नियमित भाषाओं को शामिल करने की जटिल जटिलता

मुझे क्लासिक समस्या REGANGAR LANGUAGE INCLUSION में दिलचस्पी है। एक नियमित अभिव्यक्ति को देखते हुए , हम से जुड़ी नियमित भाषा से निरूपित करते हैं। (रेगुलर एक्सप्रेशन एक निश्चित वर्णमाला पर हैं संचालन संघ, क्लीन-स्टार और संयोजन के साथ,।) $E$ $L(E)$ $\Sigma$

इनपुट: दो नियमित अभिव्यक्ति और प्रश्न: यह सही है कि ? $E_1$ $E_2$
$L(E_1)\subseteq L(E_2)$

रेग्युलर लैंग्वेज इंक्लुज़न को PSPACE-complete [1] के रूप में जाना जाता है।

इसे हल करने का क्लासिक तरीका (PSPACE में) NFAs और का निर्माण और से जुड़ा है , से DFA बनाने के लिए , इसे DFA में पूरक करें , और अंत में, चौराहे ऑटोमेटन को और से और के चौराहे के अनुरूप बनाएं $A_1$ $A_2$ $E_1$ $E_2$ $D_2$ $A_2$ $D_2^C$ $A_P$ $A_1$ $D_2^C$ $L(E_1)$ $L(E_2)^C$ । अब यदि और केवल यदि कोई एक को स्वीकार करने के लिए पथ । $L(E_1)\subseteq L(E_2)$ $A_P$

अगर मैं गलत नहीं हूं, तो पूरी प्रक्रिया को बहुपद समय में किया जा सकता है जब एक निश्चित भाषा है, क्योंकि एकमात्र घातांक झटका को में बदलने से आता है । इससे भी बेहतर है, समस्या एफपीटी है जब पैरामीटर द्वारा की लंबाई । $E_2$ $A_2$ $D_2$ $|E_2|$ $E_2$

यह मेरे प्रश्न को प्रेरित करता है:

प्रश्न: जब एक निश्चित अभिव्यक्ति है, तो REGULAR LANGUAGE INCLUSION की जटिलता क्या है? क्या यह PSPACE- पूर्ण रहता है? $E_1$

[१] एलजे स्टॉकमेयर और एआर मेयर। घातीय समय की आवश्यकता वाले शब्द समस्याएं: प्रारंभिक रिपोर्ट। कम्प्यूटिंग के सिद्धांत पर पांचवें वार्षिक एसीएम संगोष्ठी की कार्यवाही, STOC '73, पीपी। 1-9।

टिप्पणी: क्षेत्र में एक गैर-विशेषज्ञ होने के नाते, मुझे लगता है कि [1] (और उस समय के संबंधित कागजात) काफी अपठनीय हैं, और PSPACE-पूर्णता का एक और प्रमाण नहीं मिल सका है - आधुनिक प्रमाण के लिए कोई भी सूचक, जैसे कि एक किताब, बहुत स्वागत है! इसके अलावा, लेखक अपने नियमित अभिव्यक्ति में चुकता करने की अनुमति देते हैं, जो आजकल गैर-मानक है, मेरा मानना है।)

— फ्लोरेंट फौकॉड
स्रोत

भाषा की सार्वभौमिकता (यानी E1 = सिग्मा *) के रूप में यह PSPACE-complete बना हुआ है।

— डेनिस

Btw की अनुमति चुकता समस्या को पूरा करता है, पूर्ण-परिणाम, आपके द्वारा उल्लिखित परिणाम बिना वर्ग के हैं।

— डेनिस

के लिए

, यह निरंतर समय में व्याख्या करने योग्य है। के लिए

एक निश्चित स्ट्रिंग के लिए

, यह बहुपद समय में व्याख्या करने योग्य है। के लिए

यह PSPACE-पूरा हो गया है। वहाँ एक

मौजूद है कि समस्या

अपूर्ण है?

