ज्यामितीय समस्याएं जो में NP-complete हैं लेकिन में ट्रैक्टेबल हैं ?

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में विचार किए जाने पर कई ज्यामितीय समस्याएं आसान होती हैं , लेकिन लिए में NP- पूर्ण (मेरी पसंदीदा समस्याओं में से एक, यूनिट डिस्क कवर सहित)। $R^1$ $R^d$ $d\geq2$

क्या किसी को ऐसी समस्या के बारे में पता है जो और लिए पॉलीटाइम सॉल्व है , लेकिन लिए NP-complete है ? $R^1$ $R^2$ $R^d,d\geq3$

आम तौर पर, क्या समस्याएं मौजूद होती हैं जो लिए NP- पूर्ण लेकिन , जहां ? $R^k$ $R^{k-1}$ $k\geq3$

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— बॉब फ्रेजर
स्रोत

है 3-आयामी मिलान ज्यामितीय?

— जुका सुओमेला

1

ज़रुरी नहीं। "3-आयामी" कार्टेशियन में है, यूक्लिडियन अर्थ नहीं है।

— सुरेश वेंकट

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अर्ध-रिक्त स्थान द्वारा कवर सेट करें।

विमान में बिंदुओं के एक सेट को देखते हुए, और आधे सेट की न्यूनतम संख्या की गणना करने वाले आधे हवाई जहाजों के एक सेट को विमान में बहुपद समय में हल किया जा सकता है। हालांकि समस्या 3 डी में एनपी कठिन है (2 डी में अंकों के डिस्क के सबसेट द्वारा एक मिनट कवर को खोजने की तुलना में कठिन है)। 3 डी में आपको आधे स्थान और अंकों का एक उपसमूह दिया जाता है, और आप अंक को कवर करने वाले आधे स्थान की न्यूनतम संख्या की तलाश कर रहे हैं।

2 डी में पॉलिमाइम एल्गोरिथ्म का वर्णन यहां किया गया है: http://valis.cs.uiuc.edu/~sariel/papers/08/expand_cover/

— सरियल हर-पेलेड
स्रोत

मैं थोड़ा शर्मिंदा हूं कि मुझे यह परिणाम नहीं पता था, यह देखते हुए कि यह उन समस्याओं के कितने करीब है, जिन पर मैं काम करता हूं :-) यह भी ठीक उसी तरह का जवाब है जिसकी मैं उम्मीद कर रहा था। जब आप कहते हैं कि यह 2D में डिस्क कवर की तुलना में कठिन है, तो मुझे लगता है कि इसका मतलब है कि यह APX- हार्ड है?

— बॉब फ्रेजर

1

2d समस्या बहुपद है। अन्य एक एनपी-हार्ड है। हालाँकि, मुझे नहीं लगता कि 3D समस्या APX कठिन है। स्थानीय खोज के माध्यम से पीटीएएस संभव हो सकता है पर विश्वास करने के लिए अच्छे कारण हैं ...

— सरियल हर-पेलेड

... और मुश्किल से मेरा मतलब था कि डिस्क की समस्या को 3 डी में आधे स्थान की समस्या के लिए उठाया जा सकता है।

— सरियल हर-पेलेड

29

यह काफी नहीं है कि आप क्या पूछते हैं, क्योंकि 3 डी संस्करण एनपी-पूर्ण की तुलना में भी कठिन है, लेकिन: विमान में बहुभुज बाधाओं के बीच दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता खोजना बहुपद समय में है (सबसे सरल रूप से, दो टर्मिनलों के दृश्यता ग्राफ का निर्माण करना और बहुभुज वर्धमान और दिक्जस्ट्रा को लागू करते हैं; हर्षबर्गर और सूरी, सियाम जे। कॉम्पुट। 1999) के कारण एक अधिक जटिल हे (एन लॉग एन) एल्गोरिथ्म भी है, लेकिन 3 डी में पॉलीहेड्रल बाधाओं के बीच सबसे छोटा रास्ता ढूंढना PSPACE-complete (कैनी) है। और रीफ, एफओसीएस 1987)।

— डेविड एप्पस्टीन
स्रोत

10

क्या आप योजना के मामले के बारे में निश्चित हैं? एल्गोरिदम आप मौलिक रूप से सही वास्तविक अंकगणित की आवश्यकता का हवाला देते हैं! cstheory.stackexchange.com/questions/4034/…

