क्या एक एल्गोरिथ्म है जो निषिद्ध नाबालिगों को पाता है?

रॉबर्टसन-सेमुर प्रमेय का कहना है कि किसी भी लघु-बंद परिवार $\mathcal G$ रेखांकन कई निषिद्ध नाबालिगों द्वारा विशेषता हो सकती है।

क्या एक एल्गोरिथ्म है जो एक इनपुट के लिए है $\mathcal G$ निषिद्ध नाबालिगों के लिए आउटपुट या क्या यह अनिर्दिष्ट है?

जाहिर है, उत्तर इस बात पर निर्भर हो सकता है कि कैसे $\mathcal G$ इनपुट में वर्णित है। उदाहरण के लिए, यदि $\mathcal G$ a द्वारा दिया गया है $M_\mathcal G$ वह सदस्यता तय कर सकता है, हम यह भी तय नहीं कर सकते $M_\mathcal G$ कभी भी कुछ भी अस्वीकार करता है। अगर $\mathcal G$ बहुत छोटे नाबालिगों द्वारा दिया जाता है - ठीक है, कि हम क्या देख रहे हैं। मुझे इसका उत्तर जानने की उत्सुकता होगी $M_\mathcal G$ किसी भी पर रुकने की गारंटी है $G$ कुछ निश्चित समय में $|G|$ । मैं किसी भी संबंधित परिणामों में रुचि रखता हूं, जहां $\mathcal G$ कुछ अन्य प्रमाण पत्र (जैसे के मामले में) के साथ मामूली-बंद साबित होता है $TFNP$ या गलत सबूत )।

अपडेट: मेरे प्रश्न का पहला संस्करण काफी आसान निकला, मार्ज़ियो और किम्पेल के विचारों के आधार पर, निम्नलिखित निर्माण पर विचार करें। $M_\mathcal G$ एक ग्राफ को स्वीकार करता है $n$ अगर और केवल अगर कोने $M$ में रुका नहीं $n$ कदम। यह मामूली बंद है और चलने का समय केवल पर निर्भर करता है $|G|$ ।

graph-theory decidability graph-minor

— domotorp
स्रोत

अगर

G

$\mathcal G$ एक हमेशा रुकने वाले TM द्वारा दर्शाया जाता है

M_{G}

$M_\mathcal G$ , आप इसे रोकने की समस्या को कम कर सकते हैं: दिया गया

M

$M$ निर्माण

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ कि हाँ और केवल अगर आउटपुट

M

$M$ में बिल्कुल रुक जाता है

x

$x$ कदम (

(G_{1}, G_{2}, . . .

$(G_1,G_2,...$ एक मानक ग्राफ गणन है)।

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ अधिकांश निषिद्ध नाबालिग को स्वीकार करता है, इसलिए

G

$\mathcal G$ एक मामूली-बंद परिवार है; इसलिए समस्या अनिर्णायक है।

— Marzio De Biasi

@ThomasKlimpel: ऑप्स, मैंने सवाल गलत समझा। शायद एक तय है:

M_{G} (G_{x})

$M_\mathcal G( G_x )$ पहले खोज

G_{i}, i \leq x

$G_i, i \leq x$ ऐसा है कि

M

$M$ में बिल्कुल रुक जाता है

i

$i$ चरणों को स्वीकार अगर

G_{i}

$G_i$ का नाबालिग नहीं है

G_{x}

$G_x$ ; अन्यथा अस्वीकार करें।

— मारजियो डी बियासी

@Marzio को सरल बनाने के लिए:

M_{G}

$M_\mathcal G$ एक ग्राफ को स्वीकार करता है

n

$n$ अगर और केवल अगर कोने

M

$M$ में रुका नहीं

n

$n$ कदम। यह मामूली बंद है और चलने का समय केवल पर निर्भर करता है

| G |

$|G|$ ।

— डोमपोटर 21

ठीक है, मैं व्याख्या करता हूं कि यदि

M

$M$ में रुक जाता है

2

$2$ कदम, तो हम यह भी कहते हैं कि यह अंदर रुकता है

3

$3$ कदम।

— डोमटॉर्प

@domotorp चूँकि आपके निर्माण कार्य (यदि मैं गलत नहीं हूँ), और आपके एक प्रश्न का उत्तर देता हूँ (और चूंकि Marzio De Biasi और मेरे द्वारा सफलता के बिना इस तरह के एक सरल निर्माण के साथ आने की कोशिश की गई है), मुझे लगता है कि आपको अपने निर्माण को एक में बदलना चाहिए उचित उत्तर। यदि आप अपने प्रश्न का उत्तर देने में असहज महसूस करते हैं, तो आप इसे एक सामुदायिक विकि बना सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, आप अपने प्रश्न को संपादित कर सकते हैं और वहां उत्तर जोड़ सकते हैं।

