सबूत है कि मैट्रिक्स गुणा द्विघात समय में किया जा सकता है?

Question

यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया गया है कि मैट्रिक्स गुणन के लिए इष्टतम घातांक , वास्तव में 2 के बराबर है। "मेरा आकार सरल है:$\omega$

हमें उस विश्वास करने के क्या कारण हैं ?$\omega = 2$

मुझे Coppersmith-Winograd जैसे तेज़ एल्गोरिदम के बारे में पता है, लेकिन मुझे नहीं पता कि इन सबूतों को लिए क्यों माना जा सकता है ।$\omega = 2$

स्वाभाविक रूप से, यह मुझे एक क्लासिक उदाहरण की तरह लगता है, जहां एक समुदाय सिर्फ उम्मीद करता है कि परिणाम विशुद्ध रूप से सौंदर्य कारणों से सही है। मुझे यह जानना अच्छा लगेगा कि क्या यहाँ भी ऐसा ही है।

Comments

मुझे लगता है कि इसका उत्तर मोटे तौर पर सौंदर्यशास्त्र है, और इसके 2 से बड़े होने का एक अच्छा कारण की कमी है। FOCS'05 में एक पेपर था जिसने मैट्रिक्स मल्टी के लिए कुछ समूह सिद्धांत निर्माण दिए थे जो वर्तमान ज्ञात घातांक से मेल खाते थे और 2 से 2 समूह सिद्धांतवाचक अनुमान जो अर्थ है । पीडीएफ$\omega=2$

— मार्क रीटब्लट

कुछ साल पहले, मैंने स्ट्रैसेन के साथ एक बातचीत की जहां उन्होंने कहा कि उन्हें विश्वास था । मुझे यकीन नहीं है कि उसके कारण क्या थे, हालांकि। $\omega > 2$

— रयान विलियम्स

@ रेयान, आशा करते हैं कि स्ट्रैसन cstheory.stackexchange पढ़ता है। :)

— स्टीव फ्लेमिया

वहाँ एक है लोअर बाउंड दौड़ा सूबेदार राज की वजह से (कुछ प्रतिबंध से कम), तो एक बेहतर अनुमान है कि हो सकता है ω = 2 हासिल नहीं किया है (लेकिन infimum वास्तव में है 2 )। $\Omega(n\log n)$$\omega = 2$$2$

— युवल फिल्मस Yu

@Yuval, @Steve: 1) आमतौर पर है परिभाषित सीमा के रूप में। 2) हम पहले से ही जानते हैं कि जो भी ω है, वह हासिल नहीं किया गया है (यह एक प्रकार है और एक मिनट नहीं है)। इस कोपरस्मिथ-विनोग्राद पेपर देखें: dx.doi.org/10.1137/0211038 । अमूर्त से: "मैट्रिक्स गुणन के लिए घातांक एक सीमा बिंदु है, अर्थात यह किसी एकल एल्गोरिथ्म द्वारा महसूस नहीं किया जा सकता है।" (उनके परिणामों के विवरण को देखते हुए, मुझे लगता है कि इस कथन को चेहरे के मूल्य पर भोलेपन से नहीं लिया जा सकता है, लेकिन यह ज्यादातर एक तकनीकी है।)$\omega$$\omega$

— जोशुआ ग्रोचो

Answer 1

मैं मार्क रितब्लट की टिप्पणी और अमीर श्पिल्का के उत्तर में जोड़ना चाहूंगा। सबसे पहले, अनुमानों में से एक कोहन, क्लेनबर्ग, स्वेग्डी, और उमान द्वारा आगे रखा गया, जो समूह-सिद्धांतवादी नहीं है, लेकिन विशुद्ध रूप से कॉम्बीनेटरियल ( कॉनज । 3.4 उनके FOCS '05 पेपर में ) है। यह अनुमान कहता है कि "मजबूत यूएसपी क्षमता । "ताम्रकार और Winograd, आव्यूह गुणन के लिए अपने वर्तमान का सर्वश्रेष्ठ प्रदर्शन करते एल्गोरिथ्म प्रदर्शन में पता चला है कि खासियत क्षमता इस एक ही नंबर है$\frac{3}{2^{2/3}}$ (हालांकि वे यह वाक्यांश काफी इस तरह से नहीं किया था)। हालांकि मजबूत यूएसपी और यूएसपी के बीच अंतर है, यह कुछ सबूत है कि उनका अनुमान कम से कम प्रशंसनीय है।$\frac{3}{2^{2/3}}$

