सुसंगतता रिक्त स्थान में पुलबैक और पुशआउट्स कब होते हैं?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

एक सेट पर एक रिश्ता $\symp_X$ एक और सममित संबंध है। एक जुटना अंतरिक्ष एक जोड़ी है , और एक आकारिता जुटना रिक्त स्थान के बीच एक रिश्ता है ऐसा है कि सभी के लिए और , $X$ $(X, \symp_X)$ $f : X \to Y$ $f \subseteq X \times Y$ $(x,y) \in f$ $(x',y') \in f$

अगर $x \symp_X x'$ तो $y \symp_Y y'$ , और
अगर $x \symp_X x'$ और $y = y'$ तो $x = x'$ ।

सुसंगति रिक्त स्थान की श्रेणी कार्टेशियन और मोनोएडल दोनों बंद है। मैं यह जानना चाहूंगा कि इस श्रेणी के लिए पुलबैक या पुशआउट्स कब मौजूद हैं, और जब पुलबैक या पुशआउट का कुछ मोनोएडल एनालॉग मौजूद है (और इसे कैसे परिभाषित किया जाए, अगर यह धारणा समझ में आती है)।

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

यह परिभाषा कहाँ से है? गिरार्ड, लाफोंट एंड टेलर में एक बहुत अलग दिखता है।

— चार्ल्स स्टीवर्ट

दो परिभाषाएँ बराबर हैं। मैं सिर्फ वेब को आदिम के रूप में ले रहा हूं, जिससे क्लिक्स का सेट प्राप्त किया जा सकता है।

— नील कृष्णास्वामी

मुझे लगता है कि नील की पसंद मूल की तुलना में बहुत अधिक समझदार है।

— डेव क्लार्क

मैं स्पष्ट प्रश्न बताऊंगा: क्या आप जानते हैं कि वे हमेशा मौजूद नहीं होते हैं? दूसरे शब्दों में, क्या आप सुसंगत संबंधों में किसी फ़नकार के किसी भी उदाहरण से परिचित हैं जिसकी कोई सीमा / कॉलिमिट नहीं है?

— ओहद कम्मर

दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं - ठीक है, लेकिन क्या आपने इस परिभाषा को बनाया है, या क्या आप इसे किसी और से प्राप्त करते हैं? महान प्रश्न, btw, मुझे आश्चर्य है कि किसी को भी पता नहीं लगता है कि क्या समानता हमेशा मौजूद होती है।

— चार्ल्स स्टीवर्ट

अब मैं देखता हूं कि सुसंगतता रिक्त स्थान के लिए बराबरी को कैसे परिभाषित किया जाए, जिसका अर्थ है कि कमियां हमेशा मौजूद होती हैं (क्योंकि उत्पाद करते हैं)। मुझे नहीं पता कि यह कैसे करना है, वास्तव में ...।

याद रखें कि रचना सामान्य संबंधपरक रचना है, इसलिए यदि और , तो: $f : A \to B$ $g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(इस परिभाषा में, अस्तित्वगत वास्तव में अद्वितीय अस्तित्व का तात्पर्य है। मान लीजिए कि हमने जैसे कि और । क्योंकि हम जानते हैं कि , इसका मतलब है कि । तो इसका मतलब है कि हमारे पास और और , इसलिए परिणामस्वरूप )। $b' \in B$ $(a,b') \in f$ $(b', c) \in g$ $a \Bumpeq_A a$ $b \Bumpeq_B b'$ $b \Bumpeq_B b'$ $(b,c) \in g$ $(b',c) \in g$ $b = b'$

अब हम बराबरी का निर्माण करते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास और , और आकारिकी _ । अब इस प्रकार तुल्यकारक को परिभाषित करें । $A$ $B$ $f, g : A \to B$ $(E, e : E \to A)$

वेब के लिए, यह के टोकन के उप-भाग को चुनता है, जिस पर या तो और सहमत होते हैं (सुसंगतता के लिए - मेरे पहले संस्करण में यह गलत था ), या दोनों अपरिभाषित हैं।
$E = {\begin{array}{lc} \forall b . (a, b) \in f ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in g \\ a \in A & \land \\ \forall b . (a, b) \in g ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in f \end{array}}$ $E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$ $A$ $f$ $g$
पर सुसंगत संबंध को परिभाषित करें । यह केवल से सबसेट पर सुसंगत संबंध का प्रतिबंध है । यह और सममित होगा क्योंकि है। $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$ $A$ $E$ $\Bumpeq_A$
बराबरी का नक्शा बस विकर्ण _ । $e$ $e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

