किसी भी एल्गोरिथम समस्या की गिनती के समय एक समय की जटिलता हावी है?

Question

मैं गिनती के रूप में संदर्भित करता हूं वह समस्या है जो किसी फ़ंक्शन के समाधान की संख्या खोजने में शामिल होती है। दरअसल, यह देखते हुए एक समारोह $f:N\to \{0,1\}$ (जरूरी नहीं कि ब्लैक बॉक्स), अनुमानित $\#\{x\in N\mid f(x)= 1\}= |f^{-1}(1)|$।

मैं एल्गोरिदम संबंधी समस्याओं की तलाश कर रहा हूं, जिसमें कुछ प्रकार की गिनती शामिल है और जिसके लिए समय की जटिलता इस अंतर्निहित गिनती समस्या से बहुत प्रभावित होती है।

निश्चित रूप से, मैं उन समस्याओं की तलाश कर रहा हूं जो समस्याएं खुद नहीं गिन रही हैं। और अगर आप इन समस्याओं के लिए दस्तावेज प्रदान कर सकते हैं तो इसकी बहुत सराहना की जाएगी।

Answer 1

$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$O(n^2)$

$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$$\binom{n}{2}$ चौराहे के बिंदु और डुप्लिकेट की तलाश करें।

इसी तरह, संख्याओं का एक समूह है जहाँ तत्वों के त्रिगुण शून्य के योग हैं। इसलिए, किसी भी एल्गोरिथ्म (निर्णय पेड़ों के एक निश्चित वर्ग द्वारा मॉडलिंग) का परीक्षण करने के लिए कि क्या किसी दिए गए सेट में तीन तत्व हैं जो शून्य के लिए राशि में समय की आवश्यकता है । ( बिट-लेवल समानता के माध्यम से कुछ लॉग को शेव करना संभव है , लेकिन जो भी हो।)Ω ( एन 2 )$\Theta(n^2)$$\Omega(n^2)$

एक और उदाहरण, मेरी थीसिस से भी, हॉपक्राफ्ट की समस्या है: विमान में अंक और रेखाओं को देखते हुए , किसी बिंदु पर कोई रेखा नहीं होती है। बिंदु-रेखा घटनाओं की सबसे खराब स्थिति को में जाना जाता है । मैंने यह साबित किया कि गणना के एक प्रतिबंधित (लेकिन अभी भी प्राकृतिक) मॉडल में, समय यह निर्धारित करने के लिए आवश्यक है कि क्या एक बिंदु-रेखा घटना भी है। वास्तव में , हमें सभी पास -incidences को एन्यूमरेट करना होगा और प्रत्येक को यह देखना होगा कि क्या यह वास्तव में एक घटना है।n Θ ( n 4 / 3 ) Ω ( एन 4 / 3 ) Θ ( n 4 / 3$n$$n$$\Theta(n^{4/3})$$\Omega(n^{4/3})$$\Theta(n^{4/3})$

औपचारिक रूप से, ये निचले सीमा अभी भी अनुमान हैं, क्योंकि उन्हें गणना के प्रतिबंधित मॉडल की आवश्यकता होती है, जो हाथ में समस्या के लिए विशेष रूप से हॉपक्रॉफ्ट की समस्या के लिए विशिष्ट हैं)। हालांकि, रैम मॉडल में इन समस्याओं के लिए कम सीमा साबित करना संभवतः किसी अन्य निचली सीमा समस्या के रूप में कठिन है (यानी, हमारे पास कोई सुराग नहीं है) - Patrascu और विलियम्स द्वारा 3SUM से संबंधित सामान्यीकरण के लिए Soda 2010 का पेपर देखें। परिकल्पना।

