टाइप किए गए / अनटेप्ड लैम्ब्डा कैल्कुली का वर्गीकरण

Question

क्या कोई संक्षिप्त रूप से समझा सकता है (यदि संभव हो तो!) या मुझे एक संदर्भ में संदर्भित करें, बिना शीर्षक वाले लैम्ब्डा कैलकुलस और अधिक सामान्य टाइप किए गए लैम्ब्डा कैल्सी के बीच के अंतर को संक्षेप में बताएं।

मैं विशेष रूप से उनकी अभिव्यंजक शक्ति के बयानों की तलाश कर रहा हूं, यदि लागू हो तो तर्क / अंकगणितीय प्रणालियों या कम्प्यूटेशन विधियों और प्रोग्रामिंग भाषाओं की उपमाओं के समकक्ष।

हालांकि मैं निश्चित रूप से पढ़ने का इरादा रखता हूं, गणना में उल्लिखित एक संदर्भ तालिका जैसी कुछ चीजें और पदानुक्रम में उनके समकक्षों / मतभेदों / स्थान को मेरी मदद करने के लिए एक बड़ा संदर्भ होगा।

नीचे यह कहना सही नहीं है, बस एक साथ कुछ छापें देखने की कोशिश कर रहा हूं, मुझे यह देखना है कि क्या वे कम से कम शुरुआती बिंदु के रूप में सेवा करते हैं (या सही करने के लिए कुछ!)

अनपेड लंबोदा पथरी - eq। तर्क करने के लिए प्रथम - X नहीं कर सकते

बस टाइप किया लैंबडा कैलकुलस - eq to ... लॉजिक, लिस्प से संबंधित है?

'पॉलीमॉर्फिक' लैम्ब्डा कैल्क - आदि।

कंस्ट्रक्शंस ऑफ़ कंस्ट्रक्शंस - इंट्यूसिस्ट लॉजिक?

संयोजन तर्क - तुलना करने योग्य ??? टाइप लैम्ब्डा कैलकुलस, एपीएल / जे तरह की भाषाओं से संबंधित है

यदि यह लंबोदर घन और इसके तीन अक्षों में बेहतर संबंध रखता है।

जब मैं कार्यात्मक भाषाओं के साथ लैम्ब्डा कैलकुलस और प्रोग्रामिंग की मूल बातें से परिचित हूं, तो मैंने कभी भी अपने सिर को चारों ओर नहीं लपेटा, या किसी भी महत्वपूर्ण कनेक्शन को नहीं बनाया, प्रकार के सिस्टम शामिल हैं और लैम्ब्डा (और शायद पी?) के विभिन्न जायके।

जब मैं इस शोध में मदद करने का प्रयास करता हूं, लेकिन मैं खुद को दरकिनार पाता हूं, कई ब्राउज़र टैब खोल रहा हूं और कई दिशाओं में शाखाएं खोल रहा हूं, तो मैं कभी भी उनमें से किसी भी गहराई से नहीं मिलता!

मुझे यकीन नहीं है कि मैं जो पूछ रहा हूं वह उचित है, लेकिन उम्मीद है कि बहुत कम से कम मैंने कुछ पढ़ने का सुझाव देने के लिए एक तस्वीर को पर्याप्त चित्रित किया है जो यह बता सकता है कि क्या देख रहा है?

Comments

लैम्ब्डा क्यूब का एक दृश्य, अगर शायद इसका जिक्र स्पष्टीकरण rbjones.com/rbjpub/logic/cl/tlc001.htm के

— jon_darkstar

एक व्यक्तिगत कहानी: जब मैं पहली बार टाइप्ड और अनपेड लैम्ब्डा कैलकुलस सीख रहा था, तो मैं हमेशा इस उलझन में था कि मुझे टाइप किए गए नॉन-ट्यूरिंग पूर्ण कैल्सी की परवाह क्यों करनी चाहिए। यह अक्सर मुझे ब्याज खो देता है। दूसरी ओर, जब मैं जटिलता और कुशल संगणना के बारे में सोच रहा था तो मैं इससे कभी परेशान नहीं था। आखिरकार किसी ने इस जवाब में मेरे लिए दो किस्में कनेक्ट कीं और अब मैं बेहतर तरीके से समझ सकता हूं कि इतना समय मुझे लंबोदर कैलकुलस पढ़ाने में क्यों लगा।

— Artem Kaznatcheev

मुझे लगता है कि एक lo.logicटैग जोड़ा गया है। शायद एक गूंगा सवाल, लेकिन वास्तव में इसके लिए क्या करना है?