— थॉमस क्लिम्पेल

इसी तरह के एक प्रश्न के लिए मामादौ मोत्फाफा कांते (जिन्होंने ब्रूनो कोर्टसेल की देखरेख में पीएचडी की थी) का जवाब बी। कॉर्सले, आर। डाउनी और मोनडिक सेकेंड ऑर्डर आइडल्स (1997) के लिए ग्राफ माइनर ऑब्स्ट्रक्शन सेट्स की संगणना पर ए नोट का हवाला देते हैं । एम। गैर-कम्प्यूटेबिलिटी परिणाम के लिए फेलो ( एमएसओएल-निश्चित ग्राफ वर्गों के लिए, यानी एक मोनडिक द्वितीय क्रम सूत्र द्वारा परिभाषित कक्षाएं) और बी द्वारा एक संदर्भ-मुक्त व्याकरण (1998) द्वारा परिभाषित रेखांकन के एक मामूली-बंद सेट के अवरोध। एक संगणनीय परिणाम के लिए। कोर्टसेले और जी। सेनेज़रगेट्स ( एचआर-निश्चित ग्राफ़िकल कक्षाओं के लिए, यानी हाइपरेज रिप्लेसमेंट व्याकरण द्वारा परिभाषित कक्षाएं)।

कम्प्यूटेबल और नॉन-कंप्युटेबल केस में महत्वपूर्ण अंतर यह है कि (माइनर-बंद) एचआर-डिसेबल ग्राफ क्लासेस ने ट्रेविद को बाउंड किया है, जबकि (माइनर-क्लोज्ड) एमएसओएल-डिसेबल ग्राफ क्लासेज को ब्रेवड की बाध्यता नहीं है। वास्तव में, यदि एक (मामूली-बंद) MSOL- निश्चित ग्राफ वर्ग ने ट्रेविद को बाध्य किया है, तो यह एचआर-निश्चित भी है।

अभिकलन को गैर-संगणनीय मामलों से अलग करने के लिए वास्तव में महत्वपूर्ण हिस्सा लगता है। एक अन्य ज्ञात परिणाम (एम। फेलो और एम result लैंगस्टन द्वारा) मूल रूप से कहते हैं कि यदि बहिष्कृत नाबालिगों के परिमित सेट के अधिकतम ट्रेविदथ (या पैथोलॉफ़िकेशन) के लिए एक बाउंड को ज्ञात किया जाता है, तो (कम) बहिष्कृत नाबालिगों का न्यूनतम सेट बन जाता है। गणनीय।

यह भी ज्ञात नहीं है कि दो मामूली बंद ग्राफ वर्गों में से प्रत्येक के लिए संघ (जो मामूली मामूली बंद है) के लिए बहिष्कृत नाबालिगों का न्यूनतम (सेट) न्यूनतम सेट है, यदि कोई जानकारी नहीं है treewidth (या pathwidth) के बारे में उपलब्ध है। या शायद इस बीच यह भी साबित हो गया है कि यह सामान्य रूप से गैर-कम्प्यूटेबल है।

— थॉमस क्लिम्पेल
स्रोत

यह आखिरी हिस्सा काफी दिलचस्प है। यदि अच्छी तरह से समझा जाए, तो यह निम्नलिखित है। एक ग्राफ परिवार के लिए

G

$\mathcal G$ , द्वारा निरूपित करें

m (G)

$m(\mathcal G)$ सबसे बड़ा निषिद्ध न्यूनतम मामूली का आकार। चलो

f (n) = max {m (G_{1} \cup G_{2}) ∣ m (G_{1}), m (G_{2}) \leq n}

$f(n)=\max \{m(\mathcal G_1 \cup \mathcal G_2)\mid m(\mathcal G_1),m(\mathcal G_2)\le n\}$ । तब लिए कोई ज्ञात पुनरावर्ती ऊपरी बाध्य नहीं है । क्या आप जानते हैं कि कुछ उदाहरण बताते हैं कि बहुत तेजी से बढ़ता है?

f (n)

$f(n)$

f (n)

$f(n)$

— डोमटॉर्प

@domotorp मैं सहमत हूँ, अच्छी बात है। इस तरह के उदाहरणों के लिए मेरे पास कुछ विचार हैं, लेकिन मुझे आभास है कि मेरे सभी उदाहरणों की वृद्धि दर (जो मूल रूप से "ग्रिड" आयाम के साथ खेलने की कोशिश करती है) एलामेंटरी के भीतर रहेगी। हालांकि, मेरा मानना है कि अगर मैं उन सवालों में समय लगाना चाहता था, तो मुझे पहले एक साहित्य अध्ययन करना चाहिए कि वर्ष २०१०-२०१ looking में क्या हुआ था, शायद कागजात को देखकर जो मुझे पता है, या जो कागजात को उद्धृत करते हैं उन सवालों पर काम करने वाले लेखकों के बाद के प्रकाशनों में।

— थॉमस क्लिम्पेल

मैं देख रहा हूँ - ठीक है, मैं जवाब जानने के लिए बेताब नहीं हूँ, बस मैं हैरान हो गया और उत्सुक हो गया ...

— domotorp

: @domotorp संघ के लिए बाहर रखा गया नाबालिगों की न्यूनतम सेट 2008 में शुमार कर सका होना दिखाया गया है logic.las.tu-berlin.de/Members/Kreutzer/Publications/...

— थॉमस Klimpel