Answer 2

मुझे पूरी तरह से यकीन नहीं है कि अगर आपका मतलब यह है, लेकिन समस्याओं का एक समूह है जो ऐसा नहीं लगता है कि वे समस्याओं की गिनती कर रहे हैं, हालांकि, सबसे अच्छे तरीके जो हम जानते हैं कि उन्हें कैसे हल करना है वस्तुओं की गणना करना है। ऐसी ही एक समस्या का पता लगाना है कि क्या एक ग्राफ में एक त्रिकोण है। सबसे तेजी से ज्ञात एल्गोरिदम आसन्न मैट्रिक्स के क्यूब के ट्रेस की गणना करने के लिए है, जो (अप्रत्यक्ष) ग्राफ में त्रिकोणों की संख्या का 6 गुना है। यह Coppersmith-Winograd मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए O ( ) समय लेता है, और पहली बार 1978 में Itai और Rodeh द्वारा देखा गया था । इसी तरह, हम एक k-clique का पता लगाने के लिए सबसे अच्छा तरीका खोजने के लिए है। k-cliques की संख्या, फिर से मैट्रिक्स गुणा के माध्यम से।$|V|^{2.376}$

Answer 3

वैलेंट ने साबित किया कि #P के लिए मैट्रिक्स का स्थायी पता लगाने की समस्या पूरी हो गई है । इस मुद्दे पर विकिपीडिया पृष्ठ देखें । #P एक एनपी मशीन के स्वीकृत पथों की संख्या गिनने के लिए एक जटिलता वर्ग है।

Answer 4

Bipartite Planar (और log genus) परफेक्ट मैचिंग एक ऐसी समस्या है, जहाँ गिनती प्लानर के मिलान के लिए Kastelyn की एल्गोरिथ्म (Galluccio और Loebl द्वारा विस्तारित) और कुलकर्णी, महाजन और वरदराजन द्वारा समानांतर की गई समस्या के खोज संस्करण में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। सभी प्रासंगिक संदर्भ निम्नलिखित पेपर में पाए जा सकते हैं:

कुछ सही मिलान और नेकां में सही आधा-अभिन्न मिलान। राघव कुलकर्णी, मीना महाजन और कस्तूरी आर। वरदराजन। शिकागो जर्नल ऑफ थियोरेटिकल कंप्यूटर साइंस, खंड 2008 अनुच्छेद 4।

Answer 5

मैं एक कमी के बजाय एक नरम बाधा के रूप में "बहुत प्रभावित" लूंगा। उस अर्थ में, कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में MANY की समस्याएं कई बार चल रही हैं जो कुछ अंतर्निहित संरचना से घिरा हुआ है। उदाहरण के लिए, आकृतियों की व्यवस्था की गणना करने की जटिलता ऐसी व्यवस्थाओं की आंतरिक जटिलता से सीधे जुड़ी हुई है।

एक और, इसका एक सामयिक उदाहरण यह है कि बिंदु पैटर्न के मिलान में विभिन्न समस्याएं ऐसे समय में होती हैं जो एक बिंदु सेट में दोहराई गई दूरियों की संख्या जैसी मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए उबलती हैं, और इसी तरह।

Answer 6

यह सुनिश्चित नहीं है कि यह वही है जो आप देख रहे थे, लेकिन एनपी-पूर्ण समस्याओं के चरण संक्रमण संभावनावादी तर्कों पर बहुत अधिक निर्भर करते हैं, जो गिनती का एक और रूप हैं।

LLL का उपयोग कुछ 'कम-घनत्व' सबसेट सम समस्याओं को हल करने के लिए किया गया है, जिनमें से सफलता उच्च संभावना वाले शॉर्ट लेटिस वैक्टर पर निर्भर करती है जो कि सबसेट सम सॉल्यूशन होने के मानदंडों को पूरा करते हैं। सर्वेक्षण प्रसार समाधान की संरचना पर निर्भर करता है (और समाधान की संख्या के रूप में यह चर को ठीक करता है) महत्वपूर्ण सीमा के पास समाधान खोजने के लिए।

Borgs, Chayes और Pittel ने पूरी तरह से (Uniform) रैंडम नंबर पार्टीशन प्रॉब्लम के चरण संक्रमण की पूरी तरह से विशेषता की है और इस प्रकार नंबर पार्टिशन प्रॉब्लम के दिए गए (रैंडम) उदाहरण के लिए कितने समाधान की उम्मीद कर सकते हैं।