न्यूनतम फ्लिप कनेक्टिविटी समस्या

Question

मैंने अपने जीपीएस के साथ खेलते हुए आज निम्नलिखित समस्या तैयार की। यह रहा :

बता दें कि एक ऐसा निर्देशित ग्राफ है, जैसे कि तब , यानी , अंतर्निहित अप्रत्यक्ष ग्राफ का एक ओरिएंटेशन है। निम्नलिखित कार्यों पर विचार करें:ई = ( यू , वी ) ∈ ई ( वी , यू ) ∉ ई $G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• $Flip(u,v)$ : एक किनारे को किनारे से बदलें( वी , यू $(u,v)$$(v,u)$
• $undirect(u,v)$ : एज इनडायरेक्ट करें$(u,v)$

चलो में दो विशेष कोने हैं। निम्नलिखित अनुकूलन समस्याओं पर विचार करें:$s,t \in V$

• मिन-फ्लिप सेंट-कनेक्टिविटी: और दो कोने को देखते हुए किनारों की न्यूनतम संख्या ज्ञात करें जिन्हें से तक एक निर्देशित पथ बनाने के लिए फ़्लिप करने की आवश्यकता है ।$G$$s,t$$s$$t$
• मिन-फ्लिप मजबूत-कनेक्टिविटी: को देखते हुए न्यूनतम किनारों की संख्या मिलती है जिन्हें दृढ़ता से जोड़ने के लिए फ़्लिप करने की आवश्यकता होती है । यदि किनारों को फ़्लिप करके दृढ़ता से जोड़ा जाना संभव नहीं है तो आउटपुट NO।$G$$G$$G$
• न्यूनतम-अप्रत्यक्ष मजबूत-कनेक्टिविटी: दिए गए को न्यूनतम किनारों की संख्या मिलती है जिन्हें दृढ़ता से जोड़ने के लिए अप्रत्यक्ष रूप से आवश्यक है।$G$$G$

ध्यान दें कि आपको "नए" किनारों को जोड़ने की अनुमति नहीं है। आप उपरोक्त संचालन का उपयोग करके केवल मौजूदा किनारों को संशोधित कर रहे हैं । क्या इस समस्या को साहित्य में जाना जाता है। यदि हां, तो ज्ञात परिणाम क्या हैं?

Comments

आपके कहने का मतलब है कि न्यूनतम संख्या में किनारों को सही फ़्लिप करने की आवश्यकता है ?

— गौरव कनाडे

@ गौरव: हाँ। मैंने इसे ठीक किया।

— शिव किंतली

तीसरी समस्या के लिए, क्या आपका मतलब है कि दोनों दिशाओं में एक अप्रत्यक्ष बढ़त का पता लगाया जा सकता है?

— योशियो ओकामोटो

@ योशियो: हाँ। पथ को निर्धारित करने के लिए दोनों दिशाओं में अप्रत्यक्ष किनारों का उपयोग किया जा सकता है।

— शिव किंतली

संबंधित: tcs.uni-luebeck.de/downloads/papers/2011/orient-ilp.pdf

Answer 1

सारांश: समस्याओं को बहुपद समय में न्यूनतम लागत वाली दृढ़ता से जुड़े अभिविन्यास के द्वारा हल किया जा सकता है।

अधिक विवरण: रॉबिंस का एक प्रमेय बताता है कि एक अप्रत्यक्ष ग्राफ के किनारों को उन्मुख किया जा सकता है ताकि परिणामस्वरूप निर्देशित ग्राफ दृढ़ता से जुड़ा हो और यदि केवल अप्रत्यक्ष ग्राफ 2-किनारे से जुड़ा हो। कई एक्सटेंशन हैं, और उनमें से एक बहुपद-समय सबमॉडुलर फ्लो एल्गोरिथ्म का उपयोग करके कहता है, हम बहुपद समय में निम्नलिखित समस्या को हल कर सकते हैं: बढ़त लागत (दोनों दिशाओं के लिए) के साथ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ को देखते हुए, एक न्यूनतम-लागत अभिविन्यास खोजें जो बनाता है ग्राफ दृढ़ता से जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, फ्रैंक का पेपर देखें । इवाता और कोबायाशी द्वारा हाल ही में एक एल्गोरिथ्म प्रदान किया गया है ।