— jon_darkstar

"जब मैं इस शोध में मदद करने का प्रयास करता हूं, लेकिन खुद को दरकिनार पाता हूं, तो कई ब्राउज़र टैब खोल रहा हूं और कई दिशाओं में शाखाएं खोल रहा हूं, जिनमें से किसी भी गहराई में मैं कभी नहीं जाता हूं!" <- यह मैं हूँ, हर समय! पूछने के लिए धन्यवाद कि मैं क्या सोच रहा हूं ...

— अगम

Answer 1

आपकी तालिका थोड़ी भ्रमित है; यहाँ एक बेहतर है।

• अनकैप्ड लैम्ब्डा कैलकुलस - कोई तार्किक व्याख्या नहीं, जैसा कि कन्या नोट्स
• बस टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस - अंतर्ज्ञानवादी प्रस्ताव तर्क
• पॉलीमॉर्फिक लैम्ब्डा कैलकुलस - शुद्ध सेकंड-ऑर्डर लॉजिक (यानी, फर्स्ट-ऑर्डर क्वांटिफायर के बिना)
• आश्रित प्रकार - प्रथम-क्रम तर्क का सामान्यीकरण
• निर्माणों की गणना - उच्च-क्रम तर्क का सामान्यीकरण

टाइप-डिपेंडेंसी, पहले-क्रम की मात्रा-निर्धारण की तुलना में अधिक सामान्य है, क्योंकि यह उन वस्तुओं में प्रमाण बनाता है जिन्हें आप अधिक मात्रा में बदल सकते हैं। साधारण अंतर्ज्ञानवादी FOL के समान लैम्ब्डा कैल्सी मौजूद है, लेकिन एक विशेष नाम के लिए व्यापक रूप से पर्याप्त रूप से उपयोग नहीं किया जाता है - लोग सीधे निर्भर प्रकारों में जाते हैं।

आप कैलकुलस के वाक्यात्मक रूप को तार्किक प्रणालियों से भी संबंधित कर सकते हैं।

• कॉम्बिनेटर कैल्कुली (जैसे, SKI कॉम्बिनेटर) - हिल्बर्ट-स्टाइल सिस्टम
• ए-सामान्य रूप - क्रमिक पथरी
• सामान्य टाइप्ड लैम्ब्डा पथरी - प्राकृतिक कटौती

Comments

बहुत खुबस! धन्यवाद। इन विभिन्न गणनाओं के लिए प्रेरणा / भेद का एहसास करने में मेरी मदद करता है, और जब मैं इसके बारे में अधिक पढ़ता हूँ तो निश्चित रूप से मुझे आधार समझने में मदद मिलेगी

— jon_darkstar

मैं पीसीएफ जैसे कोई तार्किक व्याख्या के साथ टाइप किए गए लंबोदी गणना को भी शामिल करूंगा। इसके अलावा, बहुत सारे लैंबडा-कैल्कुली हैं जो अन्य लॉजिक के अनुरूप हैं, जैसे कि लीनियर लैम्ब्डा कैलकुलस।

— सैम टोबिन-होचस्टाट

@ सलाम: अच्छी बात है। "कोई तार्किक व्याख्या" वास्तव में बहुत मजबूत नहीं है, क्योंकि इसका वास्तव में अर्थ है "अप्रतिबंधित आत्म-संदर्भ की अनुमति", जिसे चर पुन: उपयोग के साथ असंगति की ओर जाता है। लेकिन रैखिक तर्क पर आधारित कुछ सेट सिद्धांत बिना किसी असंगति के अनुभवहीन योजनाओं का समर्थन करते हैं।

— नील कृष्णस्वामी

निश्चित रूप से, कुछ तरीके आप असंगत होने के बिना लैम्ब्डा पथरी में कुछ चीजें जोड़ सकते हैं। लेकिन कई दिलचस्प, टाइप किए गए, लैंबडा केल्चुरी हैं, जिनमें कोई भी तार्किक व्याख्या नहीं है, बिल्कुल अनपेक्षित लैम्ब्डा कैलकुलस के अर्थ में।

