प्रकार सिद्धांत / प्रोग्रामिंग भाषा सिद्धांत में बीजीय ज्यामिति के अनुप्रयोग

Question

हाल ही में, मुझे बीजीय ज्यामिति में दिलचस्पी हो गई है और मैंने इस पर पढ़ना शुरू कर दिया है। मैं अभी भी इस क्षेत्र के बारे में बहुत कम जानता हूं, लेकिन मैं यह जानना चाहता हूं कि इसका मेरे मुख्य क्षेत्र, प्रकार सिद्धांत और प्रोग्रामिंग भाषाओं से कोई संबंध है या नहीं।

मुझे पता है कि बीजीय टोपोलॉजी में टाइप थ्योरी (होमोटोपी टाइप थ्योरी, और कई और अधिक) में बहुत सारे अनुप्रयोग हैं, लेकिन बीजीय ज्यामिति के बारे में क्या है, इसके अलावा दोनों प्रकार के सिद्धांत / पीएल सिद्धांत और एजी श्रेणी सिद्धांत के अच्छे प्रेरक हैं?

Comments

यह आपके प्रश्न का उत्तर नहीं है, लेकिन बीजगणितीय टोपोलॉजी समवर्ती सिद्धांत में भी लागू होती है। निर्देशित होमोटॉप पर एक नज़र डालें और फॉस्सस 2019 में एक पेपर भी है।

— हेनिंग बास्सेल

मुझे कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और गणित शोध छात्र में भी दिलचस्पी है। मेरा पर्यवेक्षक टोपोलॉजिस्ट है। लेकिन मैं कंप्यूटर विज्ञान से संबंधित गणित में अनुसंधान करना चाहता हूं जैसे रैखिक बीजगणित। मुझे अपने थीसिस विषय को खोजने के लिए मदद की आवश्यकता है ताकि मैं सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में शोध कर सकूं लेकिन मुझे नहीं पता कि मुझे कहां से शुरू करना चाहिए। मेरे थीसिस विषय के लिए मदद चाहिए ताकि मैं अपनी रुचि के क्षेत्र में शोध कर सकूं।

— सैयद मुहम्मद असद

@SyedMuhammadAsad मैं भी एक छात्र हूँ इसलिए मैं पूछने वाला व्यक्ति नहीं हूँ। आपको इस क्षेत्र के कुछ विशेषज्ञों से परामर्श करना चाहिए। टोपोलॉजी (विशेष रूप से बीजगणितीय) में थ्योरी टाइप करने के लिए गहरे संबंध होते हैं ताकि आप वहां शुरू कर सकें।

— xrq

Answer 1

मेरे ज्ञान के लिए (जो निश्चित रूप से अधूरा है), इस पर अपेक्षाकृत कम काम किया गया है, संभवतः क्योंकि इसमें ज्ञान के दो अपेक्षाकृत जटिल निकायों को आत्मसात करने की आवश्यकता होती है। हालांकि, छोटे का मतलब कोई नहीं है। थियरी कोक्वांड और उनके सहयोगियों ने कम्यूटेटिव बीजगणित और रचनात्मक तर्क के बीच संबंधों पर काफी कुछ पत्र लिखे हैं।

• थियरी कोक्लैंड, हेनरी लोम्बार्डी। सार बीजगणित के लिए एक तार्किक दृष्टिकोण ।

  इस पेपर ने मुझे एक स्नातक छात्र के रूप में एक विशाल छाप दिया - आत्मविश्वास और मुक्त तरीके से कि यह सबूत सिद्धांत और मॉडल सिद्धांत से विचारों का उपयोग करता था कि मैं इसे बहुत ही प्रशंसा करता हूं, और जो मैं अभी भी आकांक्षा करता हूं।

• हेनरी लोम्बार्डी और क्लाउड क्विटे में एक (स्वतंत्र रूप से उपलब्ध) पाठ्यपुस्तक, कम्यूटेटिव बीजगणित: रचनात्मक तरीके हैं ।

  जैसा कि शीर्षक से पता चलता है, यह बीजगणितीय ज्यामिति के बजाय सराहनीय बीजगणित है, लेकिन चूंकि संवेदी बीजगणित बीजीय ज्यामिति के लिए बहुत अधिक बुनियादी ढाँचा प्रदान करता है, फिर भी यह रुचि का होगा।

