इंटरसेप्ट प्रूफ पोस्टसेप्शन के माध्यम से?

परिभाषित करें कम्प्यूटेशनल मॉडल MPostBQP के समान होने के लिए PostBQP को छोड़कर हम बाद चयन और अंतिम माप से पहले polynomially कई qubit माप अनुमति देते हैं।

क्या हम यह इंगित करते हुए कोई सबूत दे सकते हैं कि MPostBQP PostBQP से अधिक शक्तिशाली है?

MPostBQP को परिभाषित करें [k] अंतिम माप करने से पहले कई राउंड को मापने और स्थगित करने की अनुमति दें। अनुक्रमण चुनें इसलिए MPostBQP [1] = PostBQP और MPostBQP [2] = MPostBQP और इसी तरह। (अपडेट: एक औपचारिक परिभाषा नीचे दी गई है।)

आर्थर-मर्लिन खेलों पर विचार करें। शायद हम उन्हें गणना के इस मॉडल में अनुकरण कर सकते हैं: पोस्टसेलेक्शन मर्लिन की पुष्ट संदेश बनाने की भूमिका ले सकता है और मध्यवर्ती माप आर्थर के सार्वजनिक सिक्के के टॉस की भूमिका ले सकता है। यह संभावना मुझे पूछती है:

क्या हमारे पास AM [k] है $\subset$ MPostBQP [k]?

यह वास्तव में के लिए जाना जाता है $k=1$ , जो एम.ए. $\subset$ पीपी। इसके लिए दिखाने के लिए $k=2$ मतलब होगा MPostBQP = पीपी केवल अगर AM $\subset$ पीपी। चूँकि वहाँ एक अलंकरण है जिसके संबंध में AM PP में सम्‍मिलित नहीं है , यह मेरे पहले प्रश्‍न के लिए एक उत्‍तर दे सकता है।

अंत में, बहुपद के लिए कई राउंड केस,

क्या हमारे पास PSPACE है $\subset$ MPostBQP [पाली]? यदि हां, तो क्या यह समानता है?

यह दार्शनिक रूप से दिलचस्प होगा (कम से कम मेरे लिए) क्योंकि यह हमें बताएगा कि एक "पोस्टसेक्टिंग सोरिसर" के लिए समस्याओं का "ट्रैक्टेबल" वर्ग शामिल है (या है ) सभी PSPACE के।

संपादित करें: मुझे MPostBQP की औपचारिक परिभाषा के लिए कहा गया है। (मैंने अपडेट किया है जो निम्न प्रकार है।)

MPostBQP [k] भाषाओं का वर्ग है $L \subset \{0,1\}^*$ जिसके लिए बहुपद-आकार क्वांटम सर्किट का एक समान परिवार मौजूद है $\{C_n\}_{n \geq 1}$ इस तरह के सभी आदानों के लिए $x$ कम से कम संभावना के साथ पैदावार के नीचे की प्रक्रिया सही है $2/3$ अगर $x \in L$ , और अधिक से अधिक संभावना के साथ $1/3$ अगर $x \notin L$ । प्रक्रिया, जो कुछ विकल्पों के लिए अनुमति देती है जो निर्भर हो सकती है $L$ (लेकिन नहीं $x$ ), इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

प्रक्रिया: चरण 1। के लिए इसी एकात्मक ऑपरेटर लागू करें $C_n$ इनपुट स्थिति के लिए $\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$ । पहले की लंबाई पर ध्यान दें $\left\vert0\cdots 0\right>$ की लंबाई में अधिकांश बहुपद में रजिस्टर होता है $x$ । चरण 2. के लिए $i = 1 \cdots k$ : अगर $i$ यहां तक कि, पहले रजिस्टर से किसी भी वांछित संख्या को मापने के लिए (सबसे बहुपद में, रजिस्टर के आकार को देखते हुए)। अगर $i$ विषम है, तो पहले चुने हुए उपायों के रूप में एक चुनी हुई एकल qubit के रूप में स्थगित करें $\left\vert 0 \right>$ (और इस बात की गारंटी है कि संभावना गैर-शून्य है इसलिए पोस्टसेशन निश्चित रूप से मान्य है)। चरण 3. अंत में, पहले रजिस्टर में एक अंतिम क्वाइब को मापें, और यदि हम मापते हैं तो सही लौटें $\left \vert 1 \right>$ और असत्य अन्यथा।

हमारे पास MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP, और MPostBQP: = MPostBQP [2] है। मैं आर्थर-मर्लिन वर्गों को दिखाने की कोशिश कर रहा हूं जहां एएम [0] = बीपीपी, एएम [1] = एमए और एएम [2] = एएम।

