3 डी-ग्रिड (जाल या जाली) की साइडइलवेस्टिंग के साथ क्या है?

मैंने यह सवाल कुछ हफ्ते पहले mathoverflow में पूछा था , लेकिन मुझे कोई जवाब नहीं मिला।

इधर, sidelength की 3 डी ग्रिड द्वारा मैं ग्राफ मतलब के साथ और , अर्थात, नोड्स को 1 और बीच 3-आयामी पूर्णांक निर्देशांक पर रखा जाता है , और एक नोड पर जुड़ा होता है सबसे अधिक 6 अन्य नोड्स जो ठीक एक में भिन्न होते हैं एक के द्वारा समन्वयित होते हैं। $k$ $G=(V,E)$ $V= \{1,\ldots,k\}^3$ $E=\{( (a,b,c) ,(x,y,z) ) \mid |a-x|+|b-y|+|c-z|=1 \}$ $k$

इस ग्राफ का नाम क्या है? मैं 3 डी ग्रिड का उपयोग करूँगा, लेकिन शायद 3 डी मेष या 3 डी जाली का उपयोग अन्य लोगों द्वारा किया जाता है।

इस ग्राफ का ट्रेविद या पाथवे क्या है? क्या यह पहले से ही कहीं प्रकाशित है?

मैं पहले से ही जानता हूं कि $tw(G) = (3/4) k^2 + O(k)$ , अर्थात यह वास्तव में से छोटा है $k^2$ । मेरे लिए, यह सुझाव देता है कि मानक तर्कों से पता चलता है कि $k\times k$ 2D- ग्रिड में ट्रेविथ है और पाथवे $k$ आसानी से सामान्य नहीं होगा।

इसे देखने के लिए, हम एक पथ अपघटन पर विचार करते हैं जो मुख्य रूप से नोड-सेट का उपयोग करके "स्वीप" करता है $S_c= \{(x,y,z)\mid x+y+z = c\}$ । निरीक्षण $|S_c| \leq (3/4) k^2 + O(k)$ , $S_{3/2 k}$ ऐसा सबसे बड़ा सेट है। $S_c$ और बीच के सेट $S_{c+1}$ को एक लाइन के साथ स्वीप करके बनाया जाता है और विभाजक होने के लिए $O(k)$ अतिरिक्त नोड्स की आवश्यकता होती है। अधिक सटीक रूप से, सेट $S_{c,d} = \{(x,y,z)\mid (x+y+z = c \wedge x \leq d ) \vee (x+y+z = c \wedge x \geq d ) \}$ पथ अपघटन के रूप में । $G$

मेरे पास एक सबूत के लिए एक विचार है जो दिखाता है $tw(G) = \Omega(k^2)$ , लेकिन यह अभी तक समाप्त नहीं हुआ है।

— रिको जैकब
स्रोत

| S_{c} | = Ω (k^{2})

$|S_c| = \Omega(k^2)$ लिए । क्या मैं कुछ भूल रहा हूँ?

c = ⌊ k / 2 ⌋

$c=\lfloor k/2 \rfloor$

— सरियल हर-पेलेड

ज़रूर। लेकिन का उपयोग केवल ऊपरी सीमा में किया जाता है। मैं वास्तव में किस चीज की परवाह करता हूं वह एक कम बाउंड है।

S_{c}

$S_c$

— रीको जैकब

आपको इस पत्र में रुचि हो सकती है: springerlink.com/content/3nmjlc1g5emx9vpk । यदि आप अपने ग्राफ़ की "कतार संख्या" की गणना कर सकते हैं, तो आपको 1 का उपयोग करके इसकी पथ-चौड़ाई पर एक निचली सीमा दी जाएगी, जिसमें कहा गया है कि किसी भी ग्राफ के लिए ।

q n (G) \leq p w (G)

$\mathsf{qn}(G) \leq \mathsf{pw}(G)$

G

$G$

— मैथ्यू चैपेल

ओह। समझा। आपका मतलब ।

(3 / 4) k^{2}

$(3/4)k^2$

— सरिएल हर-पेलेड

@ सारियल: मैंने उसी भ्रम से बचने के लिए प्रश्न संपादित किया।

— त्सुयोशी इतो

जवाबों:

की pathwidth कुछ ज्ञात परिणाम के लिए एक परिणाम के रूप में निर्धारित किया जा सकता। फिजराल्ड़ [2] से पता चला कि बैंडविड्थ है । हार्पर [3] ने एक ऐसी स्थिति दिखाई कि यदि कोई ग्राफ़ स्थिति को संतुष्ट करता है, तो उसका पथ-प्रदर्शक और बैंडविड्थ समान हैं। मोगामडैम [4,5] और बोलोबेस और लीडर [1] ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि कोई भी बहुआयामी ग्रिड हार्पर की स्थिति को संतुष्ट करता है। इन परिणामों का अर्थ है कि का पथ- भी । $P^3_k$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2} k \rfloor$ $P^3_k$ $\lfloor \frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{2}k \rfloor$

