क्या एनपी-पूर्ण होने वाले नैचुरल पर एक प्राकृतिक समस्या है?

30

किसी भी प्राकृतिक संख्या को थोड़ा अनुक्रम माना जा सकता है, इसलिए प्राकृतिक संख्या को इनपुट करना 0-1 अनुक्रम को इनपुट करने के समान है, इसलिए प्राकृतिक इनपुट के साथ एनपी-पूर्ण समस्याएं स्पष्ट रूप से मौजूद हैं। लेकिन क्या कोई प्राकृतिक समस्याएँ हैं, यानी जो कुछ एन्कोडिंग और अंकों की विशेष व्याख्या का उपयोग नहीं करते हैं? उदाहरण के लिए "क्या प्रधानमंत्री है?" इस तरह की एक प्राकृतिक समस्या है, लेकिन यह एक पी। या "3, 5, n, n आकार के ढेर के साथ निम गेम कौन जीतता है?" एक और समस्या है जिसे मैं प्राकृतिक मानता हूं, लेकिन हम यह भी जानते हैं कि पी। में होना चाहिए। मुझे एनपी के बजाय अन्य जटिलता वर्गों में भी दिलचस्पी है।

अद्यतन: के रूप में एमिल जेराबेक से कहा, यह देखते हुए $a,b,c\in \mathbb N,$ निर्धारित करने के लिए $ax^2+by-c=0$ प्राकृतिक की तुलना में एक समाधान है एनपी पूरा हो गया है। यह वास्तव में प्राकृतिक के रूप में मेरे मन में था, सिवाय इसके कि यहां इनपुट केवल एक के बजाय तीन नंबर है।

अद्यतन 2: और चार साल से अधिक की प्रतीक्षा के बाद, डैन ब्रुमलेव ने "बेहतर" समाधान दिया है - ध्यान दें कि यह अभी भी यादृच्छिक कमी के कारण पूरा नहीं हुआ है।

— domotorp
स्रोत

1

मुझे एक NEXP- पूर्ण टाइलिंग समस्या के बारे में पता है जहां इनपुट एक पूर्णांक n है और समस्या यह निर्धारित करने के लिए है कि क्या कोई nxn ग्रिड की वैध टाइल मौजूद है। यदि यह आपके लिए दिलचस्प है, तो मैं कागज तलाशूंगा।

— रॉबिन कोठारी

2

@ ईमिल: डोमोटर की टिप्पणी एक भ्रम की प्रतिक्रिया थी जो मेरे पास थी। लेकिन यह मेरी ओर से गलतफहमी थी इसलिए मैंने टिप्पणी को हटा दिया। मुझे लगता है कि इनपुट के लिए एक प्राकृतिक संख्या होना आवश्यक है, जिसे कुछ भी सांकेतिक शब्दों में बदलना नहीं चाहिए।

— रोबिन कोठारी

8

@domotorp: एन पी-सम्पूर्ण समस्या मैं मतलब दिया, है

निर्धारित करता है कि

एक समाधान है

। एक और प्रकार, दिया जाता है

, निर्धारित है या नहीं

ऐसी है कि

a, b, c \in N

$a,b,c\in\mathbb N$

a x^{2} + b y - c = 0

$ax^2+by-c=0$

x, y \in N

$x,y\in\mathbb N$

a, b, c

$a,b,c$

x \leq c

$x\le c$

। (परिणामdx.doi.org/10.1145/800113.803627 से है।)

x^{2} \equiv a (\mod b)

$x^2\equiv a\pmod b$

— एमिल जेकाबेक

3

क्यों नहीं इस सवाल का जवाब स्पष्ट रूप से नहीं है ? हर एनपी-हार्ड समस्या के उदाहरण हैं कि एक बूलियन सर्किट को "एनकोड" करना; यकीनन, कि एनपी-हार्ड का मतलब क्या है!

— जेफ़

2

@domotorp: शायद एक और अच्छा "प्राकृतिक" उम्मीदवार किसी दिए गए नंबर

की न्यूनतम जोड़ श्रृंखला खोजने की समस्या है : ऑन मिनिमल एडिशन चेन्स की संख्या से : "... एक सेट के लिए न्यूनतम जोड़ श्रृंखला खोजने की समस्या। के

संख्या एनपी पूरा हो गया है। के रूप में यह कभी कभी दावा किया जाता है के लिए एक न्यूनतम इसके अलावा श्रृंखला की खोज है कि यह संकेत नहीं करता है

एनपी पूरा हो गया है। हालांकि, हम आसानी से मान सकते हैं कि एक संख्या के लिए सभी कम से कम इसके अलावा चेन खोजने की समस्या

है एनपी-पूर्ण ... "

n

$n$

m

$m$

n

$n$

n

$n$

— मार्जियो डी बियासी

17

इस समस्या में एक पूर्णांक इनपुट के साथ भिन्नता है:

