स्क्वायर रूट्स प्रॉब्लम के ऊपरी बाउंड का प्रमाण

Question

[1] में, गैरे एट अल। पहचानें कि बाद में यूक्लिडियन टीएसपी की एनपी-पूर्णता को काम करने के दौरान स्क्वायर रूट्स समस्या के योग के रूप में क्या जाना जाएगा।

पूर्णांक और को देखते हुए , अगर निर्धारित करें$a_1, a_2, \ldots, a_n$$L$$\sqrt{a_1} + \sqrt{a_2} + \cdots + \sqrt{a_n} < L$

वे मानते हैं कि यह भी स्पष्ट नहीं है कि यह समस्या एनपी में है क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि तुलना में पर्याप्त रूप से तुलना करने के लिए वर्गमूलों की गणना में परिशुद्धता के न्यूनतम अंकों की क्या आवश्यकता है । हालांकि, वे एक सर्वोत्तम ज्ञात ऊपरी हिस्से का हवाला देते हैं जहां "मूल प्रतीकात्मक अभिव्यक्ति में अंकों की संख्या" है। दुर्भाग्य से, इस ऊपरी बाध्यता को केवल AM Odlyzko के व्यक्तिगत संचार के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है।$L$$O(m2^n)$$m$

क्या किसी को इस ऊपरी बाध्यता का उचित संदर्भ है? या, एक प्रकाशित संदर्भ की अनुपस्थिति में, एक सबूत या प्रूफ स्केच भी सहायक होगा।

नोट: मेरा मानना ​​है कि बर्निकेल एट द्वारा अधिक सामान्य परिणामों के परिणामस्वरूप इस बाउंड का अनुमान लगाया जा सकता है। अल। [२] २००० के आसपास से अंकगणितीय अभिव्यक्तियों के एक बड़े वर्ग के लिए पृथक्करण सीमा पर। मैं ज्यादातर अधिक समकालीन संदर्भों में दिलचस्पी रखता हूं (यानी: क्या 1976 के बारे में जाना जाता था) और / या सबूत केवल वर्ग जड़ों के योग के लिए विशेष।

1. गैरी, माइकल आर।, रोनाल्ड एल। ग्राहम, और डेविड एस। जॉनसन। " कुछ एनपी-पूर्ण ज्यामितीय समस्याएं ।" कंप्यूटिंग के सिद्धांत पर आठवें वार्षिक एसीएम संगोष्ठी की कार्यवाही। एसीएम, 1976।

2. बर्निकेल, क्रिस्टोफ, एट अल। " एक मजबूत और आसानी से गणना योग्य जुदाई जो कट्टरपंथी से संबंधित अंकगणितीय अभिव्यक्तियों के लिए बाध्य है ।" एलगोरिदमिका 27.1 (2000): 87-99।

Comments

इस cstheory.stackexchange प्रश्न का उत्तर भी देखें , जिसमें कहा गया है, "इस समस्या के प्रति सबसे उल्लेखनीय प्रगति एरिक एलेन्डर और उनके सह-लेखकों द्वारा की गई है, 2003 में, उन्होंने इस समस्या को काउंटिंग हेंकार्सी के चौथे स्तर पर दिखाया। ftp। cs.rutgers.edu/pub/allender/slp.pdf "