EDIT (3/27/11 5 PM): इस संदर्भ में पोस्टसेलेक्शन को कैसे परिभाषित किया जाना चाहिए, इस पर बहस होने लगती है। जाहिर है, मेरा मतलब एक ऐसी परिभाषा से है, जो मेरे सवाल को नहीं काटती! :) मेरे द्वारा ग्रहण की गई परिभाषा निम्नलिखित है: kth बिट पर पोस्टलेक्ट करने का अर्थ है कि हम राज्य को उस उप- प्रजाति में प्रोजेक्ट करते हैं जिसमें kth बिट है $0$ , और सामान्य करें। यह पता चला है कि एक योजना में जहां हम माप करने से पहले स्थगित करते हैं, फिर हम एक योजना में सशर्त संभावनाओं को देखते हुए अंतिम आंकड़े प्राप्त कर सकते हैं, जहां मापों को प्रतिस्थापित किया जाता है। हालांकि, मेरा दावा है कि माप और पोस्टसेप्‍शन चौराहे होने पर यह लक्षण वर्णन टूट जाता है। मुझे लगता है कि भ्रम इस "सशर्त संभाव्यता परिभाषा" का उपयोग करने वाले लोगों से उपजा है (जो विशेष मामले में काम करता है जो मैं बाहर सामान्यीकरण कर रहा हूं) पोस्टसेलेक्शन की परिभाषा के रूप में, "मजबूर माप" परिभाषा के बजाय मैंने बस दिया, जो स्पष्ट रूप से निर्भर करता है क्रमबद्धता की कमी के कारण। आशा है कि ये आपकी मदद करेगा!

EDIT (3/27/11 9 PM): मैंने पहले से ही शुद्ध-राज्य औपचारिकता में पोस्टसेप्शन को परिभाषित किया है। निएल ने घनत्व मैट्रिक्स की औपचारिकता में एक विश्लेषण दिया जो कि 3-qubit उदाहरण के लिए मेरा असहमत है। अपराधी, फिर से, पदावनति की परिभाषा है। घनत्व मैट्रिक्स सेटिंग में पोस्टसेलेक्शन को निम्नानुसार परिभाषित करें। एक घनत्व मैट्रिक्स दिया $M$ , इसे अलग-अलग राज्यों के मिश्रण के रूप में फिर से लिखें $M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$ । चलो $\left\vert A_i \right>$ शुद्ध-राज्य की औपचारिकता का उपयोग करते हुए पोस्टसेशन (कुछ qubit पर) का परिणाम मैं ऊपर परिभाषित करता हूं। पर पोस्टसेलेक्शन के परिणाम को परिभाषित करें $M$ होने के लिए $\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$ ।

यह एक अधिक समझदार परिभाषा है, क्योंकि यह हमें परिणाम नहीं देती है जो कहती है कि पोस्ट-सेलेक्ट करने के बाद, हम पहले से देखे गए घटनाओं (माप) के आँकड़ों को बदल देते हैं। यह है की $p_i$ सिक्कों की संभावना है कि हम "पहले ही फ़्लिप" कर चुके हैं। मुझे यह कहने से कोई मतलब नहीं है कि हम समय पर वापस जाने वाले हैं और एक सिक्का फ्लिप किया जा रहा है जो पहले से ही हुआ है क्योंकि इससे वर्तमान पोस्टसेलेक्शन की संभावना अधिक होगी।

EDIT (3/28/11 1 PM): निएल ने स्वीकार किया कि मेरी परिभाषा से समस्या समझ में आती है और यह तुच्छ नहीं है - लेकिन इस शर्त के साथ कि मुझे इसे पोस्टसेप्शन नहीं कहना चाहिए । भ्रम की मात्रा को देखते हुए, मुझे उसके साथ सहमत होना होगा। तो चलो कहते हैं कि मैंने चयन के लिए क्या परिभाषित किया , जो "मजबूर माप" करता है। मुझे संभवतः उन जटिलता वर्गों का नाम बदलना चाहिए जिन्हें मैंने भी परिभाषित किया है (उनमें "पोस्ट" नहीं है) तो चलो उन्हें क्यूएमएस [के] (क्वांटम-माप-चयन) कहें।

— शॉन हरकर
स्रोत

क्या आप MPostBQP को अधिक औपचारिक रूप से परिभाषित कर सकते हैं? यदि आपका मतलब है कि इस वर्ग में कई बिट्स के परिणाम के आधार पर पोस्ट-चयन करने की शक्ति है, तो इस वर्ग को पोस्टक्यूक्यूपी में समाहित किया जाना चाहिए।