क्या पास अपने दो सबसे बड़े प्रमुख कारकों के बीच एक विभाजक है? $n$

यह विचार लिंक किए गए प्रश्न के शीर्ष उत्तर में वर्णित सबसेट के योग से समान यादृच्छिक कमी का उपयोग करने के लिए है , लेकिन लक्ष्य सीमा के साथ अलग-अलग दिए गए के बजाय सबसे बड़े दो अपराधों के रूप में एन्कोड किया गया है। परिभाषा में इसका स्वाभाविक रूप है, भले ही यह भेस में सिर्फ एक युग्मन कार्य है।

यहाँ एक ही समस्या की एक और भिन्नता है, विभाजन समस्या से समान कमी के साथ:

है दो पूर्णांकों कि कम से कम से भिन्न होते हैं की उत्पाद $n$ ? $n^{\frac{1}{4}}$

दोनों कटौती में हम पास के primes खोजने और उनके उत्पाद लेने के द्वारा पूर्णांकों का एक सेट "छलावरण" कर रहे हैं। यदि बहुपद समय में ऐसा करना संभव है तो ये समस्याएं एनपी-पूर्ण हैं।

मुझे लगता है कि उसके साथ इन उदाहरणों को देखने के लिए रोशन है Mahaney की प्रमेय : यदि और हम अभाज्य पास के पा सकते हैं, तो इन सेटों विरल नहीं हैं। यह जटिलता सिद्धांत से एक विशुद्ध रूप से अंकगणितीय कथन प्राप्त करने के लिए संतोषजनक है (भले ही यह केवल अनुमान है और संभवतः किसी अन्य तरीके से आसानी से साबित हो सकता है)। $P \ne NP$

— डैन ब्रुमलेव
स्रोत

'पी पी mean एनपी और हम पास के प्राइम्स पा सकते हैं' से आपका क्या मतलब है?

— टी ....

1

@ao।, पीटर शोर के उत्तर में कमी का वर्णन देखें । यह एनपी पूरा करने के लिए हम एक प्रमुख को खोजने के लिए सक्षम होना चाहिए

के साथ

समय में

। मैं बाद में यहाँ इस सब का अपना हिसाब देने की कोशिश करूँगा।

p

$p$

| p - n | < n^{a}

$\vert p - n \vert \lt n^a$

O ((\log n)^{k})

$O((\log{n})^k)$

— दान ब्रुमलेव

कौन से सेट घने नहीं हैं?

— टी ....

33

चर्चा के आधार पर, मैं इसे उत्तर के रूप में दोहराऊंगा।

ने साबित कर दिया के रूप में Manders और Adleman , निम्न समस्या एनपी पूरा हो गया है: दिए गए प्राकृतिक संख्या निर्धारित करता है कि एक प्राकृतिक संख्या वहां मौजूद ऐसी है कि $a,b,c$ $x\le c$ $x^2\equiv a\pmod b$ ।

समस्या समतुल्य रूप के रूप में निम्नानुसार कहा जा सकता है: दिया , निर्धारित द्विघात कि क्या एक समाधान है $b,c\in\mathbb N$ $x^2+by-c=0$ $x,y\in\mathbb N$ ।

(मूल पत्र के साथ समस्या यह कहा गया है , लेकिन यह देखने के लिए कि एक यह मामले को कम कर सकते हैं कठिन नहीं है ।) $ax^2+by-c$ $a=1$

— एमिल जेकाबेक मोनिका का समर्थन करता है
स्रोत

10

यहां इनपुट के रूप में एक एकल प्राकृतिक संख्या के साथ एक समस्या है। $\text{NEXP}$

समस्या ग्रिड को टाइल के एक निश्चित सेट के साथ टाइल लगाने और सीमा पर आसन्न टाइल और टाइल पर बाधाओं के बारे में है। यह सब समस्या के विनिर्देश का हिस्सा है; यह इनपुट का हिस्सा नहीं है। इनपुट केवल संख्या । समस्या के कुछ पूरी की गई है जैसा कि दिखाया गया है $n \times n$ $n$ $\text{NEXP}$

डी। गोट्समैन, एस। ईरानी, "द क्वांटम एंड क्लासिकल कॉम्प्लेक्सैलिटी ऑफ ट्रांसलेशनली इन्वैरियंट टाइलिंग एंड हैमिल्टनियन प्रॉब्लम्स," प्रोक। 50 वाँ वार्षिक सिम्प। कंप्यूटर विज्ञान की नींव पर, 95-104 (2009), डीओआई: 10.1109 / FOCS.2009.22 । इसके अलावा arXiv: 0905.2419 ।

