोड है । यदि कोडवर्ड की लंबाई कम होती है, तो हम कोड को मोनोटोन कहते हैं । एक कोड है बेहतर एक कोड से यदि । दूसरे शब्दों में, प्रत्येक , के कोडवर्ड के कुछ बिंदु से कम से कम बिट्स छोटे होते हैं। $\mathbb{N}$ $C_1$ $C_2$ $|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$ $L$ $C_1$ $L$

कोड का एक सेट कहा जाता है cofinal अगर हर कोड के लिए वहाँ एक कोड है जो तुलना में बेहतर है । यह "बेहतर" के संबंध में अच्छी तरह से आदेश दिया है, तो यह अच्छी तरह से आदेश दिया है। एक पैमाना कोड का एक सुव्यवस्थित रूप से व्यवस्थित सेट है। $S$ $C$ $D \in S$ $C$

यहाँ दो गुण हैं जो ZFC से स्वतंत्र हैं:

कोड का एक पैमाना मौजूद है।
इसमें मोनोटोन कोड्स का एक पैमाना मौजूद होता है (यानी मोनोटोन कोड्स का एक सुव्यवस्थित सेट जो सभी मोनोटोन कोड्स के सेट में कोफ़िनल होता है)।

— युवल फिल्मस
स्रोत

हैलो युवल, उत्तर के लिए धन्यवाद। मुझे यकीन नहीं है कि आपका उदाहरण मेरी परिभाषा "कंप्यूटर विज्ञान" पर फिट बैठता है। सीएस के रूप में वर्गीकृत करने के लिए निश्चित रूप से "कोड" के बारे में बात करना पर्याप्त नहीं है। क्या एक पेपर "एक सीएस पेपर" इम्हो निम्नलिखित है: क्या यह कुछ सीएस सम्मेलन / पत्रिका में दिखाई दिया, या क्या इसका उपयोग सीएस सम्मेलन / पत्रिका में कुछ परिणाम साबित करने के लिए किया गया था? CS पेपर के द्वारा मैं काफी लचीला हूं, लेकिन विषय "सूचना सिद्धांत, जटिलता, कार्यक्रम / सिस्टम लॉजिक्स, पुनरावृत्ति सिद्धांत" आदि हो सकते हैं। वैसे भी आप उदाहरण के स्रोत और / या कागजात का हवाला दे सकते हैं जो "एक पैमाना मौजूद है" कोड के "? धन्यवाद! अलविदा

— IamMeeoh

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पूर्णांक के कोड के बारे में कागजात इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग पत्रिकाओं में दिखाई देते हैं, जैसे कि सूचना सिद्धांत पर IEEE लेनदेन। यह आपके किसी कीवर्ड को हिट करता है।

— युवल फिल्मस

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मुझे नहीं लगता कि इन परिणामों का उपयोग करने वाला कोई कागज है। इसके अलावा, मेरा दृढ़ता से मानना है कि ZFC से स्वतंत्र एक परिणाम का जटिलता में कोई उपयोग नहीं है, इसलिए एक अर्थ में आपका प्रश्न कंप्यूटर विज्ञान माना जाता है की सीमाओं को बढ़ाने के बारे में है।

— युवल फिल्मस

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हैलो युवल, सबसे पहले मैं आपको उत्तर के लिए फिर से धन्यवाद देता हूं। मैं हालांकि आपकी मजबूत स्थिति से सहमत नहीं हूँ। उदाहरण के लिए रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय (जिसे पसंद की आवश्यकता लगती है) की जटिलता में महत्वपूर्ण परिणाम हैं। तो यह स्पष्ट है कि कॉम्प्लेक्सिटी सिद्धांत में च्वाइस उपयोगी है (शायद थोड़ा आश्चर्य की बात है)। अब ZFC के लगातार एक्सटेंशन के साथ काम करना स्पष्ट रूप से साबित करने के कार्य को सरल करता है, जटिलता कहती है, परिणाम, भले ही ये परिणाम शायद ZFC में सिद्ध हो, लेकिन किसी को पता नहीं है, अभी तक।

