कितनी तेजी से हम एक पूरी तरह से एक पूर्णांक पूर्णांक रैखिक कार्यक्रम को हल कर सकते हैं?

Question

(यह इस सवाल और इसके जवाब का अनुवर्ती है ।)

मेरे पास निम्नलिखित पूरी तरह से असमान (टीयू) पूर्णांक रैखिक कार्यक्रम (ILP) है। यहाँ हैं जो सभी सकारात्मक पूर्णांक दिए गए हैं। इनपुट का हिस्सा चर का निर्दिष्ट उप- सेट शून्य पर सेट है, और बाकी सकारात्मक अभिन्न मान ले सकते हैं:एक्स मैं $\ell,m,n_{1},n_{2},\ldots,n_{\ell},c_{1},c_{2},\ldots,c_{m},w$$x_{ij}$

छोटा करना

$\sum_{j=1}^{m}c_{j}\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}$

का विषय है:

$\sum_{j=1}^{m}x_{ij}=n_{i}\,\,\forall i$

$\sum_{i=1}^{\ell}x_{ij}\ge w\,\,\forall j$

मानक रूप का गुणांक मैट्रिक्स से प्रविष्टियों के साथ मैट्रिक्स है ।$(2\ell+m)\times \ell m$${-1,0,1}$

मेरा सवाल यह है कि:

बहुपद-काल एल्गोरिदम के चलने के समय के लिए सबसे अच्छा ऊपरी सीमा क्या है जो इस तरह के आईएलपी को हल करती है? क्या आप मुझे इस पर कुछ संदर्भ दे सकते हैं?

मैंने कुछ खोज की, लेकिन ज्यादातर जगहों पर वे यह कहते हुए रुक जाते हैं कि एलपी के लिए बहुपद-काल एल्गोरिदम का उपयोग करके बहुपद समय में एक टीयू ILP हल किया जा सकता है। एक चीज़ जो आशाजनक लग रही थी, वह है टारडोस [1] द्वारा 1986 का एक कागज़, जिसमें वह साबित करती है कि इस तरह की समस्याओं को गुणांक मैट्रिक्स के आकार में समय के बहुपद में हल किया जा सकता है। जहां तक ​​मैं पेपर से पता लगा सकता था, हालांकि, एलपी को हल करने के लिए उस एल्गोरिथ्म का रनिंग समय एक बहुपद-समय एल्गोरिथ्म के चलने के समय पर निर्भर करता है।

क्या हम एल्गोरिदम के बारे में जानते हैं जो एलपी समस्या को हल करने वाले सामान्य एल्गोरिदम की तुलना में इस विशेष मामले (टीयू ILP के) को काफी तेजी से हल करते हैं?

अगर नहीं,

एलपी के लिए कौन सा एल्गोरिदम ऐसे ILP को सबसे तेज (एक स्पर्शोन्मुख अर्थ में) हल करेगा?

[१] दहनशील रैखिक कार्यक्रमों, ईवा तारडोस, संचालन अनुसंधान ३४ (२), १ ९ (६ को हल करने के लिए एक दृढ़ता से बहुपद एल्गोरिथ्म

Comments

जैसा कि आप अपने पिछले पोस्ट के हवाले से जवाब देते हैं, आपकी समस्या परिवहन समस्या का एक विशेष मामला है, जो न्यूनतम लागत प्रवाह के एक विशेष मामले के बदले में है। इन दो समस्याओं के लिए तेज एल्गोरिदम के लिए पूछ रहे पदों के लिए यहां और यहां देखें ।

— नील युवा

Answer 1

मेरा मानना ​​है कि यानाक्किस द्वारा पूरी तरह से एककोशिकीय मैट्रिसेस की श्रेणी में , टीयू ILP के एक विशेष मामले के लिए आपके प्रश्न का उत्तर देता है (जब भी एक आसन्न मैट्रिक्स के रूप में गुणांक मैट्रिक्स को देखकर प्राप्त द्विध्रुवीय ग्राफ में कोई विषम चक्र नहीं होता है)।

उस पत्र में रैखिक कार्यक्रमों के एक वर्ग के लिए बहुपद एल्गोरिदम का संदर्भ है , जो सभी पूरी तरह से एककोशिकीय मैट्रिक्स को संभालने के लिए लगता है, लेकिन मुझे यह सुनिश्चित नहीं है कि एलपी के लिए सामान्य एल्गोरिदम की तुलना में यह कितना अधिक कुशल है।

Answer 2

$O([n^3/\ln n]L)$

Answer 3

यह दिखाया गया है कि पूरी तरह से एककोशिकीय एलपी एक "अध: पतन धारणा" के तहत दृढ़ता से बहुपद समय में हल करने योग्य है - यहां लिंक (इस प्रकार यदि ILP में समान मान्यताओं के साथ एक पूरी तरह से Unimodular (TU) सूत्रीकरण है तो यह एल्गोरिथ्म एक TU ILP को हल करेगा। मजबूत बहुपद समय। यह Tardos के तरीकों से एक विकास है, और एक TU (पूरी तरह से Unimodular) ILP निर्माण के लिए तंग सीमा का अर्थ है।