पी और वर्णनात्मक जटिलता

Question

जटिलता चिड़ियाघर में, यह कहता है कि [ 1 ] वर्णनात्मक जटिलता में, को तीन अलग-अलग प्रकार के सूत्रों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो भी है, और रूप में भी। ।$P$$FO(LFP)$$FO(n^{O(1)})$$SO(HORN)$

हालांकि, कुछ अपवाद हैं, उदाहरण के लिए, एफपी द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है (एफपी में साथ एक ही अभिव्यंजक शक्ति है)। और पहले-क्रम तर्क द्वारा निश्चित नहीं हैं। कुछ समस्याएं भी , , जैसे कई प्रकार के चर के साथ स्वयंसिद्ध नहीं हो सकती हैं ।$Evenness$$Connectivity$$2-colourability$$Evenness$$Perfect~Matching$$Hamiltonicity$

इमरमन ने प्रस्तावित किया कि फिक्स्ड प्वाइंट लॉजिक + काउंटिंग (FPC) P को पकड़ने के लिए एक संभावित तर्क हो सकता है।

हालाँकि, कै फ़ेअर, इम्मेरमैन ने दिखाया कि बहुपद-काल ग्राफ गुण हैं जो FPC [ 2 ] में व्यक्त नहीं हैं । मतगणना [ 3 ] के साथ दो तत्व क्षेत्र में रैखिक समीकरणों को हल करने की समस्या असीम तर्क में निश्चित नहीं है । अधिक जानकारी के लिए आप [ 4 ] का संदर्भ ले सकते हैं ।

तो, क्या तर्क संरचना पी को सामान्य रूप से पकड़ सकती है? सकारात्मक जवाब यह है कि आदेश दिया परिमित संरचनाओं के एक वर्ग के कम से कम तय सूत्री तर्क अगर में definable है और वह भी तब, यह Immerman [द्वारा पी में डिसाइडेबल है 5 ] और वर्दी [ 6 ]। कैसे के बारे में unordered मामले में? क्या आप जटिलता चिड़ियाघर में बयान के अधिक प्रतिपक्ष दिखा सकते हैं?

Comments

यहाँ इस विशेष प्रश्न पर परिणामों का अवलोकन करने वाला एक ट्यूटोरियल दिया गया है: cl.cam.ac.uk/~ad260/talks/wollic-tutorial.pdf

— डेनिस

@ डेनिस धन्यवाद, डेनिस! इस ट्यूटोरियल में पी। के लिए अधिक तर्क संरचनाएं हैं। परंपरागत रूप से जब हम किसी समस्या के बारे में बात करते हैं तो बहुपत्नी समय हल होता है, हमें लगता है कि यह "आसान" है। हालांकि, पी की तर्क संरचनाएं इतनी जटिल लगती हैं, और अभी भी बहुत सारे अज्ञात मामले और खुली समस्याएं हैं।

— रुपेई जू

हां, ऐसा लगेगा कि "आसान" समस्याओं (यानी पी) का सेट इतनी अच्छी तरह से संरचित नहीं है, और कुछ इस तरह की विशेषता के साथ कठिन है "आसान समस्याएं वही हैं जो बुनियादी समस्याओं ए, बी, से प्राप्त की जा सकती हैं।" सी, तरीकों से संयुक्त एक्स, वाई "। हमेशा अधिक आसान समस्याएं होती हैं जो दूसरे प्रकार की होती हैं, और उनमें नए विचारों के साथ चतुर बहुपद एल्गोरिदम की आवश्यकता होती है।

— डेनिस

Answer 1

मार्टिन ग्रहे ने हाल ही में इस प्रश्न पर पर्याप्त प्रगति की। वह एक निश्चित सतह में रेखांकन योग्य रेखांकन के वर्गों पर बहुपद समय पर कब्जा करने का तर्क देता है: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 संपादित करें: सामान्य मामला अनसुलझे लगता है (लेकिन मैं किसी भी तरह से नहीं हूं) इस पर एक विशेषज्ञ)।

Comments

हाँ। बहुत सारे एल्गोरिथम मेटा-प्रमेय परिणाम हैं (जैसे कि प्रसिद्ध कौरसल प्रमेय) आसान मामलों पर कब्जा कर सकते हैं, निम्नलिखित लिंक एक अच्छा सर्वेक्षण पत्र है। People.cs.umass.edu/~immerman/pub/… हालाँकि, उन परिणामों में ग्राफ़ संरचनाओं के लिए प्रतिबंध भी होता है, जिन पर समस्या चलती है, जैसे कि पेड़, बंधे ट्रेविद, प्लानर ग्राफ़, मामूली-बंद ग्राफ़ आदि। कोई भी पूर्ण तर्क संरचनाएं अब तक आदेश के बिना सामान्य ग्राफ़ में पी पर कब्जा नहीं कर सकती हैं।

— रूपेई जू

मुझे लगता है कि ग्रोहे का काम काफी खास है क्योंकि उस मामले में लॉजिक के बड़े वर्ग पर तर्कपूर्ण रूप से पी के सभी समाप्त हो जाते हैं, यानी कोई प्रतिपक्ष नहीं हैं। अगर मैं सही हो गया, तो थकावट होना मुश्किल हिस्सा है। आपके द्वारा उल्लिखित MSO परिणाम में यह सुविधा नहीं है। लेकिन इस संबंध में मेरी विशेषज्ञता बहुत सीमित है, मैं यहां गलत हो सकता हूं।

— हरमन ग्रबेर