थ्रेसहोल्ड फ़ंक्शन पर निचले सीमा

Question

बूलियन फ़ंक्शन के निर्णय ट्री जटिलता में, एक बहुत अच्छी तरह से पता है कि निचली बाउंड विधि एक अनुमानित (बहुपक्षीय) बहुपद है जो फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करती है। पटोरी ने निरूपित मात्रा के संदर्भ में सममित बूलियन (आंशिक और कुल) कार्यों के लिए एक लक्षण वर्णन दिया$\Gamma$:

प्रमेय ( पटुरी ): चलो$f$ किसी भी गैर-स्थिर सममिति फ़ंक्शन और निरूपित करें $f_k=f(x)$ कब $|x|=k$(यानी का हैमिंग वजन )। की अनुमानित डिग्री , अर्थ है , , जहां$x$$k$$f$$\widetilde{deg}(f)$$\Theta(\sqrt{n(n-\Gamma(f))})$$\Gamma(f)=\min\{|2k-n+1|:f_k\neq f_{k+1}\text{ and } 0\leq k\leq n-1\}$

अब $Thr_t(x)$ थ्रेशोल्ड फ़ंक्शन है, यानी $Thr_t(x)=1$ यदि $x\geq t$ । इस पत्र में (cf. अनुभाग 8, पृष्ठ 15) कहता है कि $\widetilde{deg}(f)=\sqrt{(t+1)(N-t+1)}$ ।

निरीक्षण करें कि थ्रेशोल्ड फ़ंक्शन के लिए हमारे पास $\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$, क्योंकि जब $|x|=t-1$ फ़ंक्शन 0 से 1. में बदलता है तो क्या मैं सही हूं?

अगर मैं सीधे से इस मूल्य पर Paturi की प्रमेय लागू $\Gamma$ , मैं कम नहीं मिलता सीमा समारोह अन्य कागजात में रिपोर्ट पर बाध्य। क्या \ Gamma (Thr_t) का मान $\Gamma(Thr_t)$सही से ऊपर है? मैं क्या खो रहा हूँ?

संपादित करें: मैंने भी थ्रेशोल्ड के लिए क्वांटम विरोधी कम बाध्य कंप्यूटिंग की कोशिश की। सबसे पहले, आइए प्रमेय की समीक्षा करें।

प्रमेय (अनिर्धारित क्वांटम विरोधी): Let एक आंशिक बूलियन समारोह हो, और और (हार्ड) आदानों की उप सेट हो। बता दें कि एक संबंध है, और प्रत्येक लिए । बता दें कि किसी भी पंक्ति और संबंध क्रमशः किसी भी कॉलम में 1s की न्यूनतम संख्या को निरूपित करता है, और let क्रमशः किसी भी संबंध में किसी भी पंक्ति और स्तंभ में अधिकतम संख्या को है। फिर ।$f$$A\subseteq f^{-1}(0)$$B\subseteq f^{-1}(1)$$R\subseteq A\times B$$R_i=\{(x,y)\in R : x_i\neq y_i\}$$1\leq i \leq n$$m,m'$$R$$\ell,\ell'$$R_i$$Q_2(f)=\Omega(\sqrt{\frac{m m'}{\ell \ell'}})$

यदि मैं को 1s की संख्या के साथ सभी इनपुट के सेट के रूप में परिभाषित करता हूं , जो कि से अधिक या बराबर है , और सभी इनपुट सख्ती से से कम हैं , तो मुझे (कुछ बीजगणित के बाद) उस ।$B$$t$$A$$t$$\frac{mm'}{\ell\ell'}=n^2 \ln(\frac{n}{t}) \ln(\frac{n}{n-t})$

इसलिए अभी भी मैं अन्य पत्रों में रिपोर्ट किए गए समान निचले सीमा नहीं प्राप्त कर रहा हूं। अब, इन सीमाओं की तुलना करते हैं। नीचे दिया गया आंकड़ा और वर्गमूल के बिना, पटुरी की प्रमेय बाउंड (नीला), प्रतिकूल बाउंड (लाल), और अन्य पेपर (हरा) से रिपोर्ट की गई बाउंड के बीच तुलना के बिना दिखाता है।$n=200$

मेरे प्रश्न हैं:

1- मैं अन्य पत्रों में बंधी हुई रिपोर्ट कैसे प्राप्त करूं?

