किसी दिए गए बाउंडिंग बॉक्स के भीतर रैंडम से बचने वाले जाली चक्र

के संबंध में लुढ़कना लिंक पहेली, मैं सोच रहा है: मैं एक है मान लीजिए कि वर्ग कक्षों की ग्रिड, और मैं समान रूप से सभी संभव सरल चक्र के बीच यादृच्छिक पर, ग्रिड किनारों का एक सरल चक्र लगाना चाहते हैं। $n\times n$

ऐसा करने का एक तरीका मार्कोव श्रृंखला का उपयोग करना होगा, जिनके राज्य चौकों के सेट हैं जिनकी सीमाएं सरल चक्र हैं और जिनके संक्रमण में फ्लिप करने के लिए एक यादृच्छिक वर्ग चुनने और फ्लिप रखने के लिए एक यादृच्छिक वर्ग का चयन करना शामिल है, जबकि अभी भी एक सरल चक्र है इसकी सीमा। इस तरह से किसी भी सरल चक्र से किसी भी अन्य को प्राप्त किया जा सकता है (गोले के अस्तित्व के बारे में मानक परिणामों का उपयोग करके) इसलिए यह अंततः एक समान वितरण में परिवर्तित होता है, लेकिन कितनी जल्दी?

वैकल्पिक रूप से, क्या एक बेहतर मार्कोव श्रृंखला, या सरल चक्रों के चयन के लिए एक सीधा तरीका है?

ETA: कोड के लिए इस ब्लॉग पोस्ट को देखिए कि मैं कितनी संख्या में चक्रों की गणना कर रहा हूं, और इनमें से कुछ संख्याओं के लिए OEIS को इंगित करता हूं। जैसा कि हम जानते हैं, गिनती लगभग यादृच्छिक पीढ़ी के समान है, और मैं इन नंबरों के कारकों में किसी भी स्पष्ट पैटर्न की कमी और OEIS प्रविष्टि में एक सूत्र की कमी से अनुमान लगाता हूं कि ज्ञात सरल प्रत्यक्ष विधि होने की संभावना नहीं है । लेकिन यह अभी भी इस सवाल को छोड़ देता है कि यह श्रृंखला कितनी जल्दी परिवर्तित होती है और क्या एक बेहतर श्रृंखला विस्तृत खुली है।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

OEIS अनुक्रम द्वारा गिना जाने वाले सेटों की सीमा आवश्यक रूप से सरल चक्र नहीं हैं, उदाहरण के लिए 3x3 के लिए, 218 में से एक में मध्य को छोड़कर सभी वर्ग हैं, और एक कोने को हटाकर एक और चार दिए गए हैं।

— कॉलिन मैकक्लिअन

2xn ग्रिड के लिए नंबर oeis.org/A059020 में दिए गए हैं । 3xn के लिए मुझे पूरा यकीन है कि वे 6,40,213,1049,5034,23984,114069,542222,2577870,12253948,58249011,276885683,13161706906256394122,29739651711,141366874247, ... (ओआईई में नहीं हैं ...) मैंने हाथ से गणना करने के लिए स्थानांतरण मैट्रिक्स की स्थापना की, लेकिन मैंने इसकी तुलना एक मशीन-जेनरेट की गई मैट्रिक्स से की और केवल प्रविष्टि जो उन्होंने अलग की थी वह सही थी और मशीन एक गलत थी। (यह 3x3 के मामले में दिखाना चाहिए - मशीन मैट्रिक्स ने केंद्र में एक छेद के साथ एक ऑक्टोमिनो की अनुमति दी होगी।)

— डेविड एप्पस्टीन

आपको वह अनुक्रम नील स्लोएन को भेजना चाहिए ताकि वह इसे OEIS में डाल सके।

— पीटर शोर

@ डेविड: धन्यवाद। शायद, यह मेरे लिए स्थानांतरण मैट्रिक्स विधि को और अधिक अच्छी तरह से जानने का समय है।

— योशियो ओकामोटो

@ डेविड: आपने पहेली के उस लिंक के साथ मेरे जीवन के दो घंटे बर्बाद कर दिए .. Thx!

— डोमोटरप

ऐसा लगता है कि क्योंकि आप केवल यादृच्छिक रूप से एक चक्र चुनने के लिए ग्राफ़ में चक्रों की संख्या के लिए गणना का उपयोग कर रहे हैं, कि यदि आपके पास इस संख्या के लिए यादृच्छिक सन्निकटन है, तो आप अभी भी समान रूप से लगभग एक चक्र चुन सकते हैं।

ध्यान दें कि एक ग्राफ में चक्रों की संख्या , जिसमें किनारे , चक्रों की संख्या के बराबर है $G$ $(u, v)$ प्लस से सरल रास्तों की संख्या करने के लिए में । इस प्रकार, - रास्तोंकी संख्या के लिए एक बहुपद समय सन्निकटन के साथ, एक बहुपद समय सन्निकटनको एक बार में एक किनारेतक बढ़नेसे एक बार मेंप्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि आप जाते हैं। $G - (u, v)$ $u$ $v$ $G - (u, v)$ $u$ $v$ $G$

मुझे वास्तव में लगता है कि एक चक्र चुनने के लिए एक अधिक सरल विधि है। चलो चारों ओर किनारों के पूरे ग्राफ होना वर्गों के ग्रिड। प्रत्येक किनारे के लिए उस किनारे वाले चक्रों की संख्या ज्ञात करें (जो कि - में - पथों की संख्या है )। फिर बेतरतीब ढंग से चक्रों की संख्या से भारित एक किनारा चुनें जिसमें यह शामिल है। यह आपके रैंडम तरीके से चुने गए चक्र का पहला किनारा होगा। एक समय में एक किनारे को बढ़ाकर अन्य सभी किनारों को चुना जाएगा। $G$ $n \times n$ $(u, v)$ $u$ $v$ $G$ $(u, v)$

मान लें कि आपने एक रास्ता चुना है जो आपके यादृच्छिक चक्र का हिस्सा है। इस मार्ग पर कोने के सेट होने दो और जाने और पथ के endvertices हो। इसके अलावा को के पड़ोसियों का समूह होने दें $C$ $v_s$ $v_e$ $N$ $v_e$ जो में नहीं हैं (ध्यान दें कि इस विशेष ग्राफ में केवल 3 तक हैं)। प्रत्येक के लिए की संख्या की गिनती - प्रेरित ग्राफ में रास्तों $C$ $u \in N$ $u$ $v_s$ । तबगिने जाने वाले रास्तों पर भारित कापड़ोसी, चुनें। अपने चुने हुए मार्गमें किनारे जोड़ें, इसे एक-एक करके बढ़ाएं। $G[V - (C - \{v_s, v_e \} ) ]$ $u$ $v_e$ $(v_e, u)$

इस तरह, किनारों की एक बहुपद संख्या को चुना जाता है, प्रत्येक को एक बहुपद समय सन्निकटन एल्गोरिथ्म की गणना की एक छोटी संख्या की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, एक चक्र समान रूप से चुना जा सकता है।

वर्तमान में मेरे पास एक स्टैकएक्सचेंज प्रश्न है जो फास्ट पथ गणना सन्निकटन एल्गोरिदम के लिए संदर्भ का अनुरोध करता है। मैंने कुछ स्थानों पर पढ़ा है कि ये एल्गोरिदम मौजूद हैं लेकिन अभी तक उन्हें नहीं मिला है।

— bbejot
स्रोत