— IamMeeoh

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इसके अलावा मैं यह नहीं देखता कि ZFC की स्वतंत्र जटिलता में ठोस परिणाम क्यों नहीं होने चाहिए, उसी तरह रॉबर्टसन-सीमोर प्रमेय (शायद) ZF से स्वतंत्र है।

— IamMeeoh

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एक शंकु ट्यूरिंग डिग्री का एक सेट है कुछ आधार के साथ डिग्री के ऐसी है कि सभी डिग्री के लिए , यदि और केवल यदि । $D$ $b \in D$ $c$ $b \leq_T c$ $c \in D$

ट्यूरिंग डिग्री निर्धारक का बयान :

ट्यूरिंग डिग्री के हर सेट में या तो एक शंकु होता है या किसी शंकु से घृणा होती है

नियतात्मकता (AD) के स्वयंसिद्ध का परिणाम है, जो ZF से स्वतंत्र है और ZFC के साथ असंगत है। कमजोर बयान

ट्यूरिंग तुल्यता के तहत बंद होने वाले वास्तविक के हर बोरेल सेट में या तो एक शंकु होता है या एक शंकु से घृणा होती है

बोरेल निर्धारकता पर मार्टिन के प्रमेय का परिणाम है, जो ZFC में सिद्ध है। मार्टिन के बोरेल निर्धारकता पर परिणाम साबित होने से पहले इन दोनों कथनों का अध्ययन किया गया था, उस समय यह केवल ज्ञात था कि वे दोनों ZF + AD में सिद्ध हैं।

लगता है कि: दूसरा उद्धृत परिणाम निम्नलिखित दिलचस्प निष्कर्ष है ट्यूरिंग के तहत बंद reals के बोरेल सेट है इस तरह के तुल्यता कि हर असली के लिए है कुछ के साथ (यह सिर्फ का कहना है कि ऊपर की तरफ में घना है ट्यूरिंग डिग्री)। तब में ट्यूरिंग डिग्री का एक पूरा शंकु होना चाहिए। $S$ $b$ $c \in S$ $b \leq_T c$ $S$ $S$

— कार्ल मम्मर्ट
स्रोत

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मैंने हाल ही में वन-काउंटर बुची गेम्स की निर्धारकता के लिए इस तरह के एक परिणाम के साथ एक बातचीत में भाग लिया: ओलिवियर फिंकेल, द फिक्की ऑफ़ कॉन्सेप्ट-फ्री गेम्स , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389 / पीडीएफ / 5. पीएफडी ।

— सिल्वेन
स्रोत

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ढेर सारा रचनात्मक गणित। प्रति-निर्धारित प्रोग्रामिंग भाषाओं के आधार के रूप में उपयोग किए जाने वाले रचनात्मक सेट सिद्धांत पर प्रति मार्टिन-लोफ का काम देखें।

— लूटना
स्रोत

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IIRC, मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत में क्रिपके-प्लेटक सेट सिद्धांत के समान स्थिरता शक्ति है, जो ZFC की तुलना में काफी कमजोर है। इसके अलावा, MLTT में किसी भी स्पष्ट रूप से विरोधी शास्त्रीय सिद्धांत नहीं हैं, जैसा कि निरंतरता के स्वयंसिद्धों ने उल्लेख किया है।

— नील कृष्णस्वामी

@ नील मैंने कभी भी एमएलटीटी की स्थिरता या मजबूती के बारे में कुछ नहीं कहा। हालांकि, मैं रचनात्मक गणित में कुछ परिणामों को प्रश्न के लिए प्रासंगिक मानता हूं, जो "सीएस में दिलचस्प परिणाम ... ZFC से स्वतंत्र" के लिए पूछ रहा है।

— रॉब

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मुझे लगता है कि "स्वतंत्र" यहाँ औपचारिक अर्थों में है।

— मार्क रीटब्लाट