— रॉबिन कोठारी

प्रमुख विचार एक साथ कई बिट्स पर पोस्ट-सेलेक्ट नहीं करना है, क्योंकि रॉबिन बताते हैं कि यह मदद नहीं करता है। यह करने के लिए है बिखेरना मापन और postselections। हम इन पर कमिट नहीं कर सकते; आदेश मायने रखता है। उदाहरण के लिए यह उत्तर को मापने के लिए PostBQP में काम नहीं करेगा, और फिर पोस्टसेलेक्ट करें।

— शॉन हैकर

निल के जवाब पर टिप्पणी देखें; हम क्वांटम विकास के बाद तक माप और बाद के चयन दोनों को स्थगित कर सकते हैं। मैं पहले से ही कर रहा हूँ ! एक ही तर्क माप के बाद के बाद के बदलावों को फिर से प्रकट नहीं करता है, हालांकि, माप एकात्मक नहीं हैं। विशेष रूप से, मैं कह रहा हूं कि माप और पोस्टसेन्स क्वांटम राज्य पर गैर-एकात्मक ऑपरेशन हैं, जो कम्यूट नहीं करते हैं, इसलिए जहां तक मैं बता सकता हूं कि हम सभी मापों के बाद तक सभी पोस्टसेप्शन को बिना नुकसान पहुंचाए नहीं कर सकते हैं।

— शॉन हरकर

@ शॉन हरकर: तथ्य यह है कि माप और पोस्टसेन्स गैर-एकात्मक हैं वास्तव में हमें इस बारे में कोई और जानकारी नहीं देते हैं कि क्या वे हंगामा करेंगे। शायद आप सोच सकते हैं कि आपको क्यों लगता है कि वे हंगामा नहीं करते?

— नील डी बेउड्राप

उलझाव के कारण। यहाँ एक उदाहरण है। राज्य तैयार करें

α | 000 ⟩ + \sqrt{1 / 2 - α^{2}} | 011 ⟩ + \sqrt{1 / 2 - β^{2}} | 101 ⟩ + β | 110 ⟩

$\alpha\left\vert 000 \right> + \sqrt{1/2 - \alpha^2} \left\vert 011 \right> + \sqrt{1/2 - \beta^2} \left\vert 101 \right> + \beta\left\vert 110 \right>$ । चुनें

0 < α < β < 1

$0 < \alpha < \beta < 1$ । अगर हम पहले क्वैबिट को मापते हैं और फिर तीसरे क्वैबिट पर पोस्टसेक्ट करते हैं और फिर अपने परिणाम के लिए दूसरी क्वैब को मापते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

0

$0$ या

1

$1$ समान संभावना के साथ। अगर हम पहली बार तीसरे क्विबेट पर पोस्टसेक्ट करते हैं, तो पहली क्वैबिट को मापते हैं, और अंत में अपने परिणाम के लिए दूसरी क्वाइल को मापते हैं, हम प्राप्त करते हैं

0

$0$ कम अक्सर हम प्राप्त करते हैं

1

$1$ ।

— शॉन हरकर

जवाबों:

टिप्पणियों से ऐसा लगता है कि शॉन के मन में कुछ ऐसा है जो सामान्य तौर पर चयन के बाद समझ में आता है। मैं अब इसका मतलब यह समझता हूं कि किसी विशेष पोस्टसेप्शन से पहले किए गए किसी भी माप के आंकड़ों को बाद के पोस्टेजेशन द्वारा बदल नहीं दिया जाना चाहिए। यह एक प्रक्षेपण ऑपरेटर होने के लिए एक समान है, जहां एक विशेष माप के अनुरूप तरंग तरंग की प्रत्येक शाखा पर सामान्यीकरण किया जाता है, बजाय एक पूरे के लहर के ऊपर।

इस मामले में, अपने और नील द्वारा अन्य उत्तरों में दी गई दलीलें अब पकड़ में नहीं आती हैं। वास्तव में यह आसानी से देखा जाता है $P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP [k], MPostBQP के बाद से $[k]$ एक BQP मशीन के रूप में देखा जा सकता है जो बना सकता है $k$ पीपी oracle के लिए प्रश्न, और इसलिए $P^{\# P}\subseteq$ MPostBQP ।

तो अब हमारे पास एक गैर-तुच्छ निचली सीमा है, ऊपरी सीमा के बारे में क्या? ठीक है, स्पष्ट रूप से समस्या PSPACE में है , लेकिन क्या हम बेहतर कर सकते हैं? वास्तव में, मुझे लगता है कि हम कर सकते हैं।

