निश्चित पैरामीटर और सन्निकटन एल्गोरिदम के बीच संबंध

निश्चित पैरामीटर और सन्निकटन कठिन समस्याओं को हल करने के लिए पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण हैं। उनकी अलग प्रेरणा है। अनुमानित परिणाम के साथ तेजी से परिणाम के लिए अनुमान लग रहा है। निश्चित पैरामीटर घातांक के संदर्भ में समय की जटिलता के साथ सटीक समाधान की तलाश करता है और कश्मीर के कुछ कार्य और बहुपद का कार्य n है जहां n इनपुट आकार है और k पैरामीटर है। उदाहरण । $2^kn^3$

अब मेरे सवाल है, वहाँ किसी भी ऊपरी है या निर्धारित पैरामीटर और सन्निकटन के बीच संबंधों के आधार पर बाध्य परिणाम कम दृष्टिकोण या वे पूरी तरह से एक समस्या के लिए किसी भी रिश्ते उदाहरण नहीं है होना कहा जाता है कुछ के लिए कठिन का c-सन्निकटन एल्गोरिथ्म या PTAS से कोई लेना-देना नहीं है। कृपया कुछ संदर्भ प्रदान करें $P$ $W[i]$ $i>0$

— Prabu
स्रोत

संबंधित, संभवतः डुप्लिकेट ?: cstheory.stackexchange.com/questions/4906/…

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश वेंकट यह प्रश्न एनपी-पूर्ण और निश्चित पैरामीटर को समझने में अंतर के बारे में है। जब हम केवल एनपी-कठोरता के संदर्भ में बात करते हैं, तो स्वतंत्र सेट और वर्टेक्स कवर शाब्दिक रूप से समान होते हैं, लेकिन जब हम निश्चित पैरामीटर के संदर्भ में बात करते हैं तो उनमें बहुत अंतर होता है। शीर्ष कवर अच्छा एफपीटी है, जबकि स्वतंत्र सेट डब्ल्यू है [1] कठिन

— Prabu

लेकिन यहाँ मैं सन्निकटन और नियत पैरामीटर के बीच संबंध की तलाश कर रहा हूँ।

— प्रभू

मुझे लगता है कि उनके बीच कोई वास्तविक संबंध नहीं है, लेकिन निश्चित पैरामीटर का उपयोग करके हमारे पास एक अच्छा सन्निकटन हो सकता है, उदाहरण के लिए बिन पैकिंग (मेपेंन शेड्यूलिंग) में आप इस संबंध को देख सकते हैं, या उदाहरण के लिए बंधे हुए ट्रेविदथ ग्राफ़ में हमारे पास कुछ समस्याओं का अनुमान है। ।

— सईद

जवाबों:

पैरामीटराइज्ड जटिलता और सन्निकटन एल्गोरिदम के बीच कई कनेक्शन हैं।

सबसे पहले, किसी समस्या के तथाकथित मानक मानकीकरण पर विचार करें। यहां, पैरामीटर वह है जो आप समस्या के अनुकूलन संस्करण में अनुकूलित करेंगे (वर्टेक्स कवर समस्या के लिए वर्टेक्स कवर का आकार, ट्रेविदथ समस्या, आदि के लिए पेड़ के अपघटन की चौड़ाई)। आइए हम समरी कवर पर ध्यान दें। वर्टेक्स कवर के लिए लंबवत संख्या के साथ कोई कर्नेल एक स्थिर कारक बहुपद-काल सन्निकटन एल्गोरिथ्म का अर्थ लगाता है: अनुमानित समाधान में, उन सभी लंबों को डालें, जिन्हें कर्नेलाइज़ेशन एल्गोरिथ्म द्वारा समाधान में मजबूर किया गया है, और कर्नेल के सभी कोने । दूसरी ओर, सन्निकटन कारक पर निचले सीमा कर्नेल के आकार पर कम सीमा होती है। उदाहरण के लिए, अनूठे खेल अनुमान के तहत, खोत और रेगेव (जेसीएसएस 2008)किसी भी अनुपात के साथ वर्टेक्स कवर के लिए सन्निकटन एल्गोरिदम को नियमबद्ध करें , जो कि अधिकांश वर्टिकल, , के साथ- साथ वर्टेक्स कवर के लिए एक कर्नेल को नियमबद्ध करता है। $c<2$ $ck$ $c<2$

संपादित करें: पिछले पैराग्राफ में बंधे कर्नेल लोअर के लिए तर्क बहुत ही अनौपचारिक है, और मेरी जानकारी के अनुसार यह खुला है कि कर्नेल के आकार पर इस तरह के निचले सीमा को साबित किया जा सकता है, यहां तक कि वर्टेक्स कवर के लिए भी। जैसा कि @ फाल्क टिप्पणी में बताते हैं, तर्क सबसे अधिक (सभी?) ज्ञात गुठली के लिए है। हालाँकि, मैं यह नहीं देखता कि कर्नेलाइजेशन एल्गोरिदम के अस्तित्व को कैसे अलग किया जा सकता है जहाँ कर्नेलाइज़्ड इंस्टेंस का एक व्यवहार्य समाधान प्रारंभिक उदाहरण में संबंधित समाधान की तुलना में एक अलग सन्निकटन अनुपात है।