— जेफ

एर। अच्छी बात। और मैं फ़्लोटिंग पॉइंट और अनुमानित का उपयोग करने के लिए कहकर इससे बाहर नहीं निकल सकता, क्योंकि 3 डी समस्या को अच्छी तरह से समझा जा सकता है। उफ़। मुझे लगता है कि एक "सटीक वास्तविक अंकगणित" अर्थ है जिसमें एक बहुपद है और दूसरा कठिन है, लेकिन फिर भी, आप सही हैं, यह एक और तरीका है जिसमें यह सवाल का जवाब नहीं देता है।

— डेविड एपपस्टीन

6

यह वाकई दिलचस्प है। वर्गमूल समस्या का योग cg में समस्याओं की एक संख्या में प्रकट होता है जहां समस्या इस विस्तार को छोड़कर आसान होगी। यह एक तरह से महान है, क्योंकि यह इन समस्याओं में से एक है जिसे आपको लोगों को समझाने की आवश्यकता है कि यह मुश्किल है। संकेत के लिए धन्यवाद।

— बॉब फ्रेजर

20

विमान में किसी भी गैर-उत्तल बहुभुज को O (n) समय में बिना किसी स्टाइनर पॉइंट के त्रिकोणित किया जा सकता है; यही है, त्रिभुज का प्रत्येक शीर्ष बहुभुज का एक शीर्ष है। इसके अलावा, हर त्रिकोण में n-2 त्रिकोण होते हैं।

हालांकि, यह निर्धारित करना कि क्या आर ^ 3 में एक गैर-उत्तल पॉलीहेड्रन को स्टाइनर बिंदुओं के बिना त्रिकोणित किया जा सकता है, एनपी-पूर्ण है। एनपी-कठोरता परिणाम तब भी होता है जब आपको एक स्टाइनर बिंदु के साथ एक त्रिकोणीयता दी जाती है , इसलिए यहां तक कि आवश्यक स्टाइनर बिंदुओं की न्यूनतम संख्या एनपी-हार्ड है। [जिम रूपर्ट और रायमुंड सेडेल। त्रि-आयामी त्रि-आयामी गैर-रूपांतरण पॉलीहेड्रा की कठिनाई पर। असतत संगति। Geom। 1992]

यदि दिए गए पॉलीहेड्रॉन उत्तल है, तो त्रिकोणासन खोजना आसान है, लेकिन टेट्राहेड्रा की न्यूनतम संख्या के साथ त्रिकोण का पता लगाना एनपी-कठिन है। [अलेक्जेंडर नीचे, जेसुएस डी लोएरा और जुरगेन रिक्टर-गेबर्ट। उत्तल 3-पॉलीटोप्स के छोटे त्रिकोणों को खोजने की जटिलता । जे। एल्गोरिथम 2004.]

— Jeffε
स्रोत

2

संकेत के लिए धन्यवाद, जेफ। विशेष रूप से, मुझे लगता है कि आपके द्वारा उल्लेख किया गया अंतिम परिणाम दिलचस्प है। यह थोड़ा आश्चर्य की बात है कि विमान में रहते हुए बहुभुज की रचना करने वाले सरलता की संख्या एक स्थिर है, लेकिन यह अब उच्च आयामों में नहीं है और वास्तव में अनुकूलन के लिए कठिन है। यह ठीक उसी तरह का उत्तर है जिसकी मुझे उम्मीद थी।

— बॉब फ्रेजर

16

-डायमेंशनल पॉलीटोप्स के लिए वास्तविकता की समस्या एक उम्मीदवार है। जब , यह बहुपद-समय विलेय ( Steinitz 'प्रमेय द्वारा ) है, लेकिन जब , यह NP-hard है। आगे की जानकारी के लिए, रिक्टर-गेबर्ट और ज़ीग्लर द्वारा " 4-पॉलीटॉप्स के रियलाइज़ेशन स्पेस यूनिवर्सल हैं " पर नज़र डालें ( साथ ही साथ एक अर्किव वर्जन भी है), और ज़ीग्लर की पुस्तक " लेक्चर्स ऑन पोलिटोप्स " (2 डी प्रिंटिंग)। $d$ $d \le 3$ $d \ge 4$