हम MPostBQP में किसी भी गणना को प्रपत्र की परतों के अनुक्रम के रूप में लिख सकते हैं : क्वांटम अभिकलन एक पोस्टब्लेक्शन द्वारा पीछा किया जाता है, उसके बाद एक एकल क्वांट माप। वास्तव में, यह MPostBQP [k] तैयार करने का एक वैकल्पिक तरीका हो सकता है , जिससे बना एक संगणना $k$ इस तरह की परतें (यह शॉन की परिभाषा से थोड़ा अलग है जो मेरा मानना है कि केवल पोस्ट-चयन की संख्या की गणना करना है), इसके बाद शास्त्रीय पोस्ट-प्रोसेसिंग की एक अंतिम परत है। मैं निम्नलिखित में MPostBQP [k] की इस परिभाषा का उपयोग करूंगा , क्योंकि यह अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन परिणाम की ओर ले जाता है।

सबूत में छेद को ठीक करने के लिए मूल संस्करण से नीचे अद्यतन किया गया है।

पहले हम मापी गई पहली क्वाट की माप के परिणाम की गणना करना चाहते हैं (पोस्ट-चयनित नहीं!)। ऐसा करने के लिए, हम पहले ध्यान दें कि किसी भी क्वांटम संगणना को केवल हैडमर्ड गेट्स और टोफोली गेट्स और आयाम का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। $\alpha_w$ एक विशेष कम्प्यूटेशनल आधार राज्य की $|w\rangle$ आउटपुट में अधिकतम के योग के रूप में लिखा जा सकता है $2^{H}$ मामले $a_{j,w}$ , कहाँ पे $H$ Hadamard द्वार की कुल संख्या है, जिनमें से प्रत्येक एक अद्वितीय कम्प्यूटेशनल पथ से मेल खाती है। स्पष्ट रूप से, $a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$ । अंतिम स्थिति प्राप्त करने की संभावना $|w\rangle$ फिर द्वारा दिया जाता है $\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$ । हम 1. मापने की कुल संभावना की गणना करना चाहते हैं 1. लेट $S_0$ कम्प्यूटेशनल आधार वाले राज्यों का एक सेट हो, जो चयन के बाद के मानदंडों को पूरा करते हैं (यानी पोस्ट-सिलेक्ट क्वाइबेट 1 है) और परिणाम में 0 के लिए मापा गया क्वेट, और जाने दें $S_1$ कम्प्यूटेशनल आधार वाले राज्यों का सेट हो, जो चयन के बाद के मानदंडों को पूरा करते हैं और परिणाम में 1 के लिए मापा जाता है। हम परिभाषित कर सकते हैं

π_{0}^{\pm} = \sum w \in S_{0} \pm \sum_{s i g n (a_{j, w} a_{i, w}) = \pm} a_{j, w} a_{i, w}

$\pi_0^\pm = \sum{w \in S_0} \pm \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}$ तथा

π_{1}^{\pm} = \pm \sum_{w \in S_{1}} \sum_{s i g n (a_{j, w} a_{i, w}) = \pm} a_{j, w} a_{i, w} .

$\pi_1^\pm = \pm \sum_{w \in S_1} \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}.$

इस मामले में चयनित पोस्ट के लिए 1 पर 1 वातानुकूलित को मापने की संभावना को चुना गया है $\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$ । जैसा कि हम 4 कॉल के साथ यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक # ऑरेकल पर। इसका उपयोग हम एक यादृच्छिक बिट का उत्पादन करने के लिए करते हैं $b_1$ जो संभावना के साथ 1 है $X_1$ , क्वांटम माप के समान। इस प्रकार MPostBQP [1] में है $BPP^{\# P[4]}$ ।

आगे हम दूसरी कक्षा के माप परिणाम की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहले लेयर के लिए समान #P क्वेरी चलाते हैं , लेकिन पहले दो लेयर को कंपोज़ करके प्राप्त सर्किट पर, और जहाँ हम पोस्ट-चयनित क्वैब में से प्रत्येक के लिए 1 पर पोस्टसेक्ट करते हैं, पर भी $b_1$ माप के आउटपुट के लिए 1. ध्यान दें कि हालांकि यह 1 के बजाय 3 क्वबिट के राज्यों पर पोस्टसेक्टिंग है, यह एक तुच्छ संशोधन है $\# P$ क्वेरीज़, केवल एक एनीला जोड़कर, जो केवल तभी सेट की जाती है, जब सभी 3 क्वाइल आवश्यक शर्तों को पूरा करते हैं और इस एनीका के बजाय पोस्ट-चयन करते हैं। यह तब दूसरे मापा qubit के परिणाम के लिए सही सशर्त आउटपुट संभावनाएं उत्पन्न करता है, जिसे हम लेबल करते हैं $b_2$ । ध्यान दें कि हमने अब #P oracle को 8 कॉल का उपयोग किया है ।