फिर, पीटीएएस बनाम एफपीटीएएस का मुद्दा है। हम भीतर एक समाधान खोजने के लिए चाहते हैं इष्टतम से, हम से parameterize कर सकते हैं । फिर, एक पीटीएएस मानकीकृत सेटिंग में एक एक्सपी-एल्गोरिदम से मेल खाती है, जबकि एक एफपीटीएएस एक एफपीटी-एल्गोरिदम से मेल खाती है। एक सन्निकटन बाध्य निचले हिस्से के लिए, हम किसी भी समस्या जिसका मानक parameterization डब्ल्यू है के लिए एक EPTAS की उम्मीद नहीं कर सकते हैं [1] -हार्ड: साथ EPTAS चल वास्तव में एफपीटी समय में समस्या का समाधान होगा। $(1+\epsilon)$ $1/\epsilon$ $\epsilon=1/(k+1)$

$(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$ $g$ एफपीटी सन्निकटन पर एक सर्वेक्षण के लिए।

— सर्ज गैसपर्स
स्रोत

@ गैस्पर क्या आप इस सवाल को देख सकते हैं "दो एसाइक्लिक उप-टूर्नामेंट दिए गए एक अधिकतम एसाइक्लिक उप-टूर्नामेंट का पता लगाना"। मुझे अब भी अपने उत्तर पर संदेह है। जैसा कि आपने संबंधित समस्या के साथ काम किया है, आप मेरी मदद कर सकते हैं

— प्रबू

सर्ज के उत्तर के पहले पैराग्राफ को सही मानते हैं? क्या कर्नेल के आकार पर निम्न बाध्यता अनुमानित क्षमता से कम होती है? इसी तरह का बयान निडरमियर की पुस्तक में है लेकिन क्या यह कथन सही है?

— XXYYXX

@XXYYXX: सर्ज के जवाब में, उन्होंने लिखा था "वर्टेक्स कवर के लिए रेखीय संख्या के साथ कोई कर्नेल एक छोटे कारक के साथ एक स्थिर कारक बहुपद-काल सन्निकटन एल्गोरिथ्म का अर्थ है"। अधिक सटीक रूप से, उनके तर्क से पता चलता है कि अगर कुछ निरंतर सी के लिए ck कोने के साथ एक कर्नेल मौजूद है, तो एक कारक-सी सन्निकटन एल्गोरिथ्म मौजूद है। गर्भनिरोधक है: यदि कोई कारक-सी सन्निकटन एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं है, तो सीके वर्टिस वाला कोई कर्नेल मौजूद नहीं है।

— योशियो ओकामोटो

@Prabu: मैंने दूसरे प्रश्न के आपके उत्तर पर टिप्पणी की। @ योशियो: @ XXYYXX के सवाल का जवाब देने के लिए धन्यवाद।

— सर्ज गैसपर्स

वास्तव में शायद सभी ज्ञात कर्नेल के लिए, तर्क रखता है। हालाँकि, मुझे कोई कारण नहीं दिखता है कि एक ऐसा क्यों नहीं होना चाहिए जैसे कि पहले किसी अन्य समस्या को कम करता है, वहाँ कर्नेल करता है, और फिर वापस वेरटेक्स कवर में कम कर देता है, ताकि परिणामी आवृत्ति में प्रारंभिक एक के साथ कोई पत्राचार पत्राचार न हो। तो यह मुझे लगता है कि केवल एक चीज जो हम वास्तव में दिखा सकते हैं, वह यह है कि गुठली जो कि सबग्राफ हैं, शायद 2k से छोटी नहीं होगी।

— फाल्क हफनर

$FPTAS$ $PFPT$

$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$ $NP$ $Q$ $FPTAS$ $Q$ $PFPT$

$PFPT$

$NP$ $Q$ $PFPT$ $O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$ $|x|$ $x$

दो सन्निकटन वर्गों के लिए एक और लक्षण वर्णन [2, प्रमेय 6.5] में प्रस्तावित हैं।

एक समस्या है

$PTAS$ $ptas^{\infty}$ $XP^w$

$FPTAS$ $fptas^{\infty}$ $PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$ $(XP)PFPT^w$ $\frac{1}{\epsilon}$

बहुपद समय सन्निकटन योजनाएं और मानकीकृत जटिलता । जे। चेन एट अल। / असतत अनुप्रयुक्त गणित 155 (2007) 180 - 193।
बहुपद-समय स्वीकृति की संरचना । ईजे वैन लीउवेन एट अल। तकनीकी रिपोर्ट UU-CS-2009-034, दिसंबर 2009।

— ऑलेक्ज़ेंडर बॉन्डारेंको
स्रोत