अपरिमेय भार के साथ अधिकतम-प्रवाह एल्गोरिदम के लिए प्रतिसाद?

Question

यह ज्ञात है कि फोर्ड-फुलकर्सन या एडमंड्स-कार्प फैट पाइप हेयुरिस्टिक (अधिकतम-प्रवाह के लिए दो एल्गोरिदम) को रोकने की आवश्यकता नहीं है यदि कुछ वजन कम होते हैं। वास्तव में, वे गलत मूल्य पर भी अभिसरण कर सकते हैं ! हालाँकि, सभी उदाहरण जो मुझे साहित्य में मिल सकते हैं [नीचे संदर्भ, साथ ही संदर्भ] केवल एक तर्कहीन मूल्य का उपयोग करें: संयुग्म स्वर्णिम अनुपात , और अन्य मान जो या तो तर्कसंगत हैं, या तर्कसंगत गुणक हैं । मेरा मुख्य प्रश्न है:$\phi' = (\sqrt{5}-1)/2$$\phi'$

सामान्य प्रश्न: अन्य तर्कहीन मूल्यों के साथ क्या होता है?

उदाहरण के लिए (लेकिन ऐसा महसूस न करें कि आपको पोस्ट करने के लिए इन सभी का उत्तर देना है - मुझे किसी एक का जवाब दिलचस्प मिलेगा, या अन्य प्रश्नों के लिए जो उपरोक्त सामान्य प्रश्न के अंतर्गत आते हैं):

1. किसी भी को देखते हुए , क्या कोई इस तरह के प्रतिपक्षों का निर्माण (या अस्तित्व भी दिखा सकता है) कर सकता है?$\alpha \in \mathbb{R}$

2. अधिक कमजोर रूप से: क्या ऐसे उदाहरण ज्ञात हैं जो अनिवार्य रूप से एक तर्कहीन मूल्य का उपयोग करते हैं$\phi'$? यही है, वहाँ कुछ है$\alpha$ जो एक तर्कसंगत एकाधिक नहीं है $\phi'$ (या अधिक दृढ़ता से अंदर नहीं $\mathbb{Q}(\phi')$) और ऐसा है कि फोर्ड-फुलकर्सन और / या एडमंड्स-कार्प के लिए प्रतिपक्ष हैं जहां सभी वजन में झूठ बोलते हैं $\mathbb{Q}(\alpha)$?

3. दूसरी दिशा में, क्या एक अपरिमेय मौजूद है $\alpha$ऐसा है कि फोर्ड-फुलकरसन (सम्मान।, एडमंड्स-कार्प) सभी ग्राफ पर सही मूल्य के साथ टिका है, जिनका वजन सभी से है$\mathbb{Q} \cup \{q\alpha : q \in \mathbb{Q}\}$? (या अधिक दृढ़ता से, से$\mathbb{Q}(\alpha)$?)

सभी मामलों में, मैं असली रैम मॉडल की तरह कुछ ग्रहण करना चाहता हूं, ताकि वास्तविक समय में सटीक अंकगणित और वास्तविक संख्याओं की सटीक तुलना हो सके।

(ऐसे अन्य अधिकतम-प्रवाह एल्गोरिदम हैं जो दृढ़ता से बहुपदीय समय में चलने के लिए जाने जाते हैं, यहां तक ​​कि मनमाने ढंग से वास्तविक भार के साथ, जो शायद इस प्रकार का प्रश्न शायद आगे नहीं खोजा गया है। लेकिन मेरे अंडरग्राउंड एल्गोरिदम में सिर्फ इन एल्गोरिदम को पढ़ाया गया है। , मैं अभी भी इस बारे में उत्सुक हूं।)

संदर्भ

• Zwick TCS 1999 द्वारा Ford-Fulkerson के लिए एक न्यूनतम प्रतिसाद दिया गया था

• एडमंड्स-कार्प के लिए एक प्रतिउत्तर क्यूप्रैन या क्यूरेनैन मठ द्वारा दिया गया था । ओपर। रेस। 1980 , हालांकि मुझे नहीं पता कि अगर वह न्यूनतम है।

• इन दोनों को जेफ एरिकसन के व्याख्यान नोट्स में पाया जा सकता है , पहला भाग 23.5 में और दूसरा व्यायाम 14 के रूप में 23 के रूप में।

Answer 1

इसका उत्तर यह है कि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के लिए $r$, एक नेटवर्क मौजूद है

• साथ में $n=6$ कोने और $m=8$ आर्क्स,
• जिसमें सात चापों में पूर्णांक क्षमता होती है,
• जिसमें एक चाप की क्षमता है $r$,
• और जिस पर Ford-Fulkerson समाप्त करने में विफल हो सकता है।

कागजों में यह साबित हो चुका है

तोशीको ताकाहाशी:
"सरलतम और सबसे छोटा नेटवर्क जिस पर फोर्ड-फुलकरसन अधिकतम प्रवाह प्रक्रिया को समाप्त करने में विफल हो सकता है"
सूचना प्रसंस्करण 24 जर्नल, पीपी 390-394, 2016।
लिंक: https: www.jstage.jst.go। jp / लेख / ipsjjip / 24/2 / 24_390 / _article

Answer 2

इस सवाल के लिए धन्यवाद कि मुझे वास्तव में स्वाभाविक नहीं मिला लेकिन काफी मनोरंजक कोई भी कम नहीं था।

मैंने Ford-Ferkulson भाग में देखा है और मुझे लगता है कि मुझे एक ऐसा ग्राफ़ मिला है जो एक काउंटर-उदाहरण है और इसमें केवल एक किनारे है जिसमें अपरिमेय क्षमता α (ग्राफ किसी α के लिए काम कर सकता है) है।

यहाँ एक पीडीएफ मेरे प्रयास को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है: https://louis.jachiet.com/tmp/jQwbrkSMLNU_draft.pdf (क्षमा करें, यह इस समय के लिए थोड़ा कठिन है लेकिन प्रश्न पूछने में संकोच न करें)

स्पष्ट रूप से फोर्ड-फेल्कर्सन हमें इच्छानुसार पथ का चयन करने देता है ... मुझे यकीन नहीं है कि यह एडमंड-कार्प के लिए संभव होगा।