क्या प्राइम-काउंटिंग फंक्शन # P- पूरा है?

Question

याद $\pi(n)$ अभाज्य संख्या की संख्या $\le n$ है प्रधानमंत्री की गिनती समारोह । 'पी में अभाज्य संख्या ", कंप्यूटिंग तक $\pi(n)$ #P में है। क्या समस्या # P- पूर्ण है? या, शायद, यह मानने की जटिलता है कि यह समस्या # P- पूर्ण नहीं है?

PS मुझे एहसास है कि यह थोड़ा भोला है क्योंकि किसी ने इस समस्या का अध्ययन किया होगा और इसे प्रमाणित / अस्वीकृत / प्रमाणित किया होगा, लेकिन मैं साहित्य में इसका जवाब नहीं ढूंढ सकता। यहाँ देखें कि क्या आप उत्सुक हैं कि मुझे क्यों परवाह है।

Comments

@MohsenGhorbani: नहीं, "वही" समस्याएं नहीं हैं। समान भी नहीं है।

— इगोर पाक

के खिलाफ सबूत नहीं, बस जिज्ञासु: क्या हम एक भी फ़ंक्शन जानते हैं $f(n)$ जो कि # P- पूर्ण है जो वास्तव में n को एक संख्या के रूप में मानता है? यही है, हम हमेशा n के द्विआधारी प्रतिनिधित्व को देख सकते हैं और उस बाइनरी स्ट्रिंग को SAT सूत्र या ग्राफ़ के रूप में मान सकते हैं, लेकिन मैं इससे बचना चाहता हूं।

— जोशुआ ग्रोको

@JoshuaGrochow "प्राकृतिक" (NT नहीं) कठिन समस्याएं जो मुझे एक पैरामीटर के साथ पता हैं, वे सभी # EXP-c में हैं। इस तरह की समस्या का एक उदाहरण: टाइल्स के एक निश्चित सेट टी (यानी टाइल्स इनपुट में नहीं हैं) के साथ $n \times n$ वर्ग के झुकाव की संख्या । Thm: वहाँ मौजूद है t st यह समस्या # EXP-c है। $T$$T$

— इगोर पाक

@Joshua यह काफी की एनपी पूर्णता से संबंधित है $f(n)$ , जिसके लिए, जाहिरा तौर पर, हम भी एक निश्चित जवाब अभी तक नहीं है: cstheory.stackexchange.com/questions/14124/...

— domotorp

सूचना है कि $\mathrm{\#P^{BPP}=\#P}$ , इसलिए $\pi$ मिलर-राबिन के बाद से कभी #P में था।

— एमिल जेकाबेक

Answer 1

$\pi(n)$$\pi(n)$$X$$Y$$\mathsf{P}$$\#\mathsf{P}^X \not\subset \mathsf{P}^{XY}$$Y$$\pi(n)$$X$

Comments

मुझे अंतिम वाक्य भ्रामक लगता है। जबकि वास्तव में , जिसे हमें वास्तव में यहाँ की आवश्यकता है वह है , और हम नहीं जानते कि क्या यह सच है। वास्तव में, यह बराबर है । पीआर एक्स [ पी पी ⊈ पी एक्स ] = 1 पी पी ≠ बी पी $\Pr_X[\mathrm{PP}^X\ne\mathrm{P}^X]=1$$\Pr_X[\mathrm{PP}\nsubseteq\mathrm{P}^X]=1$$\mathrm{PP\ne BPP}$

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJe Emábek: निश्चित रूप से, लेकिन साक्ष्य के संदर्भ में कि # P- पूर्ण नहीं है, यदि कोई औपचारिक रूप से दिखा सकता है कि यदि यह # P- पूर्ण है तो PP = BPP, मैं इसे बहुत मजबूत सबूत के रूप में ले जाऊंगा # पी-पूर्णता के खिलाफ ...$\pi(n)$

— जोशुआ ग्रोचो

@JoshuaGrochow मैं इससे सहमत हूँ। मुझे नहीं लगता कि पर परिणाम यादृच्छिक यादृच्छिक के साथ प्रासंगिक है। $\mathrm P^X\ne\mathrm{PP}^X$

— एमिल जेकाबेक

@ EmilJeJábek: हां, यह एक अच्छी बात है। इससे पहले कि मैं संपादित करूं, क्या आप इस तथ्य के प्रमाण के रूप में स्वीकार करेंगे कि aa को दो यादृच्छिक ओरेकल दिए गए हैं, जो मुझे लगता है कि हम जानते हैं? $P^{XY} \ne \#P^X$

— जेफ्री इरविंग

क्या हम जानते हैं?

— एमिल जेकाबेक