यह परिणाम सामने आने वाली समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी होना चाहिए। पहली समस्या को टोमेक द्वारा प्रस्तावित विधि द्वारा हल किया जा सकता है । तो हम अन्य समस्याओं पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

दूसरी समस्या के लिए, हम किनारे-भारित ग्राफ के समान निर्माण का उपयोग करते हैं जैसे कि टोमेक, और बहुपद समय में न्यूनतम लागत वाली दृढ़ता से जुड़ा हुआ अभिविन्यास पाते हैं।

तीसरी समस्या के लिए, प्रत्येक किनारे के लिए दोनों दिशाओं की अनुमति देने के लिए, हम प्रत्येक किनारे की नकल करते हैं, और फिर एक ही निर्माण और एक ही एल्गोरिदम लागू करते हैं। यह एक वैध कमी है क्योंकि डुप्लिकेटेड किनारों के लिए एक ही दिशा का उपयोग करने से मजबूत कनेक्टिविटी प्रभावित नहीं होती है।

Answer 2

यह पहली समस्या के लिए एक जवाब है:
एक नया भारित ग्राफ पर विचार है, जहां ई ' = { ( यू , वी , 0 ) | ( यू , वी ) ∈ ई } ∪ { ( वी , यू , 1 ) | ( यू , वी ) ∈ ई } (सभी किनारों कि में हैं वजन $G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$0 हैं, और 'उलट' किनारों का वजन 1) है। अब आपको बस से t तक का सबसे छोटा रास्ता खोजना है ।$s$$t$

Answer 3

मिन-फ्लिप सेंट कनेक्टिविटी एनएल-पूर्ण है यदि आप निर्णय की समस्या को वाक्यांश के रूप में "क्या कोई ऐसा पथ है जिसे अधिकांश किनारों पर फ़्लिपिंग की आवश्यकता है ?"। यह NL- हार्ड है क्योंकि इसमें k = 0 के लिए एक विशेष मामले के रूप में सेंट कनेक्टिविटी है , और यह NL में है क्योंकि आप s से t तक एक पथ का अनुमान लगा सकते हैं जो कुछ फ़्लिप किए गए किनारों का उपयोग करता है और एक समय में एक किनारे पर एक काउंटर रखता है सुनिश्चित करें कि k किनारों से अधिक पीछे की ओर नहीं हैं।$k$$k=0$$s$$t$$k$

Answer 4

मेरी हालिया पुस्तक में, कनेक्शंस इन कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन (ऑक्सफ़ोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 2011) एक केंद्रीय विषय ग्राफ अभिविन्यास समस्याएं हैं, जिनमें ऊपर चर्चा की गई विविधताएं शामिल हैं। यह ज्ञात है कि 2k-edge-connect ग्राफ में k-edge-जुड़ा ओरिएंटेशन है (यह नैश-विलियम्स का एक प्रमेय है)। यदि ग्राफ़ 2k-edge-जुड़ा नहीं है, तो किसी को यह तय करने में दिलचस्पी हो सकती है कि किनारों का F या उप-खंड अच्छा है (इस अर्थ में कि F का एक अभिविन्यास है ताकि परिणामी मिश्रित ग्राफ k-edge-connect है)। पुस्तक में मैंने बताया कि कैसे इस समस्या को बहुपद में हल किया जा सकता है। लेकिन मुझे नहीं पता कि न्यूनतम कार्डिनैलिटी अच्छा सेट कैसे पाया जाए।

एंड्रस फ्रैंक

Answer 5

मिन-फ्लिप सेंट-कनेक्टिविटी बेस: सभी वर्टिकल की गणना करें जो कि एस (टी) से उपलब्ध हैं। यदि टी स्टॉप में है। आगमनात्मक: टी में नहीं है कि एक एक फ्लिप के साथ सटे हुए हैं और इस यू को कॉल करने वाले सभी कोने पर विचार करें। यू से कॉल करने वाले वर्टिकल की गणना करें। इस टी को वी स्टॉप है, अन्यथा वी को टी में जोड़ें और जारी रखें।

मिन-फ्लिप मजबूत-कनेक्टिविटी का मतलब आपको अप्रत्यक्ष होना चाहिए क्योंकि आपके पास एक समस्या होगी: ए -> बी