(उनके अन्य अनुमान ४.२ के लिए, जो कि समूह-सिद्धांतवादी है, मुझे केवल अंतर्ज्ञान से परे, बहुलता के किसी भी समान प्रमाण के बारे में नहीं पता है।)

दूसरा, मैं आमिर श्पिल्का से सहमत हूं कि पिछले एल्गोरिदम के तार में कुछ हद तक तदर्थ भावना है। हालाँकि, समूह-सिद्धांतवादी दृष्टिकोण के बारे में एक अच्छी बात यह है कि पिछले एल्गोरिदम के लगभग सभी (बिल्कुल नहीं सभी) इस दृष्टिकोण में बनाए जा सकते हैं। हालांकि [CKSU] में विभिन्न समूह-सिद्धांत संबंधी निर्माण, समूह-सिद्धांतिक ढांचे के संदर्भ में थोड़ा-सा तदर्थ प्रतीत हो सकता है, क्योंकि वे कई की तुलना में काफी अधिक प्राकृतिक और कम तदर्थ (कम से कम मेरे लिए) प्रतीत होते हैं। पिछले एल्गोरिदम।

Comments

जब मैं क्षमता के बारे में सोचता हूं तो मैं स्वतंत्र सेट और क्लिक्स के बारे में सोचता हूं। यूएसपी और अंतर्निहित ग्राफ के स्पष्ट निर्माण के बीच क्या शब्दकोष है और क्या इन ग्राफों की संरचना है?

— टी ....

Answer 2

मैं दूसरों के बारे में पता नहीं है, लेकिन मैं आपको बता क्यों मुझे लगता है कि विश्वास करने के लिए करते हैं कर सकते हैं । जब आप तेज मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम के इतिहास और विकास के माध्यम से पढ़ते हैं, तो मुझे लगता है कि यह महसूस करना मुश्किल नहीं है कि हमें जो कुछ भी चाहिए वह बस थोड़ा बेहतर बुनियादी एल्गोरिदम है, जिसमें से ज्ञात तकनीकों का उपयोग करते हुए भी ω = 2 का पालन होगा। असल में, सभी एल्गोरिदम आज (समूह सिद्धांतवादी सहित) कुछ "सरल" निर्माण के साथ शुरू होते हैं जो तब प्रवर्धित होते हैं। वे निर्माण चतुर हैं, लेकिन वे पाठक को एक "एड-हॉक" जैसी भावना देते हैं। मुझे यह विश्वास करने का कोई कारण नहीं दिखता कि हम बेहतर सरल निर्माणों के साथ नहीं आ सकते।$\omega=2$$\omega=2$

Answer 3

वहाँ एक सादृश्य मैं अनुमान है कि औचित्य साबित करने के लिए उपयोग है अपने आप से। मुझे एहसास है कि यह बहुत ही सकारात्मक है, लेकिन फिर भी इसने मुझे अच्छी तरह से सेवा दी है, उदाहरण के लिए, कोहन एट अल के पीछे कुछ अंतर्ज्ञान को समझने में। कागज।$\omega = 2$

$A$$B$$n$$n$$C = AB$$C(i,j) = \sum_{k=1}^n A(i,k) B(k,j)$$A$$B$$n$$C = A*B$$C(i) = \sum_{k=1}^n A(k)B(i-k)$$\tilde{O}(n)$$O(n^2)$$\tilde{O}(n^2)$मैट्रिक्स गुणन के लिए समय एल्गोरिथ्म। सवाल यह है: फूरियर ट्रांसफॉर्म का एनालॉग क्या है जो मैट्रिक्स गुणन के लिए मदद कर सकता है?

Answer 4

$O(n^{2} log(n^2))$$\omega = 2$

Comments

$\omega$$c$$O(n^c)$$O(n^2 \log^{10} n)$$2$$\Omega(n^2\log n)$

@SashoNikolov यह इंगित करने के लिए धन्यवाद। क्या किसी ने बूलियन मैटुलुल ए * बी = सी के लिए एक तंत्रिका जाल का प्रशिक्षण लेने की कोशिश की है? [ए प्रविष्टियाँ, बी प्रविष्टियाँ, सी प्रविष्टियाँ] -> बूल (सही या गलत गुणा)। उत्सुक क्या सर्किट ढाल सभ्य / छोड़ने वाले के साथ आते हैं; यदि प्रशिक्षित सर्किट में प्राइम डिकम्पोजिशन के पास आकर्षण होते हैं। 3x3, 4x4, 5x5, 6x6 पर ऐसा लगता है कि GPU का एक घंटा कुछ दिलचस्प परिणाम देगा।

— चाड ब्रूबैकर