2- आप आंकड़े से देख सकते हैं, कि रिपोर्ट की गई निचली सीमा (हरा) भी पटुरी की सीमा और प्रतिकूल सीमा को कम करती है। क्या यह "वास्तविक" निचले बंधन को कमजोर नहीं करता है? उदाहरण के लिए, यदि पटुरी कहता है कि सभी सममित कार्यों के लिए हमारे पास यह बाध्य है, तो आप क्वांटम काउंटिंग ( ) के लिए एक मिलान ऊपरी सीमा कैसे प्राप्त कर सकते हैं ? क्या यह ऊपरी सीमा पटवारी की प्रमेय का उल्लंघन नहीं है?$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

Comments

आप गणना के लिए पूर्ण मान को गायब कर रहे हैं (यह एक संपादन के लिए बहुत छोटा परिवर्तन प्रतीत होता है)। $\Gamma(Thr_t)$

— हार्टमुट क्लॉक

मुझे लगता है कि आप सही हैं और यह एक प्रकार का फालतू मूल्यकागज में वर्णित डिग्री प्राप्त करने के लिए। कार्यों के प्लॉट मुझे मान लेते हैं कि :)$\Gamma(Thr_t)=|2(t-1)-n+1|$

— मार्क बरी

हाँ, यह एक सन्निकटन की तरह लगता है (यहाँ प्लॉट wolframalpha.com/input/… ) है। और यह । यदि ऐसा है, तो ऐसा करने के लिए परेशान क्यों हैं? पटुरी के परिणामी निचली सीमा को लागू क्यों नहीं किया? $\Gamma(Thr_t)$

— मार्कोस विलग्रा

मुझे लगता है कि वे अनुपस्थित मूल्य समारोह से बचना चाहते हैं। वे फ़ंक्शन का एक आसान रूप प्राप्त करते हैं और किसी भी गणना के लिए केस-बाय-केस विश्लेषण से बचते हैं। मुझे इसमें दिलचस्पी है कि वे मूल समारोह से इस अनुमान को कैसे प्राप्त करते हैं?

— मार्क बूरी

यह एक स्थिर तक एक ही है।

— क्रिस्टोफ़र अर्न्सफ़ेल्ट हैनसेन

Answer 1

मुझे नहीं पता कि आप मूल बाउंड से की सीमा कैसे प्राप्त कर सकते हैं या देख सकते हैं। लेकिन यहाँ पर प्रमाण है कि यह सीमा समान रूप से एक स्थिर कारक के बराबर है:$\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$$\sqrt{n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert )}$

पहले देखें कि (मैं बाहर करता हूं क्योंकि थ्रेशोल्ड फंक्शन हमेशा ) $t = 0$$1$

$$n(n-\vert (2(t-1) -n+1 \vert) = \left\lbrace \begin{array}{ll} n(2t-1) & 1 \leq t \leq n/2+1/2\\ n(2n-2t+1) & n/2+1/2 \leq t \leq n-1 \end{array} \right.$$

, और परिभाषित करें ।$f_1(t) = n(2t-1)$$f_2(t) = n(2n-2t+1)$$g(t) = (t+1)(n-t+1)$

अब आप (के अनुसार अधिक से अधिक मूल्य की गणना करने के लिए है भिन्न की परिभाषित intervalls अंदर), , , और । आप ग्राफ की मदद से अंतर कैलकुलस या अनुमान के साथ कर सकते हैं ( बड़े पर्याप्त के साथ):$t$$f_1(t)/g(t)$$f_2(t)/g(t)$$g(t)/f_1(t)$$g(t)/f_2(t)$$n$

$f_1(t)/g(t) \leq f_1(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$f_2(t)/g(t) \leq f_2(n/2+1/2)/g(n/2+1/2) \leq \dfrac{n^2}{n^2/4} = 4$

$g(t)/f_1(t) \leq g(1)/f_1(1) = \dfrac{2n}{n} = 2$

$g(t)/f_2(t) \leq g(n-1)/f_2(n-1) = \dfrac{n/2}{n/3} \leq 3/2$

इससे आपको और वांछित परिणाम

$$n(n-\vert 2(t-1)-n-1\vert) = \Theta((t+1)(n-t+1))$$ $$\sqrt{n(n-\vert 2(t-1)-n-1 \vert)} = \Theta(\sqrt{(t+1)(n-t+1)}).$$

क्या इस परिणाम को देखने / पाने का एक आसान तरीका है?

Comments

हां, मुझे लगता है कि आप सही हैं। मेरी धारणा है कि मूल लेखकों को क्वांटम कॉउटिंग जैसे कुछ परिणामों के कारण उस निचली सीमा के बारे में पता था। क्वांटम कॉउटिंग में हमारे पास ऊपरी वर्ग का , और Paturi के प्रमेय और प्रतिकूल सीमा को लागू करके, उन्होंने वही दिखाया जो आपने अभी यहां दिखाया था। $\sqrt{(t+1)(n-t+1)}$

— मार्कोस विलगरा

आपके प्रयासों के लिए धन्यवाद!! मुझे लगता है कि यह जवाब है। मैं अब और आश्वस्त हूं कि शायद यह परिणाम प्राप्त करने का एकमात्र तरीका है।

— मार्कोस विलगरा