— योशियो ओकामोटो
स्रोत

2

विशेष रूप से यह कहने से अधिक कि यह एनपी-हार्ड है, यह पूर्ण रूप से , वास्तविक संख्याओं का अस्तित्व संबंधी सिद्धांत।

\exists R

$\exists\mathbb{R}$

— डेविड एप्पस्टीन

मैंने पहले इस समस्या को नहीं देखा था, धन्यवाद।

— बॉब फ्रेजर

फिर, डेविड एपपस्टीन के जवाब की तरह, एनपी-पूर्ण की तुलना में कठिन (शायद)।

— पीटर शोर

11

यह तय करना कि क्या मेट्रिक स्थान isometrically R easy 2 में एम्बेड करना आसान है। हालांकि, आर ^ 3 एंबेडबिलिटी के लिए निर्णय लेना एनपी-कठिन है।

में एम्बेड , आसान है में embedding एनपी पूरा हो गया है। जेफ एडमंड्स। सोडा 2007 $\ell_\infty^2$ $\ell_\infty^3$

कागज़

— Zouzias
स्रोत

वह भी एक अच्छा उदाहरण है।

— सुरेश वेंकट

-2

यह उत्तर आपके प्रश्न का सटीक उत्तर नहीं देता है, लेकिन इसमें कुछ छोटे संबंध हैं। और उत्तर देने के बजाय , मैं आपको दिखाता हूं कि यह और । $R^2$ $R^3$ $Z^2$ $Z^3$

2-SAT समस्या (बूलियन संतुष्टि) बहुपद समय में हल करने योग्य है। हालांकि यह जरूरी नहीं है कि "ज्यामितीय", एक संगत समस्या है जिसे मिलान के रूप में जाना जाता है , जो एक अर्थ में अधिक ज्यामितीय है, और 2-SAT समस्या के साथ सीधे मैप करता है। नाम मिलान k- आयामी मिलान का एक अधिक सामान्य संस्करण है , जहां । आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए, 3-सैट समस्या एनपी-पूर्ण है, जो सीधे 3-आयामी मिलान समस्या से मिलती है, जो एनपी-पूर्ण भी है। इस प्रकार, k-SAT समस्या (और इस प्रकार k- आयामी मिलान) एक और समस्या है जो में ट्रैक्टेबल है और में जहां NP-complete है । $k = 2$ $Z^2$ $Z^k$ $k > 2$

— कौशिक शंकर
स्रोत

यह कहने का क्या मतलब है कि 2SAT "में" R ^ 2 है?

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश 2-संतोषजनकता (संक्षिप्त रूप में 2-SAT या सिर्फ 2SAT) यह निर्धारित करने की समस्या है कि क्या दो-मूल्यवान (बूलियन या बाइनरी) वेरिएबल्स के जोड़े पर बाधाओं के साथ चर को सभी बाधाओं को पूरा करते हुए असाइन किया जा सकता है। (यह विकिपीडिया से है) क्योंकि यह 2-मूल्यवान चर के एक सेट के लिए हल की गई समस्या है, चर को " " के रूप में शुरू किया जा सकता है ।

R^{2}

$R^2$

— कौशिक शंकर

11

-1: मैं यह नहीं देखता कि 2SAT R ^ 2 में कैसे है। मैं नहीं देखता कि कैसे 2SAT एक "ज्यामितीय समस्या है।"

— रॉबिन कोठारी

मैं एक ज्यामितीय समस्या पेश नहीं करने के लिए माफी माँगता हूँ, लेकिन यद्यपि शीर्षक ज्यामितीय समस्याओं के बारे में पूछता है, टिप्पणियों के भीतर दो प्रश्न यह निर्दिष्ट नहीं करते हैं कि यह ज्यामितीय है। इसके अलावा, 2-संतोषजनकता में एक ग्राफ प्रतिनिधित्व है जिसे 2-आयामी मिलान के रूप में जाना जाता है, जो कि पी में है, जहां 3-संतोषजनकता 3-आयामी मिलान के साथ मेल खाती है, जो एनपी है।

— कौशिक शंकर

@ रॉबिन मैं आगे बढ़ा और अपनी मूल टिप्पणी में स्पष्ट किया।

— कौशिक शंकर