हम इस प्रक्रिया को पुनरावृति से दोहराते हैं, ताकि एक परत पर $j$ हम सभी के लिए 1 पर पोस्टसेक्ट करते हैं $j$ पहले से चयनित पदवी और पर $b_{i<j}$ पिछले सभी मापों के लिए, और संबंधित परिणाम को लेबल करें $P^{\# P}$ मशीन $b_j$ । कुल मिलाकर यह आवश्यक है $4j$ अलंकृत प्रश्न।

इस प्रकार हमारे पास MPostBQP [k] है $\subseteq P^{\# P[4k]}$ , जो पिछले परिणाम के साथ संयुक्त है $P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP $[k]$ , इसका आशय है $P^{PP[k]} \subseteq$ MPostBQP [के] $\subseteq BPP^{\# P[4k]}$ , और इसलिए MPostBQP $= P^{\# P}$ ।

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

[संशोधित] मैंने आपके प्रश्न पर आपके संशोधन के आधार पर अपनी प्रतिक्रिया को संशोधित किया है, मैंने अपनी मूल प्रतिक्रिया की सामग्री को बरकरार रखा है, लेकिन मैंने इसे बहुत छोटा कर दिया है। "सिमुलेशन" प्रक्रिया का अधिक विस्तृत विवरण प्रतिस्थापित किया गया है, लेकिन मुझे लगता है कि इस पोस्ट के संपादित इतिहास को देखकर इसे देखा जा सकता है।

अधिकांश लोग सशर्त संभाव्यता के अर्थ में "पोस्टसेप्शन" को समझेंगे। दरअसल, PostBQP पर विकिपीडिया लेख के वर्तमान संस्करण का वर्णन इस तरह से है; और घनत्व ऑपरेटरों पर एक ऑपरेशन के रूप में देखा गया (जिसमें एक पूरी तरह से सकारात्मक ट्रेस-गैर-बढ़ते मानचित्र on पर लागू होता है, जैसे कि Φ ² = on, और फिर ट्रेस को फिर से आकार देता है) इस परिभाषा को पुन: प्राप्त करता है।

Postselection की इस परिभाषा को देखते हुए, MPostBQP [ k ] एल्गोरिथम के आपके डिफिकेशन को PostBQP एल्गोरिथ्म द्वारा, पोस्ट-सेलेक्शन को डिफाइन करके और एक साथ, एक उपयुक्त तरीके से प्रदर्शन करके, नकली किया जा सकता है । यह आरोनसन के पेपर क्वांटम कम्प्यूटिंग, पोस्टसेलेक्शन और प्रोबेबिलिस्टिक पॉलिनोमियल-टाइम के पेज 3 पर अधिक स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है , जो कक्षा पोस्टबीक्यूपी का परिचय देता है ।

यह स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है कि बिट्स पी ₁ , पी ₂ , ... के अनुक्रम के लिए पोस्टसेलेक्ट किया जा सकता है ( उदाहरण के लिए 1राज्य में, जो सामान्य है), उन पर कंडीशनिंग के बीच कोई अंतर नहीं 1है अभिकलन 1के अंत में उन पर संगणना और कंडीशनिंग होती है , इसलिए जब तक कि इन बिट्स के मूल्यों को अंतरिम में नहीं बदला जाता है। फिर, व्यक्तिगत रूप से उनमें से प्रत्येक पर पोस्ट-सेलेक्ट करने के बजाय 1, हम उनके तार्किक और चयन के पहले और फिर उस संयोजन पर पोस्टसेलेक्ट कर सकते हैं1। इसके अलावा, कंप्यूटिंग और बिट के अंतिम परिवर्तन और इसके बाद के चयन के बीच किसी भी बिंदु पर प्रदर्शन किया जा सकता है। यह किसी भी तरह से राज्य के किसी भी संपत्ति के संयुक्त आंकड़ों को प्रभावित नहीं करेगा।

इस प्रकार, सशर्त संभावनाओं के संदर्भ में पोस्टसेप्शन की सामान्य परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास MPostBQP [ k ] = PostBQP होगा सभी k > 0.