Hsien-Chih द्वारा उल्लिखित हमारे पेपर में, हमने FoshGerald के परिणाम को सामान्यीकृत किया जैसा कि योशियो ने समझाया था। मेरा मानना है कि का पता नहीं है। $P^3_k$

FYI करें: मैंने अर्क्सिव के लिए हमारे पेपर का एक अंग्रेजी संस्करण प्रस्तुत किया है ।

बी। बोलोबेस्स और आई। लीडर, कम्प्रेशन्स एंड आइसोपरिमेट्रिक असमानताएँ, जे। कॉम्बिन। थ्योरी सर्। ए 56 (1991) 47-62।
सीएच फिट्जगेराल्ड, रेखांकन के रेखांकन के इष्टतम अनुक्रमण, गणित। अनि। 28 (1974), 825-831।
एलएच हार्पर, ऑप्टिमल नंबरिंग और ग्राफ पर आइसोपरिमेट्रिक समस्याएं, जे। कॉम्बिन। सिद्धांत 1 (1966) 385-393।
एच.एस.मोगदम, संपीड़न ऑपरेटरों और पथ के उत्पाद की बैंडविड्थ समस्या का समाधान , पीएच.डी. थीसिस, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, रिवरसाइड (1983)। $n$
एचएस मोगदाम, पथ के उत्पाद का विस्तार, कांग्र। Numer। 173 (2005) 3-15। $n$

— योटा ओटाची
स्रोत

कृपया अपना नया परिणाम (और पेपर!) साझा करने के लिए धन्यवाद, TCS SE में आपका स्वागत है :)

— Hsien-Chih Chang

@ Hsien-Chih: आपने मुझे अपना परिणाम साझा करने का निर्णय लिया :-) धन्यवाद। वास्तव में, मैं arXiv के लिए भी नया हूँ।

— योटा ओटाची

3-ग्रिडों के पथ-विन्यास का अध्ययन Ryohei Suda, Yota Otachi और Koichi Yamazaki द्वारा 3-आयामी ग्रिड , IEICE Tech के पेपर पाथवे में किया गया है । रिपोर्ट, 2009

यह कागज के सार में दावा किया गया है कि

इस पत्र में, हम उनकी शीर्ष सीमा की चौड़ाई का निर्धारण करके, बंद रूप में 3-डायमेंशनल ग्रिड का पाथवे देते हैं।

हालाँकि सार में सटीक बाउंड नहीं बताया गया है, और वर्तमान में मैं पूरा पेपर एक्सेस नहीं कर सकता। हो सकता है कि आप लेखकों से निजी तौर पर संपर्क कर सकते हैं, और इस प्रश्न का उत्तर अपने आप से पोस्ट कर सकते हैं, अगर लेखक परिणाम साझा करने के लिए तैयार हैं।

— ह्सियन-चिह चांग h h
स्रोत

ध्यान दें कि कागज जापानी में लिखा गया है।

— त्सुयोशी इतो

@ त्सुयोशी: जी, हमें आपकी मदद की आवश्यकता हो सकती है :)

— ह्सियन-चिह चांग 張顯

मेरे पास पांडुलिपि की भौतिक पहुंच है (और जापानी समझ सकते हैं)। लेखकों के अनुसार, का if और अन्यथा, जहां कोने के साथ एक पथ है , और ।

P_{ℓ} \times P_{m} \times P_{n}

$P_{\ell}\times P_{m}\times P_{n}$

ℓ m

$\ell m$

ℓ + m \leq n + 2

$\ell + m \leq n + 2$

ℓ m - ⌈ (\frac{ℓ + m - n - 1}{2})^{2} ⌉

$\ell m - \lceil (\frac{\ell+m-n-1}{2})^2 \rceil$

P_{k}

$P_k$

k

$k$

ℓ \leq m \leq n

$\ell \leq m \leq n$

— योशियो ओकामोटो

@ योशियो: यह एक उत्तर होने के योग्य है, क्योंकि इसका तात्पर्य , जो प्रश्न का उत्तर देता है।

p w (P_{k}^{3}) = \frac{3}{4} k^{2} + O (k)

$\mathsf{pw}(P^3_k) = \frac{3}{4}k^2 + O(k)$

— सीन-चिह चांग। ''

धन्यवाद। ऐसा लगता है कि मुझे खुद उस संदर्भ को नहीं खोजने के लिए बुरा महसूस नहीं करना है। मैं विवरण के लिए उत्सुक हूं।

— रीको जैकब