नियतात्मक त्रुटि में कमी, अत्याधुनिक?

मान लें एक एक यादृच्छिक (बीपीपी) एल्गोरिथ्म है $A$ का उपयोग कर $r$ अनियमितता के टुकड़े। करने के लिए सफलता की अपनी संभावना बढ़ाना प्राकृतिक तरीके $1-\delta$ , कोई चुने के लिए $\delta>0$ , कर रहे हैं

स्वतंत्र रन + बहुमत: चलाने के $A$ स्वतंत्र रूप से $T=\Theta(\log(1/\delta)$ । बार, और आउटपुट के बहुमत ले इसके लिए आवश्यक है $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ अनियमितता के टुकड़े, और एक से ऊपर चल रहा है समय चल रही है $T=\Theta(\log(1/\delta))$ कारक।
जोड़ो में स्वतंत्र रन + Chebyshev: चलाने के $A$ "जोड़ो में-स्वतंत्र रूप से" $T=\Theta(1/\delta)$ बार, और एक सीमा से तुलना इसके लिए आवश्यक है $rT =\Theta(r/\delta)$ अनियमितता के टुकड़े, और चल रही है ऊपर चल रहा है समय से एक $T=\Theta(1/\delta)$ कारक।

Karp, Pippenger, और Sipser [1] (जाहिरा तौर पर; मैं अपने हाथों को स्वयं कागज पर नहीं प्राप्त कर सका, यह एक दूसरे का हाथ है) ने मजबूत नियमित विस्तारकों के आधार पर वैकल्पिक दृष्टिकोण प्रदान किए: अनिवार्य रूप से, विस्तारक के $2^r$ नोड देखें यादृच्छिक बीज के रूप में। का उपयोग कर विस्तारक के एक यादृच्छिक नोड उठाओ $r$ यादृच्छिक बिट्स, और उसके बाद

लंबाई की एक छोटी यादृच्छिक की पैदल दूरी पर कर $T=\Theta(\log(1/\delta))$ वहाँ से, और चलाने के $A$ पर $T$ पथ पर नोड्स के लिए इसी, बहुमत लेने से पहले बीज। इसके लिए आवश्यक है $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ एक द्वारा अनियमितता के टुकड़े, और ऊपर चल रहा है समय चल रही है $T=\Theta(\log(1/\delta))$ कारक।
चलाने के $A$ वर्तमान नोड के सभी पड़ोसियों पर (या अधिक सामान्य रूप से एक दूरी के भीतर सभी नोड्स $c$ वर्तमान नोड के) बहुमत लेने से पहले। इसके लिए आवश्यक है $r$ ऊपर एक से चलने का समय अनियमितता के टुकड़े, और चल रही है $T=d$ कारक है, जहां $d$ डिग्री (या है $d^c$ distance- के लिए $c$ पड़ोस। अप मानकों की लागत में अच्छी तरह से इस छोर स्थापना, $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$ यहाँ।

मुझे आखिरी गोली में दिलचस्पी है, जो नियतात्मक त्रुटि में कमी से मेल खाती है । क्या निम्नलिखित में कोई सुधार हुआ है [1], पर $T$ की निर्भरता को कम करना ? क्या है वर्तमान सबसे अच्छा प्राप्त - जिसके लिए ? ? ( ? ?) $\delta$ $1/\delta^\gamma$ $\gamma > 1$ $\gamma > 0$ $\textsf{BPP}$ $\textsf{RP}$

नोट: मैं भी (बहुत) बजाय $\textsf{RP}$ में रुचि रखता हूं । जैसा कि [2] में पेश किया गया था, संबंधित निर्माण अब विस्तारक नहीं है, लेकिन फैलाने वाले (उदाहरण के लिए, टा-शमा, एस्प तालिका 3 द्वारा इन व्याख्यान नोट्स )। मैं नियतात्मक के लिए संबंधित सीमा नहीं पा सकता (अनुमत की तुलना में एक भी अधिक यादृच्छिक बिट नहीं ) प्रवर्धन, हालांकि, और न ही (अधिक महत्वपूर्ण बात) क्या मापदंडों की प्रासंगिक सीमा के लिए अत्याधुनिक स्पष्ट disperser निर्माण कर रहे हैं । $\textsf{BPP}$ $r$

[१] कार्प, आर।, पिप्पेंगर, एन। और सिप्सर, एम।, १ ९ Kar५। एक समय-बेतरतीब व्यापार । संभाव्य कम्प्यूटेशनल जटिलता (वॉल्यूम 111) पर एएमएस सम्मेलन में।

[२] कोहेन, ए। और विगडरसन, ए।, १ ९, ९, अक्टूबर। डिसपर्सर्स, नियतात्मक प्रवर्धन और कमजोर यादृच्छिक स्रोत। कंप्यूटर विज्ञान की नींव पर 30 वीं वार्षिक संगोष्ठी में (पीपी। 14-19)। आईईईई।

