लालची अनुमान इतना मुश्किल क्यों है?

Question

मैंने हाल ही में सबसे छोटी सुपरस्ट्रिंग समस्या के लिए लालची अनुमान के बारे में सीखा ।

इस समस्या में, हम के तार एक सेट दिए गए हैं $s_1,\dots, s_n$ और हम पता लगाना चाहते हैं कम से कम superstring $s$ यानी प्रत्येक ऐसी है कि $s_i$ की सबस्ट्रिंग रूप में प्रकट होता $s$ ।

यह समस्या एनपी-हार्ड है और कागजों के लंबे अनुक्रम के बाद इस समस्या के लिए सबसे अच्छा ज्ञात सन्निकटन एल्गोरिदम का अनुपात $2+\frac{11}{30}$ [पालुच ’१४]।

व्यवहार में, जीवविज्ञानी निम्नलिखित लालची एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हैं:

प्रत्येक चरण में, दो तारों को मिलाएं, जिसमें सभी जोड़ियों पर अधिकतम ओवरलैप (अधिकतम स्ट्रिंग जो किसी अन्य स्ट्रिंग का उपसर्ग है), और इस नए उदाहरण पर तब तक दोहराएं जब तक कि केवल एक स्ट्रिंग शेष न हो (जो सभी इनपुट स्ट्रिंग का एक सुपरस्ट्रिंग है) )

इस लालची एल्गोरिथ्म के सन्निकटन अनुपात में $2$ का निचला भाग इनपुट $c(ab)^k,(ba)^k,(ab)^kc$ से प्राप्त किया जा सकता है ।

दिलचस्प है, यह अनुमान लगाया गया था कि यह सबसे खराब उदाहरण है यानी लालची ने शॉर्टेस्ट सुपरस्ट्रिंग प्रॉब्लम के लिए $2$ -approximation प्राप्त किया है । मुझे यह देखकर बहुत आश्चर्य हुआ कि इस तरह के प्राकृतिक और आसान एल्गोरिदम का विश्लेषण करना कितना मुश्किल है।

क्या कोई अंतर्ज्ञान, तथ्य, अवलोकन, उदाहरण हैं जो सुझाव देते हैं कि यह प्रश्न क्यों चुनौतीपूर्ण है?

Comments

कारणों में से एक यह हो सकता है कि समस्या के मानक ग्राफ निरूपण (जैसे कि स्पंज और ट्रिपल असमानता) के ज्ञात गुण लालची अनुमान के प्रमाण के लिए पर्याप्त रूप से पर्याप्त नहीं हैं। देखें, उदाहरण के लिए, ल्यूब, वेनार्ड "सशर्त असमानताएं और सबसे छोटी सामान्य सुपरस्ट्रिंग समस्या", और वेनार्ड, श्नाइटर "लालची सुपरस्ट्रिंग अनुमान पर"।

— एलेक्स गोलोवनेव

@AlexGolovnev: मेरे लिए एक पूरी तरह से अच्छा जवाब की तरह लगता है!

— जोशुआ ग्रूको

@ जोशुआग्रोचो: धन्यवाद! अब मैं इसे एक उत्तर के लिए बढ़ाऊंगा।

— एलेक्स गोल्नेव

Answer 1

मुझे पहले यह बताने का प्रयास करें कि लालची अनुमान के बारे में क्या ज्ञात है।

1. ब्लम, जियांग, ली, ट्रॉमप, यानाकिस यह साबित करते हैं कि लालची एल्गोरिथ्म 4-सन्निकटन देता है, और कपलान और शफिर बताते हैं कि यह शॉर्टेस्ट कॉमन सुपरस्ट्रिंग समस्या के लिए 3.5-सन्निकटन देता है।
2. लालची एल्गोरिथ्म के एक संस्करण को 3-सन्निकटन ( ब्लम, जियांग, ली, ट्रॉमप, यानाकिस ) देने के लिए जाना जाता है ।
3. $3$$4$
4. लालची अनुमान धारण करता है यदि लालची एल्गोरिथ्म कुछ विशिष्ट क्रम ( वेनार्ड, श्नाइटर ; ल्यूब, वेनार्ड ) में तार विलय करने के लिए होता है ।
5. लालची एल्गोरिथ्म संपीड़न Tarhio, Ukkonen (जो इनपुट तार की कुल लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है की एक 2-सन्निकटन देता है सबसे कम सामान्य सुपरस्ट्रिंग की लंबाई माइनस)।
6. लालची एल्गोरिथ्म उकोनें का एक अत्यंत कुशल कार्यान्वयन है ।

मुझे लगता है कि लालची अनुमान को साबित करना कठिन होने के कारणों में से एक निम्नलिखित हो सकता है। लालची एल्गोरिथ्म की सन्निकटन गारंटी को साबित करने के लिए अधिकांश दृष्टिकोण स्ट्रिंग्स के इनपुट सेट के ओवरलैप ग्राफ (या, समकक्ष, उपसर्ग ग्राफ) का विश्लेषण करते हैं। हम इन रेखांकन (जैसे स्पंज और ट्रिपल असमानता) के केवल कुछ गुणों को जानते हैं, लेकिन ये गुण लालची अनुमान ( वेनार्ड, श्नाइटर ; ल्यूब, वेनार्ड ) को साबित करने के लिए पर्याप्त रूप से पर्याप्त नहीं हैं ।