यह तय करना कि क्या अंतराल में एक प्रमुख संख्या है

यह तय करने की जटिलता क्या है कि प्राकृतिक संख्याओं के एक अंतराल में एक प्रधान होता है या नहीं? एरेटोस्थेनेज की चलनी का एक प्रकार एक देता है एल्गोरिथ्म, जहां अंतराल की लंबाई है और खाल अंतराल के प्रारंभिक बिंदु में पाली लघुगणक कारक; क्या हम बेहतर ( अकेले संदर्भ में ) कर सकते हैं? $\tilde O(L)$ $L$ $\sim$ $L$

— इलियट गोरोखोवस्की
स्रोत

नाइटपिक: एराटोस्थनीज की छलनी आपको शुरुआती बिंदु में भी केवल पॉली-लॉगरिदमिक कारक नहीं देती है, यहां तक कि लंबाई 1 के अंतराल के लिए भी। यह वास्तव में जांचना संभव है कि एक नंबर प्राइम का समय है जो संख्या में पॉलीग्लिथेरमिक है (= प्रतिनिधित्व के आकार में बहुपद) लेकिन इसके लिए एवरोस्टोनेस की छलनी की तुलना में बहुत अधिक परिष्कृत की आवश्यकता होती है।

— वैनेसा

@Squark सच, में "किसी दिए गए कारक आधार के सापेक्ष छद्मरूप" निर्दिष्ट होना चाहिए। यद्यपि अंतराल का शुरुआती बिंदु बड़ा हो जाता है, फिर भी परीक्षण की अपेक्षित लागत शून्य हो जाती है ...

— इलियट गोरोखोवस्की

अस्वीकरण : मैं संख्या सिद्धांत का विशेषज्ञ नहीं हूं।

$[n, n+\Delta]$ $\mathrm{polylog}(n)$ $n^{1/2 + o(1)}$

बारीकी से संबंधित समस्या के बारे में बहुत सारी महान जानकारी के साथ बहुत मददगार लिंक : पॉलीमैथ प्रोजेक्ट पर प्राइमिनिस्टिक एल्गोरिदम पर प्राइम्स खोजने के लिए ।

लंबे उत्तर :

$n$ $2n$

$f(n)$ $n$ $n + f(n)$ $f(n)$ $\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$ $n$ $n + \Delta$ $\Delta \geq f(n)$ $n$ $n + \Delta$ $n$ $2n$

$\mathrm{polylog}(n)$ $f(n) = O(\log^2 n)$ $n \geq 3$ $1/\log n$

$f(n) \leq O(\sqrt{n})$ $f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$ $n^{o(1)}$

$\widetilde{O}(n^{0.525})$ $n^{0.025}$

— नूह स्टीफेंस-डेविडोवित्ज़
स्रोत

k

$k$

k

$k$

π (x) := \# primes below \leq x

$\pi(x) := \text{\# primes below $\leq x$}$

p_{n + k} - p_{n}

$p_{n+k}-p_n$

p_{n + 1} - p_{n}

$p_{n+1}-p_n$