जैसा कि मैंने ऊपर टिप्पणियों में नोट किया है, मुझे नहीं लगता कि ऑपरेशन आप राज्य पर वर्णन करते हैं वैक्टर - विशेष रूप से, राज्य-वैक्टर के पुनर्संरचना में शामिल है माप परिणामों पर संभाव्यता वितरण की प्रत्येक शाखा में स्वतंत्र रूप पुनर्संरचना में शामिल है- चुनाव के बाद से मेल खाती है, क्योंकि क्षेत्र के कई लोग (एप्सपॉलिसेज़ली तौर पर प्रयोगवादी) अवधारणा का वर्णन करेंगे। यदि यह घनत्व संचालकों पर मानचित्रण के लिए बढ़ाया जाता है, तो यह कुछ 'अव्यवहारिक' गुणों को भी जन्म दे सकता है। हालांकि, यह निर्णय पेड़ों की तरह कुछ का निर्माण करने का एक संभावित साधन है, जिनके नोड्स को राज्य-वैक्टर द्वारा लेबल किया जाता है, और इसलिए यह सिद्धांत रूप में अपने आप में अध्ययन की एक उचित प्रक्रिया है। मैं उस प्रक्रिया को 'पोस्टसेलेक्शन' नहीं कहूंगा।

[संपादित करें।] ख़ुशी के लिए, मैंने गणना किए गए उदाहरण को हटा दिया है। मुझे लगता है कि यह इस पोस्ट के संपादित इतिहास को देखकर देखा जा सकता है।

— निएल डे ब्यूड्रैप
स्रोत

तर्क अधूरा प्रतीत होता है। आरोनसन के पत्र में टिप्पणी बताती है कि हम एकात्मक संकल्पों के साथ पश्चातापों को प्रतिच्छेद करके कोई शक्ति प्राप्त नहीं करते हैं, जिस प्रकार यह एकात्मक संकल्पों के साथ मापनों को प्रतिच्छेद करने में मदद नहीं करता है। लेकिन मैं न तो कर रहा हूं; मैं पोस्टसेप्शन और माप को प्रतिच्छेद कर रहा हूं। इस तरह से नकारात्मक तरीके से मेरे सवाल का जवाब देने के लिए यह साबित करने की आवश्यकता होगी कि हम शक्ति के नुकसान के बिना माप के बाद हमेशा चयन का आदेश दे सकते हैं। (मेरे लिए बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है।) बाकी जवाब केवल यही बताता है कि मैंने कक्षा को केवल एक बार प्रत्येक राउंड पर पोस्टसेक्ट करने के लिए परिभाषित किया।

— शॉन हरकर

@ शॉन हरकर: भले ही हारून का पेपर आपके सवाल का जवाब दे, मेरी प्रतिक्रिया ऊपर होनी चाहिए। पदावनति का प्रभाव अनिवार्य रूप से "गैर-सशर्त" संभावनाओं के बजाय सशर्त संभावनाओं को महसूस करने के लिए मापन की अनुमति देना है। बिट्स पर पोस्ट-चयन

C_{j}

$C_j$ अनिवार्य रूप से सशर्त संभावनाओं के लिए शर्तों के संयोजन का चयन करने के समान है। बिट्स पर उन सशर्त संभावनाओं

C_{j}

$C_j$ परिवर्तन नहीं है, बस इस शर्त का मूल्यांकन स्थगित करके कि क्या स्थिति है, बिट्स के रूप में लंबे समय तक

C_{j}

$C_j$ अनमना छोड़ दिया जाता है।

— नील डी ब्यूड्रैप

ऐसा लगता है कि आप बहस कर रहे हैं कि हम एक ही आँकड़े प्राप्त करते हैं यदि हम पोस्टसेप्शन और मापों को फिर से व्यवस्थित करते हैं। लेकिन अगर हम एक आसन से पहले कुछ बिट्स को मापते हैं, तो हम एक अलग वितरण से मापते हैं तो हमारे पास होगा अगर हम उन बिट्स को पोस्टसेक्शन के बाद मापते हैं। इसलिए आँकड़े समान नहीं हैं।

— शॉन हरकर

आँकड़ों को इकट्ठा करने के उद्देश्य से, एक पोस्टसेलेक्शन को शारीरिक रूप से (अक्षम रूप से) लागू किया जा सकता है, केवल उन परीक्षणों को अस्वीकार करके जिनमें वांछित पोस्टकंडिशन नहीं है। एक पोस्टकंडिशन की स्थिति क्या है ( उदाहरण के लिए "यह एकल बिट राज्य में है। 1 whether" या "ये पांच बिट्स राज्य में हैं। 1⟩") माप आदेश से प्रभावित नहीं है, इसलिए जब तक संचालन नहीं होते हैं परिणामों को संग्रहीत करने वाले बिट्स को बदलने के लिए आवेदन किया गया। इस तथ्य के रूप में कि PostBQP में माप आदेश से स्वतंत्र है या नहीं , हम अंत तक स्थगन को स्थगित कर सकते हैं।

