रचनाओं की गणना के मजबूत सामान्यीकरण के प्रमाण को समझना

मुझे निर्माणों की गणना के लिए मजबूत सामान्यीकरण के प्रमाण को समझने में कठिनाइयाँ होती हैं। मैं हरमन गेवर्स के पेपर में सबूत का पालन करने की कोशिश करता हूं "रचनाओं की गणना के लिए मजबूत सामान्यीकरण का एक छोटा और लचीला प्रमाण"।

मैं तर्क की मुख्य पंक्ति का अच्छी तरह से पालन कर सकता हूं। Geuvers प्रत्येक प्रकार एक व्याख्या प्रकार चर कुछ मूल्यांकन के आधार पर निर्माण करता है । और फिर वह कुछ शब्द व्याख्या जो शब्द चर कुछ मूल्यांकन पर आधारित है और यह साबित करता है कि मान्य मूल्यांकन के लिए _- सभी । $T$ $[\![T]\!]_\xi$ $\xi(\alpha)$ $(\!|M|\!)_\rho$ $\rho(x)$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $\Gamma\vdash M:T$

मेरी समस्या: आसान प्रकारों के लिए (जैसे सिस्टम एफ प्रकार) प्रकार की व्याख्या वास्तव में शर्तों का एक सेट है, इसलिए अभिकथन से समझ में आता है। लेकिन अधिक जटिल प्रकारों के लिए व्याख्या शब्दों का समूह नहीं है, बल्कि कुछ उपयुक्त फ़ंक्शन स्पेस के कार्यों का एक सेट है। मुझे लगता है, मैं लगभग फ़ंक्शन रिक्त स्थान के निर्माण को समझता हूं, हालांकि यह को और अधिक जटिल के लिए प्रकार । $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $T$

क्या कोई भी प्रमाण की कुछ और समझने योग्य प्रस्तुतियों की व्याख्या या लिंक दे सकता है?

संपादित करें: मुझे प्रश्न को स्पष्ट करने की कोशिश करें। एक संदर्भ में प्रकार चर लिए घोषणाएं हैं और ऑब्जेक्ट चर। एक प्रकार मूल्यांकन, मान्य है सभी के लिए अगर के साथ तो मान्य है। लेकिन तत्व का और केवल ही नहीं । इसलिए कोई भी मान्य अवधि मूल्यांकन को लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है । एक शब्द होना चाहिए और फ़ंक्शन स्थान का कुछ फ़ंक्शन नहीं होना चाहिए। $\Gamma$ $\alpha:A$ $(\alpha:A) \in \Gamma$ $\Gamma\vdash A:\square$ $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ $\nu(A)$ $(SAT)^*$ $SAT$ $\rho(\alpha)$ $\rho(\alpha)$

संपादित करें 2: उदाहरण जो काम नहीं करता है

आइए निम्नलिखित मान्य व्युत्पत्ति करें:

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & स्वयंसिद्ध \\ [α : *] & ⊢ & α : * & चर परिचय \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & कमजोर \\ [] & ⊢ & (Π α : * । *) : ◻ & उत्पाद गठन \\ [β : Π α : * । *] & ⊢ & β : (Π α : * । *) & चर परिचय \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

अंतिम संदर्भ में एक मान्य प्रकार के मूल्यांकन को को संतुष्ट करना होगा । इस प्रकार के मूल्यांकन के लिए कोई वैध शब्द मूल्यांकन नहीं है। $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$

— हेल्मुट
स्रोत

इसे पढ़ने वाले आधे लोग सोचेंगे कि सैट है। आपको समझाना चाहिए कि यह क्या है। साथ ही, आपकी व्युत्पत्ति थोड़ी अजीब लगती है। दूसरी पंक्ति को अपने निष्कर्ष में उल्लेख नहीं करना चाहिए , यह कुछ इस तरह पढ़ता है जैसे , क्या ऐसा नहीं होना चाहिए?