— सैम टोबिन-होचस्टाट

Answer 2

शुद्ध अनइप्ड -कुलस ट्यूरिंग पूर्ण है, अर्थात, एक आंशिक संख्या-सिद्धांत का नक्शा कम्प्यूटेशनल है यदि, और केवल यदि, तो यह अनपेक्षित λ में निश्चित है$\lambda$$\lambda$ -culculus में निश्चित है। टाइप किए गए -calculus की कम्प्यूटेशनल शक्ति बहुत छोटी है। उदाहरण के लिए, यदि हम टाइप किए गए λ -calculus में एक प्रकार की प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ते हैं, तो 0 , उत्तराधिकारी और आदिम पुनरावृत्ति के साथ, हमें वह मिलता है जिसे आमतौर पर Gödel's T के रूप में जाना जाता है । यह केवल आदिम पुनरावर्ती कार्यों की गणना करता है (और वे सभी कुल हैं)।$\lambda$nat$\lambda$$0$$T$

अपरिष्कृत -calculus की करी-हावर्ड पत्राचार के तहत एक उचित व्याख्या नहीं होती है, जबकि टाइप किए गए λ -calculus अंतर्ज्ञानवादी प्रपोजल कैलकुलस से ठीक मेल खाते हैं।$\lambda$$\lambda$

टाइप किए गए -calculus के मॉडल ठीक कार्टिसियन-बंद श्रेणियां हैं। अप्रशिक्षित λ -calculus के मॉडल कम अच्छी तरह से व्यवहार किए जाते हैं। हालांकि उनके बारे में बात करना संभव है, वे निश्चित रूप से व्यापक रूप से कार्टेशियन-बंद श्रेणियों के रूप में अध्ययन नहीं किए जाते हैं।$\lambda$$\lambda$

"जो अधिक सामान्य है?" पूछकर हम अपना मनोरंजन भी कर सकते हैं। अंकित मूल्य पर अप्रकाशित -calculus अधिक सामान्य लगता है क्योंकि टाइप किए गए एक को अनकैप्ड एक (प्रकार भूलकर) में एम्बेड करना आसान है। लेकिन हम एक आदिम प्रकार को आइसोमोर्फिज्म के साथ जोड़कर और टाइप किए गए λ -calculus में अप्रकाशित λ -calculus को एम्बेड कर सकते हैं और । सिमेंटिक पक्ष में यह दाना स्कॉट के अवलोकन से मेल खाता है कि अप्रकाशित के प्रत्येक मॉडल (यदि मेरी स्मृति मुझे सही काम करती है, तो यह यू का शानदार विभाजन है ), जैसे कि यू को प्रेस्टीफ श्रेणी की वस्तु के रूप में देखा जा सकता है [ C o] पी , $\lambda$$\lambda$$\lambda$Ulambda : U -> (U -> U)gamma : (U -> U) -> U -culculusएक कार्टेशियन बंद श्रेणी में एकवस्तु के रूप में उत्पन्न होता है, अर्थात,अनपेड theλ -calculus केएक मॉडल U को देखते हुएहम एक श्रेणी C पा सकते हैं।$\lambda$$\mathbb{U}$$\lambda$$\mathcal{C}$$\mathbb{U}$$\mathbb{U}$ ( योनेदा एम्बेडिंग के माध्यम से) समीकरण यू को संतुष्ट करते हुए यू यू ।$[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$$\mathbb{U} \cong \mathbb{U}^{\mathbb{U}}$

संदर्भ:

• दाना एस स्कॉट: " लैंबडा कैलकुलस: कुछ मॉडल, कुछ दर्शन ", तर्कशास्त्र में अध्ययन और गणित की नींव, खंड 101, 1980, पृष्ठ 223-265, द क्लेन संगोष्ठी

• हेंड्रिक पीटर बरेंड्रेग्ट: " द लैम्ब्डा कैलकुलस: इट्स सिंटैक्स एंड सेमेंटिक्स ", एल्सेवियर, 1984।

Answer 3

इस पुस्तक में इस विषय पर काफी व्यापक चर्चा की जा सकती है: लेक्चर्स ऑन द करी-हावर्ड आइसोमॉर्फिज़्म । यह स्वतंत्र रूप से उपलब्ध पुराने संस्करण पर आधारित है: लेक्चर्स ऑन द करी-हावर्ड आइसोमॉर्फिज़्म ।