चूंकि मैंने सबूत के अपने पहले संस्करण को गड़बड़ कर दिया था, इसलिए मैं सार्वभौमिकता संपत्ति को स्पष्ट रूप से दे दूँगा। मान लीजिए कि हमारे पास कोई अन्य वस्तु है और मॉर्फिज़्म _ ऐसा । $X$ $m : X \to A$ $m;f = m;g$

अब को परिभाषित करें को । स्पष्ट रूप से , लेकिन समानता दिखाने के लिए हमें converse दिखाने की आवश्यकता है । $h : X \to E$ $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$ $h;i \subseteq m$ $m \subseteq h;i$

तो मान लें । अब हमें उस को दिखाने की आवश्यकता है और । $(x,a) \in m$ $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$ $\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

सबसे पहले, और मान लें । तो हम जानते हैं कि और , तो । इसलिए और इसलिए ऐसा है कि और । बाद से , हम जानते हैं , और इसलिए जैसे कि । $b \in B$ $(a,b) \in f$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in f$ $(x,b) \in m;f$ $(x,b) \in m;g$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in g$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in g$

सममित रूप से, और मान लें । तो हम जानते हैं कि और , तो । इसलिए और इसलिए ऐसा है कि और । बाद से , हम जानते हैं , और इसलिए जैसे कि । $b \in B$ $(a,b) \in g$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in g$ $(x,b) \in m;g$ $(x,b) \in m;f$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in f$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in f$

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

मैं यह नहीं देखता कि आप को कैसे प्रमाणित कर सकते हैं । किसी भी को कारक बनाने का केवल एक ही तरीका है , और वह सेट करके है को। जाहिर है है, लेकिन मैं नहीं दिख रहा है यही कारण है कि बातचीत रखती है: कुछ ले , और कुछ , साथ । तब हमारे पास , इसलिए की पसंद से हमारे पास । रचना की परिभाषा से, कुछ ऐसा है कि और । हम सकते हैं कि

e

$e$

m : X \to A

$m : X \rightarrow A$

h : X \to E

$h : X \rightarrow E$

h := {(x, a) : (x, a) \in m, a \in E}

$h := \{(x, a) : (x,a) \in m, a \in E\}$

h; e \subset m

$h;e \subset m$

x m a

$xma$

b \in B

$b \in B$

a f b

$afb$

x (m; f) b

$x(m;f)b$

m

$m$

x (m; g) b

$x(m;g)b$

a^{'}

$a'$

x m a^{'}

$xma'$

a^{'} g b

$a'gb$

a \symp a^{'}

$a \symp a'$ , लेकिन हम केवल जानते हैं कि और , इसलिए हम वास्तव में यह नहीं सकते हैं कि और खत्म करें।

a f b

$afb$

a^{'} g b

$a'gb$

a = a^{'}

$a=a'$

— ओहद कम्मर

हां, आप सही कह रहे हैं - समतुल्य पिक्स को उपसमुच्चय को सुसंगतता के लिए होना चाहिए, समानता नहीं। मैंने इसे दर्शाने के लिए परिभाषा बदल दी है, और इस प्रमाण को स्पष्ट रूप से आरेख दिया है।

— नील कृष्णस्वामी

आह ... लेकिन अब आरेख की बराबरी नहीं करता है। वास्तव में, मान । फिर, की परिभाषा से, हम , इसलिए कुछ मौजूद हैं जैसे कि । लेकिन हमारे पास वह नहीं है , इसलिए हम यह नहीं दिखा सकते कि । आप उन्हीं समस्याओं में भागते दिख रहे हैं, जो मैं कल रात में भाग गया था, इसलिए ऊपर मेरा स्पष्ट प्रश्न है। लेकिन शायद आप सफल होंगे जहाँ मैं असफल रहा! मेरा अगला कदम एक और अधिक परिष्कृत लेने के लिए था , जैसे कुछ कहना , लेकिन तब एक वैध रूप नहीं है, इसलिए कुछ अधिक सावधानीपूर्वक चुनाव की आवश्यकता होती है।

e

$e$

a (e; f) b

$a(e;f)b$

e

$e$

a f b

$afb$

a^{'} \symp a

$a'\symp a$

a^{'} g b

$a'gb$

a e a^{'}

$aea'$

a (e; g) b

$a(e;g)b$

e

$e$

a e a^{'} ⟺ a \symp a^{'}

$aea' \iff a\symp a'$

e

$e$

— ओहद कममर

मुझे अब याद है कि मैं क्यों उम्मीद कर रहा था कि उत्तर किसी की थीसिस में पहले से ही था। :) वैसे भी, मैं इसके बारे में अधिक सोचता हूं - इस तथ्य के माध्यम से कुछ चाल संभव हो सकती है कि उलटा छवियां जोड़ीदार असंगत हैं।

— नील कृष्णस्वामी