E_{1} = \emptyset

$E_1 = \emptyset$

E_{1} = w

$E_1 = w$

w

$w$

E_{1} = Σ^{*}

$E_1 = \Sigma^{*}$

E_{1}

$E_1$

N P

$NP$

— माइकल वीहर

ठीक है धन्यवाद! @ डेनिस, कृपया इसे एक उत्तर में बदल दें (संदर्भ के साथ), और मैं इसे स्वीकार करूँगा!

— फ्लोरेंट फौकॉड

@MichaelWehar: कुछ coNP- पूर्ण मामले यहाँ साबित होते हैं, ( doi.org/10.1137/080743457 ), लेकिन वे तय भाषाओं के लिए नहीं हैं (लेकिन भाषाओं के बहुत सीमित वर्गों के लिए)

— फ्लोरेंट फौकॉड

भाषा की सार्वभौमिकता का विशेष मामला (क्या सभी शब्द स्वीकार किए जाते हैं?) नियमित अभिव्यक्ति या एनएफए के लिए PSPACE- पूर्ण है। यह आपके प्रश्न के उत्तर: सामान्य रूप में समस्या रहता PSPACE-पूरा भी तय करने के लिए , के लिए भाषा सार्वभौमिकता मेल खाती है के बाद से । $E_1$ $E_1=\Sigma^*$

नियमित अभिव्यक्ति सार्वभौमिकता के लिए आधुनिक पठनीय PSPACE- कठोरता प्रमाण खोजना वास्तव में कठिन है, क्योंकि इसे अब लोकगीत माना जाता है। यहाँ एक त्वरित प्रमाण योजना है जो आपको प्रमाण का पुनर्निर्माण करने की अनुमति देती है:

एक ट्यूरिंग मशीन पर विचार करें वर्णमाला पर बहुपद स्थान का उपयोग कर , और के लिए एक इनपुट शब्द हो । हम एक नियमित अभिव्यक्ति का निर्माण करेगा कि सभी शब्दों की यदि और केवल यदि स्वीकार करता है नहीं पर चलने स्वीकार किया है । $M$ $\Sigma$ $p(n)$ $w\in\Sigma^*$ $M$ $e$ $M$ $w$

भाषा पर विचार करें फार्म के शब्दों से मिलकर , जहां प्रत्येक का एक विन्यास है लंबाई बिल्कुल के , के साथ प्रारंभिक विन्यास है पर टेप, स्वीकार कर रहा है, और प्रत्येक का एक वैध संक्रमण है । में एक शब्द $L_M$ $\$C_0\$ C_1\$\dots\$ C_f\$$ $C_i$ $M$ $p(n)$ $C_0$ $w$ $C_f$ $C_i\to C_{i+1}$ $M$ के स्वीकार करने रन का वर्णन करता है । $L_M$ $M$

हम निर्माण वर्णमाला पर ऐसी है कि स्वीकार करता है वास्तव में ऐसे शब्द हैं जो में नहीं हैं , की परिभाषा का उल्लंघन की तलाश द्वारा । अभिव्यक्ति एक बड़ा अलगाव हो जाएगा , जहां प्रत्येक उल्लंघन की एक अलग तरह के लिए लग रहा है। उदाहरण के लिए $e$ $\Sigma'=\Sigma\cup\{\$\}$ $e$ $L_M$ $L_M$ $e$ $e_1+e_2+\dots+e_k$ $e_i$ दिखता है तथ्य यह है कि प्रत्येक के उल्लंघन के लिए आकार वास्तव में है । सबसे मुश्किल भाग के बीच उल्लंघन अनुमान लगा रहा है और अभिव्यक्ति में एक स्थानीय पैटर्न की तुलना कर सकते हैं: और में अपनी छवि , का उपयोग करते हुए

e_{1} = (Σ^{'})^{*} $ (Σ^{< p (n)} + Σ^{> p (n)}) $ (Σ^{'})^{*}

$e_1=(\Sigma')^*\$(\Sigma^{<p(n)}+\Sigma^{>p(n)})\$(\Sigma')^*$

C_{i}

$C_i$

p (n)