— क्लेमेंट सी।
स्रोत

मेरी समझ निम्नलिखित है (ज्यादातर ता मेल्मा के पूर्वोक्त व्याख्यान नोट्स पर , वैन मेलकेबेक के लोग, और सिंथिया वर्क द्वारा । जहां तक मैं बता सकता हूं, प्रेषणकर्ताओं को कुछ और यादृच्छिक बिट्स को बढ़ाने के लिए महान हैं , लेकिन नहीं तो। यादृच्छिकता के 0 अतिरिक्त बिट्स हैं।

— क्लेमेंट सी।

(यदि कोई इन कुछ अतिरिक्त बिट्स का उपयोग करने को तैयार है, तो टा-शमा के व्याख्यान में सार तालिका का एक बहुत कुछ सेट है)। बिना किसी अतिरिक्त यादृच्छिकता के साथ, विस्तारक-आधारित बीपीपी / आरपी दृष्टिकोण केवल एक जैसा दिखता है (बीपीपी के लिए वैन मेलकेबेक के नोट्स देखें, आरपी वेरिएंट के लिए डवर्क,: दोनों बहुत समान हैं और कागज पर आधारित हैं [1], जिनमें से मैं एक सीधा pdf नहीं मिल रहा है)। कोई नहीं में स्पष्ट बहुपद की डिग्री पर बाध्य देने के लिए प्रकट होता है

, के रूप में यह विस्तारक ग्राफ की डिग्री और विस्तार पर निर्भर करता है।

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— क्लेमेंट सी।

यह

में कम से कम रैखिक होगा: लेकिन यह विस्तारक ग्राफ़ के (वर्तमान) सर्वश्रेष्ठ ज्ञात निर्माणों के लिए क्या होगा? वास्तव में, यहां तक कि संभाव्य निर्माणों के लिए भी?

1 / δ

$1/\delta$

— क्लेमेंट सी।

इसके अलावा प्रासंगिक (लेकिन किसी प्रश्न का जवाब नहीं है): धारा 3.5.4, और सलिल वाढान के की धारा 4 (समस्या 4.6) Pseudorandomness ।

— क्लेमेंट सी।

वैन Melkebeek के व्याख्यान नोट्स पहले से ही एक नहीं देता $O(1/\delta)$ बाध्य? बाध्य है $\lambda$ ज्यादा से ज्यादा $O(\sqrt{\delta})$ और हम प्राप्त कर सकते हैं $\lambda = O(1/\sqrt{d})$ मौजूदा निर्माणों का उपयोग करना।

साथ ही Dwork के व्याख्यान नोटों में, आवश्यक शर्त यह है कि विस्तार कुछ स्थिर लिए $C/\delta$ (दूरी c में एक बिंदु को देखकर अनिवार्य रूप से विस्तार में सुधार के लिए पॉवरिंग का उपयोग कर रहा है)। कौन सा फिर से डिग्री के साथ प्राप्त किया जा सकता । $C$ $O(1/\delta)$

शायद वहाँ एक कम है के लिए बाध्य $\Omega(1/\delta)$ आवश्यक रनों की संख्या पर।

— अतिथि
स्रोत

मैं देखता हूं - मुझे यह अधिकार मिलने की पुष्टि करने के लिए इसे फिर से लिखना चाहिए। दे

मूल त्रुटी संभावना जा रहा है, हम पूछना चाहते हैं तो एक वर्णक्रमीय डिग्री

विस्तारक पर

दूसरे के साथ नोड्स eigenvalue

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

(जहां

, स्पष्ट आरपी और बीपीपी के लिए अलग है) तो हम के समय से चल रहा है में एक विस्फोट प्राप्त

। हम स्पष्ट की एक परिवार है तो अगर

-expanders साथ

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

सभी के लिए

, हम सभी की जरूरत है

के लिए बाध्य संतुष्ट किया जाना है।

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

— क्लेमेंट सी।

उदाहरण के लिए, मनमाने ढंग से बड़े रामानुजन रेखांकन (रचनात्मक) किसी भी डिग्री के लिए अस्तित्व के लिए जाना जाता है

ऐसी है कि

एक प्रमुख शक्ति है। लेकिन हम साथ रेखांकन की स्पष्ट निर्माण की क्या ज़रूरत है

d

$d$

d - 1

$d-1$

के लिएसभी

(या, के सभी के लिए, मान लीजिए

जो दो की एक शक्ति है)? (मैं उस पर नहीं जानकार काफी हूँ, और केवल उस तरह मैं मिल सकता है के परिणाम बालू-Linial के निर्माण जो देता है

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

और दृढ़ता से स्पष्ट नहीं है)।

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$

— क्लेमेंट सी।