इस क्षेत्र में बहुत सारे दिलचस्प पीएचडी शोध भी हैं:

• एंड्रेस मोर्टबर्ग की पीएचडी थीसिस थिअरीफाईंग रिफाइनमेंट्स एंड कंस्ट्रक्टिव एलजेबरा इन टाइप थ्योरी

  आपके पास रचनात्मक प्रमाण होने के बाद, आपको एल्गोरिथ्म मिल गया है। यह थीसिस उन एल्गोरिदम को कुशल बनाने पर गौर करती है।

• बेसल मन्ना की पीएचडी थीसिस, कंस्ट्रक्टिव एलजेब्रा और टाइप थ्योरी में शेफ सेमेंटिक्स

  इस थीसिस में, वह न्यूटन-पुइसेक्स प्रमेय की शुद्धता को रचनात्मक रूप से साबित करता है, साथ ही साथ मार्कोव के सिद्धांत की स्वतंत्रता भी। यह इस बात का एक अच्छा उदाहरण प्रस्तुत करता है कि कैसे ज्यामिति और तर्क दोनों में शीफ-सिमेंटिक विधियों के अनुप्रयोग हैं।

• इंगो ब्लेस्च्मिड्ट की पीएचडी थीसिस, बीजीय ज्यामिति में टोपोज की आंतरिक भाषा का उपयोग करते हुए,

  यह थीसिस एक योजना के साथ जुड़ी हुई छोटी ज़रीकी टोपोस की आंतरिक भाषा में बीजीय ज्यामिति के सामान्य प्रमाणों में से कई को फिर से देखती है, जो एक प्रकार का "सिंथेटिक बीजगणितीय ज्यामिति" है। (वह बड़े ज़रिस्की टॉपोस का उपयोग करके "सिंथेटिक स्कीम थ्योरी" भी करता है)। जैसा कि आप उम्मीद करेंगे, चूंकि टोपोई आमतौर पर बूलियन नहीं हैं, इसलिए प्रमाणों को सहज ज्ञान युक्त शैली में किया जाना चाहिए।

यह निम्नलिखित संदर्भ को इंगित करने लायक भी है:

• सॉन्डर्स मैक लेन, इके मोएर्डिजक। ज्योमेट्री और लॉजिक में शेव्स इन ज्योमेट्री एंड लॉजिक: शेप इन टू टॉपोस थ्योरी ।

  इस काम में इस्तेमाल की जाने वाली बहुत सारी तकनीक टोपोस सिद्धांत, तर्क और ज्यामिति के बीच के कनेक्शन के माध्यम से आती है। यह मानक संदर्भ है, हालांकि मैंने ज्यादातर इसे स्टीव विकर्स के कागजात के बजाय सीखा।

Answer 2

यह वही नहीं हो सकता है जो आप खोज रहे हैं, लेकिन प्रोग्रामिंग भाषाओं में बीजगणितीय ज्यामिति का एक अनुप्रयोग रैखिक छोरों का विश्लेषण है:

एक रैखिक लूप फॉर्म का एक बहुत ही सरल प्रोग्राम है:

$x=s$

जबकि$x\notin F$

$x\leftarrow Ax$

जहाँ और एक मैट्रिक्स है। सेट एक समाप्ति स्थिति है, जिसे कुछ बस वर्णित सेट (उदाहरण के लिए, एक पॉलीटॉप, या एक सेमेलेब्रिज सेट) कहा जा सकता है।$s,x\in \mathbb Q^d$$A\in \mathbb Q^{d\times d}$$F$

इन छोरों का विश्लेषण अक्सर मैट्रिक्स की कक्षा का विश्लेषण करने के लिए होता है , अर्थात् । यह, बदले में, आइजनवालों की शक्तियों का विश्लेषण शामिल करता है , जिनके व्यवहार में बीजगणितीय ज्यामिति (जैसे मैसर्स आधार प्रमेय) में अवधारणाओं का घनिष्ठ संबंध है।$A$$\{A^ns: n\in \mathbb N\}$$A$

आप एक अच्छे प्रारंभिक बिंदु के रूप में ऑर्बिट समस्या की जटिलता पर कागज पर एक नज़र डाल सकते हैं ।