मान लीजिए कि हमारे पास एक ग्राफ़ प्रॉपर्टी है जिसे नॉन्डेटेरिमिनिस्टिक पोलीनोमियल समय में चेक किया जा सकता है, और एक कमजोर औपचारिक प्रणाली में एक प्रमाण (आरसीए 0 कहें ) कि संपत्ति मामूली बंद है। क्या हम एक औपचारिक प्रणाली की ताकत के बारे में कुछ भी कह सकते हैं, जो यह साबित करने में सक्षम है कि बहिष्कृत-नाबालिगों का एक निर्धारित परिमित दिया गया ग्राफ संपत्ति की विशेषता है?
प्रसंग यह सर्वविदित है कि पहले से ही कृषकल के वृक्ष प्रमेय का एक सरल संस्करण (बिना अच्छी तरह से अर्ध-क्रमबद्ध सेट) ATR 0 में अप्राप्य है और ग्राफ लघु प्रमेय उस प्रमेय का एक सामान्यीकरण है जो prov 1 में भी सिद्ध है। 1 -सीए 0 । फ्राइडमैन ने क्रुस्कल के ट्री प्रमेय के उस सरल संस्करण का उपयोग तेजी से बढ़ते TREE (n) फ़ंक्शन के निर्माण के लिए किया, और SSCG (n) फ़ंक्शन को और भी तेज़ी से विकसित करने के लिए ग्राफ़ माइनर प्रमेय का उपयोग किया । वे उल्टे गणितीय ताकत से कम्प्यूटेशनल सामग्री के बारे में निष्कर्ष के अच्छे प्रदर्शन हैं, लेकिन जो लोग अनुत्तरित के ऊपर अधिक प्रत्यक्ष प्रश्न छोड़ते हैं।
अर्थात्, लघु नाबालिग प्रमेय से संबंधित प्रमाण इस बात का प्रमाण है कि यदि किसी को उस संपत्ति के लिए अपवर्जित नाबालिगों की सूची पता हो तो निर्धारक बंद समय में मामूली बंद संपत्तियों का परीक्षण किया जा सकता है। इसलिए यह आश्चर्यचकित करना स्वाभाविक है कि "असंभव" यह साबित करना कितना आसान है कि किसी ने किसी दिए गए "आसान" (जैसा कि प्रश्न में सटीक बनाया गया है) के लिए सभी नाबालिगों को मामूली बंद संपत्ति पाया है। चूंकि यह एक "गैर-वर्दी" कार्य है, इसलिए यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि क्या इस कार्य की "असंभवता" ग्राफ की छोटी प्रमेय को साबित करने के लिए "कठिनाई" (यानी रिवर्स गणितीय ताकत) से संबंधित है।
चूंकि क्रुस्कल के ट्री प्रमेय के सरल संस्करण में ग्राफ लघु प्रमेय के रूप में बिल्कुल वही प्रश्न हैं, जो उत्तर चाहते हैं, तो वे उस सरल समस्या पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं। मैंने सिर्फ ग्राफ मामूली प्रमेय का उपयोग किया है, क्योंकि प्रश्न इस तरह से अधिक स्वाभाविक लगता है। (यह संभव है कि यह प्रश्न MSE या MSO के लिए अधिक उपयुक्त रहा हो, कम से कम एक निश्चित उत्तर प्राप्त करने के संबंध में। लेकिन इस प्रश्न की प्रेरणा TCS से अधिक संबंधित है, इसलिए मैंने इसे यहाँ पूछने का निर्णय लिया है।)