— नील डी ब्यूड्रैप

माप के बाद का यह लक्षण वर्णन तभी लागू होता है जब हम माप से पहले पोस्टसेलेक्शन करते हैं। पहले से दिए गए तीन क्वैबिट उदाहरण मैंने इसे प्रदर्शित किए। अगर मैं इसके बारे में गलत हूं, तो कृपया इस उदाहरण का सीधे जवाब देकर जवाब दें, जो माप और पोस्टलेक्शन के आदेश के आधार पर अलग-अलग आंकड़े देता है।

— शॉन हरकर

यह MPostBQP की परिभाषा से आपको प्रतीत होगा , कि यह फैंसी ड्रेस में बस PostBQP है। आपको यह समझाने की कोशिश करने के बजाय कि मापों को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है, शायद आपको MPostBQP = PP को साबित करने के लिए और अधिक आश्वस्त होगा , क्योंकि यह ज्ञात है कि PostBQP = PP ( मात्रा-ph / 0412187 देखें )। इसे साबित करने के लिए, हम इसे दो कार्यों में अलग करते हैं:

यह साबित करते हुए कि पी.पी. $\subseteq$ MPostBQP और
यह साबित करते हुए कि MPostBQP $\subseteq$ पीपी

पहला कार्य तुच्छ है, क्योंकि PP = PostBQP = MPostBQP [1] $\subseteq$ MPostBQP । दूसरा कार्य वास्तव में यहाँ मुख्य सवाल है, लेकिन प्रमाण के लिए एक सरल अनुकूलन करके उत्तर देने योग्य है कि PostBQP = PP , क्वांट-ph / 0412187 में दिया गया है ( सबूत की रूपरेखा के लिए PostBQP पर विकिपीडिया पृष्ठ देखें )।

निम्नलिखित PostBQP = PP के लिए विकिपीडिया प्रूफ स्केच से अनुकूलित है ।

हम किसी भी MPostBQP अभिकलन के अनुरूप सर्किट को एकात्मक गेट्स और चयन के बाद की श्रृंखला के रूप में लिख सकते हैं । व्यापकता के नुकसान के बिना हम यह मान सकते हैं कि एक बार किसी पद के चयन के बाद, उस पर फिर कभी कार्रवाई नहीं की जाती है। इस प्रकार, गणना के अंत में प्राप्त क्वांटम राज्य द्वारा दिया जाता है $|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$ , कहाँ पे $P_i^1$ क्वॉर्टर के लिए प्रोजेक्टर को दर्शाता है $i$ उस पर $|1\rangle$ उप-स्थान और $A^{ij}$ प्राथमिक द्वार के अनुरूप मैट्रीस हैं। ध्यान दें कि सामान्यता की हानि के बिना हम यह मान सकते हैं कि सभी प्रविष्टियाँ $A^{ij}$ एक अतिरिक्त qubit की कीमत पर असली हैं।

अब छोडो $\{p_i\}$ उन क्वैबिट्स का सेट हो जो पोस्ट-सिलेक्टेड हैं, और जाने दें $q$ आउटपुट क्वबिट बनें। हम परिभाषित करते हैं $\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ तथा $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$ , कहाँ पे $S_0$ ( $S_1$ ) कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों का सेट है जिसके लिए $p_i = 1 \forall i$ तथा $q=0$ ( $q=1$ )। MPostBQP की परिभाषा यह सुनिश्चित करती है कि या तो $\pi(1) \geq 2\pi(0)$ या $\pi_0 \geq 2\pi_1$ । फिर तुलना करने के लिए पीपी मशीन का निर्माण करने का विचार है $\pi_0$ तथा $\pi_1$ । जताते $\psi_w$ अंतिम तरंगों का हिस्सा $\psi$ एक विशेष कम्प्यूटेशनल आधार राज्य के लिए इसी $w$ , रास्तों पर एक राशि के रूप में और सूचकांकों की जगह $i$ तथा $j$ पर $A^{ij}$ एक इंडेक्स के साथ $k$ 1 से चल रहा है $G$ , हमने प्राप्त किया $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$ ।

तब, पीपी मशीन का निर्माण करने का विचार है, जो संभावना के साथ स्वीकार करता है $\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ कुछ के लिए $C>0$ , तब से $x \in L$ इसका मतलब होगा कि $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ तथा $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ अगर $x \notin L$ ।