समस्या arxiv संस्करण के पृष्ठ 5 पर परिभाषित की गई है।

इसके अतिरिक्त, वे एक समान समस्या को भी परिभाषित करते हैं जो कि -complete है, जो की बाध्य-त्रुटि क्वांटम एनालॉग है । (के शास्त्रीय घिरे त्रुटि अनुरूप है ।) $\text{QMA}_\text{EXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{MA}_\text{EXP}$

— रॉबिन कोठारी
स्रोत

3

+1, लेकिन यह तर्क देना थोड़ा कठिन है कि नंबर

का उपयोग "प्राकृतिक" तरीके से किया जा रहा है, क्योंकि यह इनपुट को एक विशेष ट्यूरिंग मशीन में एन्कोडिंग कर रहा है (विशेष रूप से, यदि टिफिंग मशीन मौजूद है तो tiling मौजूद है

, जहां

है

संभावित इनपुट तार का एक गणन में मई के)। फिर भी एक बहुत ही दिलचस्प परिणाम।

n

$n$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

— mjqxxxx

मैं अधिकतम mjqxxxx से सहमत हूं।

— डोमटोटर

2

मुझे लगता है कि कोलमोगोरोव जटिलता के समयबद्ध संस्करणों में से एक का उपयोग करके आप एक समस्या का निर्माण कर सकते हैं जो केवल संख्या के द्विआधारी प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है और (मुझे लगता है) में होने की संभावना नहीं है ; अनौपचारिक रूप से यह समस्या का एक निर्णायक संस्करण है "क्या कंप्रेसिबल है?" $\mathsf{P}$ $n$

समस्या: को देखते हुए , एक ट्यूरिंग मशीन मौजूद है जैसे कि और एक रिक्त टेप outputs पर से भी कम समय में कदम, जहां की बाइनरी प्रतिनिधित्व की लंबाई है $n$ $M$ $|M| < l$ $M$ $n$ $l^2$ $l = \lceil \log{n} \rceil$ $n$

यह में स्पष्ट रूप से है , क्योंकि और दिए गए हैं , बस चरणों के लिए अनुकरण करें और यदि यह रुकता है तो साथ परिणाम की तुलना करें । $\mathsf{NP}$ $n$ $M$ $M$ $l^2$ $n$

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

मुझे लगता है कि यह समस्या काफी टीएम आधारित है लेकिन निश्चित रूप से एक रेखा खींचना असंभव है।

— डोमोटर

डोमोटर की टिप्पणी को परिष्कृत करने के लिए, मैं कहूंगा कि यह तथ्य यह है कि समस्या के वर्णन में सभी पर एक ट्यूरिंग मशीन की धारणा को लागू करना है, यह 'प्राकृतिक संख्याओं के बारे में प्राकृतिक समस्या' के रूप में है। (अगर हम मान लें कि प्राकृतिक संख्या के बारे में ntaural समस्या है जिसका सामान्य प्रारूप के अनुरूप होना होता है जैसे फर्मेट के साथ होने का अध्ययन भी प्रतितथ्यात्मक गणित के इतिहास के मान के बिना।)

— नील डे Beaudrap

2

शॉर्ट प्रेस्बर्गर अंकगणित पर हमारा FOCS'17 पेपर "प्राकृतिक" समस्या का एक उदाहरण है जो NP-c है, और इनपुट में पूर्णांकों की निरंतर संख्या $C$ का उपयोग करता है , $C< 220$ कहते हैं । यह मंडर्स-एडलमैन से अलग है कि सभी असमानताओं में बाधाएं हैं। कुछ पृष्ठभूमि के लिए गिल कलाई के ब्लॉग पोस्ट देखें ।

— इगोर पाक
स्रोत

मुझे लगता है कि यह मंडर्स-एडलमैन की तुलना में अधिक स्वाभाविक है।

से छोटे चर और

असमानता उदाहरण संभव है?

5

$5$

10

$10$

— टी ....

No, 5 variables is the smallest. 10 - not sure. But you can't really have less than 6...

— Igor Pak

Is there a reason behind

\geq 5

$\geq5$ and

\geq 6

$\geq6$ ? I mean is it proven that all

\leq 4

$\leq4$ and finite number of inequalities is in

P

$P$ (likewise all

\leq 5

$\leq5$ variables and

\leq 5

$\leq5$ inequalities formulation is in

P

$P$ ?)?

— T....

Yes. For fewer variables the problem is in P.

— Igor Pak

2

Yes. It's all in our paper and Danny Nguyen's thesis. math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf

— Igor Pak

1

How about the PARTITION problem?

— Kevin A. Wortman
स्रोत

3

No, as the input is not a number but a set.

— domotorp

1

So are you asking for problems for which an instance is exactly one natural number? I don't think that's clear in your question, as you ask for "problems with natural inputs" and your example of the Nim game involves four numbers.

— Kevin A. Wortman

I am sorry if I was vague in the formulation of the question.

— domotorp