$p(n)$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

C_{i}

$C_i$

C_{i + 1}

$C_{i+1}$

है, जहां

और

स्थानीय पैटर्न के लिए अभिव्यक्ति कर रहे हैं। इसके साथ हमएक स्थानीय पैटर्न पर

के संक्रमण फ़ंक्शन केउल्लंघन या इस पैटर्न के बाहर की पहचान के उल्लंघन काअनुमान लगा सकते हैं। अंत में, हम है कि प्राप्त

t (Σ^{'})^{p (n)} t^{'}

$t(\Sigma')^{p(n)}t'$

t

$t$

t^{'}

$t'$

M

$M$

L (e) \neq (Σ^{'})^{*} if and only if L_{M} \neq \emptyset if and only if M accepts w

$L(e)\neq (\Sigma')^*\text{ if and only if }L_M\neq\emptyset\text{ if and only if $M$ accepts }w$ इसलिए हमने एक नियमित अभिव्यक्ति की सार्वभौमिकता के लिए (बहुपद) एक मनमानी PSPACE समस्या को कम कर दिया। मैंने कुछ विवरण छोड़ दिए, लेकिन इससे आपको पूर्ण प्रमाण बनाने की अनुमति मिल सकती है।

बेशक, जैसा कि माइकल वीहर ने टिप्पणी में बताया है, दूसरों के लिए समस्या सरल हो सकती है। इस समस्या की जटिलता को वर्गीकृत करते हुए इस पेपर में व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है [1] तुल्यता, नियंत्रण और कवर के लिए। आप इस उत्तर में समतुल्यता समस्या के परिणामों का सारांश देख सकते हैं (इसमें एनपी-पूर्ण मामले मौजूद हैं)। $E_1$

स्क्वेरिंग पर आपकी टिप्पणी के अनुसार: नियमित अभिव्यक्तियों में स्क्वेरिंग की अनुमति देना समावेश और सार्वभौमिकता समस्या को पूर्ण करता है [2]। टिप्पणी है कि इस से ऊपर सबूत योजना में देखा जा सकता है, क्योंकि अब में एक लघुगणकीय आकार अभिव्यक्ति के साथ व्यक्त किया जा सकता , अपने द्विआधारी अपघटन का उपयोग कर तो हम एक घातीय तक जा सकता है अभिव्यक्ति के आकार को बहुपद रखते हुए। $(\Sigma')^{p(n)}$ $p(n)$ $p(n)$

[१] समतुल्यता, नियंत्रण और नियमित और संदर्भ-मुक्त भाषाओं के लिए समस्याओं को ढंकने वाले हैरी बी.हंट, डैनियल जे। रोर्सेंकांट्ज़, थॉमस जी.सैजमेन्स्की। कंप्यूटर और सिस्टम विज्ञान के जर्नल। खंड 12, अंक 2, अप्रैल 1976, पृष्ठ 222-268

[२] स्क्वेरिंग के साथ नियमित अभिव्यक्ति के लिए समतुल्य समस्या के लिए घातीय स्थान की आवश्यकता होती है । मेयर, एआर और एल स्टॉकमेयर। स्विचिंग और ऑटोमेटा थ्योरी पर 13 वीं IEEE संगोष्ठी, अक्टूबर 1972, pp.125–129।

— डेनिस
स्रोत

वाह, रेफरेंस शेयर करने के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद !! यह साफ है !! :)

— माइकल वीहर

मेरे एक सहकर्मी ने मुझे निम्नलिखित सर्वेक्षण में बताया जो इस प्रकार की नियमित भाषा और ऑटोमेटा की समस्याओं से संबंधित है, और इसमें और उपयोगी संदर्भ हैं: scoubleirect.com/science/article/pii/S0890540110001999

— फ्लोरेंट बोउकॉड