अब छोडो $\alpha = \{\alpha_i\}$ तथा $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$ । फिर $\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$ ।

इस तरह की एक पीपी मशीन को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:

एक कम्प्यूटेशनल आधार राज्य चुनें $w$ बेतरतीब ढंग से।
अगर $w \notin S_0 \cup S_1$ , तो बंद करो और संभावना के साथ स्वीकार करते हैं $1/2$ , और अन्यथा अस्वीकार करें।
दो क्रम चुनें $\alpha$ तथा $\alpha'$ का $G$ कम्प्यूटेशनल आधार यादृच्छिक पर समान रूप से बताता है।
गणना करना $X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$ ।
अगर $w\in S_1$ फिर संभावना के साथ स्वीकार करते हैं $\frac{1+X}{2}$ , और अन्यथा अस्वीकार करें। वैकल्पिक रूप से, यदि $w\in S_0$ फिर संभावना के साथ स्वीकार करते हैं $\frac{1-X}{2}$ , और अन्यथा अस्वीकार करें।

इसके बाद MPostBQP [k] डालता है $\subseteq$ पीपी , सभी के लिए $k$ , और इसलिए MPostBQP से अधिक नहीं शक्तिशाली है PostBQP ।

— जो फिट्जिमोंस
स्रोत

इस तर्क से पता चलता है कि एकात्मक संकल्पों के साथ कई पोस्टसेप्शन को इंटरप्रेट करने से हमें पीपी से ज्यादा कुछ नहीं मिलता है। मैं पूरी तरह सहमत हूँ। हम शक्ति के नुकसान के बिना उन्हें अंत तक स्थगित कर सकते हैं और हमें केवल एक की आवश्यकता है। मुझे नहीं लगता कि यह तर्क मुझे इससे ज्यादा कुछ बताता है। लेकिन मेरा सवाल कुछ अलग पूछता है; यह माप और चयन के दौर के बाद एकात्मक विकास का संबंध है (अंतिम निर्णय के साथ इस निर्णय विधि के माध्यम से माना जाता है)। इसलिए मुझे नहीं लगता कि यह मेरे सवाल का जवाब देता है।

— शॉन हरकर

यह कहने के लिए कि मैं आपकी प्रतिक्रिया में आपके द्वारा किए गए प्रयास की सराहना नहीं करता (बेहद) करता हूं। मैं सिर्फ यह नहीं देखता कि यह पता है कि मैं वास्तव में क्या पाने की कोशिश कर रहा था, जो मैंने स्वीकार किया था कि वह समझाने का काम भी नहीं करता था।

— शॉन हरकर

@ शौन: मैं भेद नहीं देखता। क्या आप सुझाव दे रहे हैं कि माप जोड़ने से शक्ति में परिवर्तन होता है? यह निश्चित रूप से ऐसा नहीं है, क्योंकि माप हमेशा एक बड़े हिल्बर्ट स्थान पर एकात्मक विकास के बराबर होते हैं।

— जो फिट्जसिमोंस

@ शॉन: मेरा कहना है कि गणितीय रूप से माप के साथ स्थिति और बिना स्थिति (लेकिन एक उपयुक्त रूप से बढ़े हुए हिल्बर्ट स्थान के साथ) समान हैं। मैं किसी भी तरह के दार्शनिक बिंदु बनाने की कोशिश नहीं कर रहा हूं, या क्वांटम यांत्रिकी की एक व्याख्या के पक्ष में हूं, मैं केवल यह इंगित कर रहा हूं कि माप जोड़ने से एक अच्छी तरह से स्थापित (गणितीय) परिणाम के कारण कम्प्यूटेशनल शक्ति पर कोई फर्क नहीं पड़ता है।

— जो फिट्ससिमों

@ शॉन: मुझे ऐसा लगता है कि आप पोस्ट-सिलेक्शन को गलत तरीके से लागू कर रहे हैं। यदि आप इसे सामान्य तरीके से लागू करते हैं (यानी यह देखते हुए कि आपको क्या आँकड़े मिलते हैं यदि आप केवल उन परिणामों पर विचार करते हैं जो किसी विशेष मापदंड पर फिट होते हैं), तो आपको पोस्टबीक्यूपी = MPostBQP मिलता है, जैसा कि निएल और मैं दोनों ने दिखाया है। आप टिप्पणियों में दिए गए राज्य के माप के आदेश से स्वतंत्र समान आँकड़े भी प्राप्त करते हैं। महत्वपूर्ण रूप से पहली qubit बराबर संभावना के साथ 0 और 1 नहीं देती है। (जारी रखा जाएगा)

— जो फिट्जसिमों