संपादित करें: जवाब गलत है। मैंने (मूर्खतापूर्ण) अंतर्निहित धारणा बनाई कि जब एक पथ-प्रवाह समय s पर शुरू होता है और समय t पर समाप्त होता है और किनारे से होकर गुजरता है, तो यह इस अवधि के लिए किनारे e को अवरुद्ध करता है। वैसे यह सत्य नहीं है। देख *।
नोट: शायद यह दृष्टिकोण अनावश्यक रूप से जटिल या गलत है। हालांकि मैंने सत्यापित करने का प्रयास किया, और इसे सावधानीपूर्वक लिखा - मैंने इस पर बड़ी मात्रा में समय नहीं बिताया।
मान लें कि 'स्टॉकपिलिंग' की अनुमति नहीं है, जैसे प्रवाह को तुरंत स्थानांतरित किया जाना है। चलो किनारों की संख्या AND दर्शा एन इनपुट लंबाई। मैंने निरंतर या असतत समय निर्दिष्ट नहीं किया, क्योंकि मैंने इसे ध्यान में नहीं रखा था। यह असतत विचार के लिए काम करना चाहिए, निरंतर के लिए मैं निश्चित हूं।mN
फिर, हम समाधान का वर्णन स्रोत से सिंक तक "पथ-प्रवाह" के सेट के रूप में कर सकते हैं। एक पथ-प्रवाह एक चौगुनी है जिसमें निम्नलिखित शामिल हैं: स्रोत से सिंक करने के लिए एक सरल पथ पी ; पथ-प्रवाह एस का समय शुरू करना ; पथ के माध्यम से प्रवाह की मात्रा ए ; थ्रूपुट दर आर(P,s,a,r)Psar ।
पथ-प्रवाह के एक सेट द्वारा समाधान दिया जाए । हम चाहे समाधान इन के द्वारा दिए गए पथ-बहती है में समय बहुपद में सही है की पुष्टि कर सकते |Fऔर एन :|F|N
- प्रत्येक किनारे और समय टी के एक पल के लिए , सभी पथ-प्रवाह की प्रवाह दर को ई में जोड़ेंete समय में । हर पथ प्रवाह प्रारंभ और समाप्ति समय है, इसलिए हम केवल जब एक पथ-प्रवाह के संबंध में शुरू होता है या समाप्त हो जाती है (इन क्षणों में कुछ भी नहीं परिवर्तन के बीच से अधिक बढ़त पथ-बहती है जो चलते-समय के क्षणों विचार करने की आवश्यकता ईte ।
- हर पथ-प्रवाह के लिए हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि क्या यह सभी प्रवाह से पहले सिंक में आता है ।T
- प्रत्येक किनारे के लिए हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि कोई पथ-प्रवाह नष्ट होने के बाद गुजरता है या नहीं।
- प्रवाह निचले भाग को हम केवल प्रवाह-पथों के प्रवाह की मात्राओं को जोड़कर जांच सकते हैं।B
अब, हमें 'बस' यह दिखाने की जरूरत है कि पथ-प्रवाह की संख्या में बहुपद है ।N
किसी दिए गए समाधान के लिए हम समय निर्धारित कर सकते हैं कि कुछ प्रवाह एक किनारे से गुजरता है और जब किनारे को नष्ट कर दिया जाता है। इसे समतुल्य समाधान के साथ एक समस्या में परिवर्तित करें: प्रत्येक किनारे पर कठोर सीमाएं होती हैं जब इसका उपयोग किया जा सकता है और जब नहीं - एक शुरुआत और अंत समय। चलो इन सभी के सेट को निरूपित करते हैं।{t1,...,tk}
कुछ गैर-कॉम्पैक्ट समाधान और (शुरू में) पथ-प्रवाह का एक खाली सेट पर विचार करें। विचार यह है कि हम इसे गैर-कॉम्पैक्ट समाधान में एक पथ-प्रवाह पाते हैं, इसे हटा दें और इसे पथ-प्रवाह के हमारे सेट में संग्रहीत करें।
पता लगाएं कि आरंभ और अंत पथ-बहती के बीच और टी जे , मैं < j लेकिन किसी भी के बीच न करना पड़े टी पी और टी क्यू ऐसी है कि [ टी पी , टी क्यू ] ⊆ [ टी मैं , टी जे ] । चलो एफ मैं , जे के सेट को निरूपित के बीच पथ-बहती टी जे और टी जेtitji<jtptq[tp,tq]⊆[ti,tj]Fi,jtjtj गुण ऊपर वर्णित के रूप में के साथ।
मान लें कि हमने पहले से ही सभी छोटे अंतरालों के लिए सभी पथ-प्रवाह हटा दिए हैं । लालच से पथ-प्रवाह का पता चलता है जो शुरू होता है और [ t i , t j ] में समाप्त होता है । जब हम एक खोज करते हैं, तो इस प्रवाह को समाधान से हटा दें और तदनुसार कोने के प्रवाह दर को समायोजित करें और प्रवाह की मात्रा स्रोत से भी भेजें। इस पथ-प्रवाह के लिए हम थ्रूपुट को अधिकतम करते हैं। इसका मतलब यह है कि कम से कम एक किनारे के लिए हम इसकी अधिकतम प्रवाह दर तक पहुँच चुके हैं या इस पथ-प्रवाह को हटाने के बाद इस किनारे पर कोई अधिक प्रवाह नहीं है। ध्यान दें कि यह अवधि [ t i + 1 , t j] के लिए है[i,j][ti,tj][ti+1,tj−1] । दोनों ही मामलों में, कोई और प्रवाह इस किनारे से नहीं जाता है और हम इसका निष्कर्ष निकाल सकते हैं ।|Fs,t|≤m
(*) पिछला दावा सही क्यों है? ठीक है, में हर दूसरे पथ प्रवाह से पहले शुरू होता है टी मैं + 1 और बाद समाप्त हो जाती है टी जे - 1 । इसलिए, समय के साथ ओवरलैप करना होगा कि वे एक निश्चित बढ़त का उपयोग करें। चूंकि पथ-प्रवाह के लिए थ्रूपुट को अधिकतम किया जाता है, इसलिए एक किनारा होना चाहिए जहां यह तंग है।Fti,tjti+1tj−1
इसी से यह इस प्रकार है कि कुछ निरंतर के लिए सी और दावा है कि यह एनपी में इस प्रकार है।∑i,j∈[k]|Fi,j|≤cm3c