S A T

$SAT$

α

$\alpha$

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$

— बाउर

मैं हरमन गेवर्स (जो इस डोमेन में मानक प्रतीत होता है) के अंकन का उपयोग कर रहा हूं। लैम्बडा एक्सप्रेशंस के सभी संतृप्त सेटों का समूह है। मेरी व्युत्पत्ति की दूसरी पंक्ति के लिए: इसका शुद्ध प्रकार प्रणाली के चर के लिए परिचय नियम है। यह नियम पढ़ता है जहां कुछ प्रकार है।

SAT

$\text{SAT}$

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$

s

$s$

— हेल्मट

मैं समझता हूं कि आपको दूसरी पंक्ति कैसे मिली लेकिन यह तीसरी पंक्ति के गठन का सही आधार नहीं है, क्या यह है? क्या नियम तीसरी लाइन देता है।

— एंड्रेज बॉयर

PTS का उत्पाद निर्माण नियम कहता है कि । निर्माणों की गणना में नियम । इससे मुझे पहली और दूसरी पंक्ति का उपयोग करके तीसरा प्राप्त करने की अनुमति मिलती है। हालाँकि, मैंने अपनी पोस्ट में एक टाइपो लिखा था। तीसरी पंक्ति याद आ रही थी जिसे मैंने अब जोड़ा।

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$

— हेल्मुट

तब पहली पंक्ति को पढ़ना नहीं चाहिए ? या आपने कहीं और और मिलाया ? दूसरी पंक्ति उत्पाद निर्माण नियम का दूसरा आधार नहीं हो सकती है, क्योंकि इसका मतलब होगा कि आप जैसी कोई चीज़ बनाने की कोशिश कर रहे हैं बजाय ।

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$

*

$*$

◻

$\Box$

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$

— बाउर

दुर्भाग्य से, मुझे यकीन नहीं है कि Geuvers के खाते की तुलना में अधिक शुरुआती अनुकूल संसाधन हैं। आप क्रिस कैसिंघिनो के इस नोट को आजमा सकते हैं, जो विस्तार से कई सबूतों का विवरण देता है।

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपके भ्रम की बात समझ सकता हूं, लेकिन मुझे लगता है कि एक महत्वपूर्ण बात ध्यान देने योग्य है, निम्नलिखित लेम्मा (कोरोलरी 5.2.14) है, जो क्लासिक बारेंड्रेगट पाठ में सिद्ध है :

Γ ⊢ म : टी \Rightarrow Γ ⊢ टी : * या ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

इसका अर्थ यह है कि जबकि कुछ जटिल कार्य हो सकते हैं, अगर धारण करता है, तो को एक सेट होना चाहिए। शब्दों की । $[\![T]\!]_\xi$ $\Gamma \vdash M:T$ $[\![T]\!]_\xi$

यह रूपरेखा (खंड ३.१), जहां केवल अगर ; हमारी अपेक्षा के कौन सी रेखाएँ हैं, जो यह है कि एक प्रकार की व्याख्या के लिए शर्तों का एक सेट होना चाहिए, अर्थात (वास्तव में, ! " $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ $\Gamma \vdash t:T :*$ ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$

यह प्रकार के सिद्धांत में एक सामान्य स्थिति है कि भले ही हम "आधार प्रकार" (यहाँ ) में रुचि रखते हैं , फिर भी हमें उच्च प्रकार की चीजों के लिए शब्दार्थ को परिभाषित करना होगा (इसलिए )। चीजें तब अंत में बाहर काम करती हैं, क्योंकि केवल प्रकार जो कि प्रकारों का निवास है (और , लेकिन यह वास्तव में महत्वपूर्ण नहीं है)। $*$ $\mathrm{SAT}^*$ $*$ $\square$

— कोड़ी
स्रोत

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। यह मेरी समस्या को Geuver के प्रमाण में उपयोग किए गए कार्यों को नहीं समझने का संकल्प दिलाता है। मुझे पहले से ही जियुवर के पेपर को पढ़ने और पुन: प्राप्त करने का संदेह था, लेकिन आपने इसे स्पष्ट कर दिया।

— हेल्मुट