— नील यंग

Answer 1

यहाँ एक बल्कि मैला सबूत स्केच है। चलो$S = \sum_{i=1}^n \delta_i \sqrt{a_i}$ कहाँ पे $\delta_i \in \{\pm 1\}$। यह एक बीजीय संख्या है जो अधिकतम डिग्री है$2^n$ और ऊंचाई सबसे अधिक है $H = (max(a_i))^{n}$। अब अगर यह जाँचना आसान है$S = 0$ (में भी किया जा सकता है $TC^0$- यह देखो )$S \neq 0$ तो यह से दूर है $0$ एक मात्रा द्वारा (क्योंकि यह एक बीजगणितीय संख्या है और इसलिए एक अविभाज्य बहुपद की एक शून्य-शून्य जड़ है) जो न्यूनतम बहुपद की डिग्री और ऊंचाई का एक कार्य है $S$। दुर्भाग्य से, डिग्री पर निर्भरता वर्गमूलों की संख्या में घातीय है (और यदि है$a_i$अलग-अलग अपराध हैं, यह डिग्री बाउंड भी तंग है, हालांकि साइन मूल्यांकन के मामले को संभालना आसान है)। अतः आवश्यक परिशुद्धता इसलिए वर्गमूलों की संख्या में घातांक है, जो है$2^n$-बिट्स के लिए $S$। यह अब प्रत्येक को अलग करने के लिए पर्याप्त है$\sqrt{a_i}$ कहना $2^{10n}$संकेत सुनिश्चित करने के लिए बिट्स सही होने की गारंटी है। यह आसानी से बहुपद के माध्यम से न्यूटन पुनरावृत्ति के कई चरणों में किया जाता है)। अब यह जांचने के लिए नीचे है कि क्या राशि सकारात्मक है, जो सिर्फ जोड़ है और इसलिए गर्मियों में बिट्स की संख्या में रैखिक है। ध्यान दें कि यह गणना एक बीएसएस मशीन पर बहुपद समय में है। यह भी ध्यान दें कि हम न्यूनतम बहुपद के साथ सीधे कोई संगणना नहीं कर रहे हैं$S$अपने आप में, जिसमें बहुत अधिक गुणांक हो सकते हैं और बदसूरत दिखते हैं, हम इसका उपयोग सिर्फ उस परिशुद्धता के बारे में करने के लिए करते हैं जिसके लिए हमें वर्ग जड़ों को छोटा करना होगा। अधिक जानकारी के लिए, तिवारी के कागज की जाँच करें ।

Comments

डाउनवोटेड क्योंकि इस लंबे उत्तर का एकमात्र हिस्सा जो वास्तव में प्रश्न को संबोधित करता है वह अंतिम पंक्ति है, और यह 1992 से 1970 या उससे पहले का संदर्भ नहीं है।

— डेविड एप्पस्टीन

@ डेविड मैं केवल इस बात के लिए एक प्रूफ स्केच उपलब्ध कराने की कोशिश कर रहा था कि हमें वर्गमूल के मूल्यांकन के लिए 2 ^ n- बिट परिशुद्धता की आवश्यकता क्यों है (@ mhum ने इसके लिए कुछ बिंदु पर पूछा)। मैं इस बात से परिचित नहीं हूँ कि इस तरह का बँटवारा मुझे कागज़ से पहले पहले कैसे हुआ था (हालाँकि मुझे संदेह है कि इसे इसी तरह की तकनीकों का इस्तेमाल करना चाहिए)।

— निखिल

शायद यह सिर्फ मेरे लिए है, लेकिन जब एक सवाल कहता है "मुझे पता है कि यह कैसे साबित करना है लेकिन क्या कोई मुझे एक संदर्भ दे सकता है" मुझे लगता है कि यह कैसे परेशान साबित करने के लिए जवाब दिखा रहा है। यह तब होता है जब एक परीक्षा में छात्रों को जो कुछ पूछा गया था, उससे अलग कुछ का जवाब देते हुए, उम्मीद (व्यर्थ) कि वे कुछ जानने के लिए आंशिक क्रेडिट प्राप्त करेंगे, भले ही वे नहीं जानते कि आप उन्हें क्या चाहते थे।

— डेविड एप्पस्टीन

नहीं जानते कि आप कहाँ से उद्धृत कर रहे हैं, लेकिन "क्या किसी के पास इस ऊपरी सीमा का समुचित संदर्भ है? या, एक प्रकाशित संदर्भ के अभाव में, एक प्रमाण या प्रमाण स्केच भी सहायक होगा।" कहीं सवाल

— निखिल

यह मुझे व्यक्तिगत रूप से काफी करीब लगता है जो व्यक्तिगत संचार में हो सकता था। धन्यवाद। (मुझे लगता है कि मैं Odlyzko संपर्क करने के लिए सीधे पता लगाने की कोशिश कर सकता था)

— mhum