एचओटी पुस्तक में, अधिकांश प्रकार निरर्थक हैं? और यदि हां, तो क्यों?

Hott किताब के अध्याय 1 और परिशिष्ट A में , कई आदिम प्रकार के परिवार प्रस्तुत किए जाते हैं (ब्रह्माण्ड प्रकार, आश्रित प्रकार प्रकार, आश्रित जोड़ी प्रकार, कॉप्टर प्रकार, खाली प्रकार, इकाई प्रकार, प्राकृतिक संख्या प्रकार, और पहचान प्रकार) नींव बनाने के लिए होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत के लिए।

हालाँकि ऐसा लगता है कि दिए गए ब्रह्मांड प्रकार, और आश्रित प्रकार के प्रकार आप इन सभी अन्य "आदिम" प्रकारों का निर्माण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए खाली प्रकार को इसके बजाय परिभाषित किया जा सकता है

ΠT:U.T

मुझे लगता है कि अन्य प्रकारों का निर्माण भी इसी तरह किया जा सकता है कि वे शुद्ध सीसी में कैसे हैं , (यानी परिभाषा के प्रेरक भाग से प्रकार प्राप्त करें)।

इंडेक्टिव / डब्लू प्रकार के कई प्रकार स्पष्ट रूप से निरर्थक बनाए गए हैं जो अध्याय 5 और 6 में पेश किए गए हैं। लेकिन इंडक्टिव / डब्ल्यू प्रकार के सिद्धांत का एक वैकल्पिक हिस्सा प्रतीत होता है क्योंकि वे HoTT के साथ कैसे बातचीत करते हैं (इस पर खुले प्रश्न हैं) कम से कम उस समय किताब निकली)।

इसलिए मैं इस बारे में बहुत उलझन में हूं कि इन अतिरिक्त प्रकारों को आदिम के रूप में क्यों प्रस्तुत किया जाता है। मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि एक मूलभूत सिद्धांत जितना संभव हो उतना कम से कम होना चाहिए, और सिद्धांत में एक आदिम के रूप में एक निरर्थक खाली प्रकार को फिर से परिभाषित करना बहुत मनमाना लगता है।

क्या यह चुनाव किया गया था

कुछ मैंथेटिक कारणों से जिनसे मैं अनजान हूँ?
ऐतिहासिक कारणों से, टाइप थ्योरी को पिछले प्रकार के सिद्धांतों की तरह दिखने के लिए (जो जरूरी नहीं कि मूलभूत होने की कोशिश कर रहे थे)?
कंप्यूटर इंटरफेस की "प्रयोज्य" के लिए?
सबूत खोज में कुछ लाभ के लिए जिससे मैं अनजान हूँ?

इसके समान: मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत के न्यूनतम विनिर्देश , /cs/82810/reducing-products-in-hott-to-church-scott-encodings-82891#82891

type-theory dependent-type homotopy-type-theory

— user833970
स्रोत

वे निरर्थक हैं, लेकिन उस तरीके से नहीं जैसे आप सुझाव दे रहे हैं। आपको खुद से पूछना चाहिए कि "नींव की न्यूनतमता" किस उद्देश्य से काम करती है? और क्या हम उद्देश्य की परवाह करते हैं?

— एंड्रेज बॉयर

मेरा मानना है कि तकनीकी कार्य कन्वेंशन से कम से कम होता है, जहां चीजें कम से कम होने की जरूरत नहीं है अगर यह स्पष्ट रूप से सुविधाजनक है या स्पष्ट रूप से नोट किया गया है। पुस्तक अन्य स्थानों पर भी इसका पालन करती है, जैसे कि जब यह ट्रंकेशन प्रकार (नियमों द्वारा परिभाषित, लेकिन स्पष्ट रूप से न्यूनतम) को परिभाषित करती है। उदाहरण के लिए यदि मैंने 0,1,10, उत्तराधिकारी और शक्ति संचालन के संदर्भ में परिभाषित किए गए घोंसलों को देखा, तो मुझे भ्रम होगा, लेकिन मैं कम से कम देख सकता था कि यह तर्कसंगत रूप से सुविधाजनक क्यों है। Hott अध्ययन का एक अधिक जटिल क्षेत्र है और मैं यह जानना चाहता हूं कि क्या मुझे कुछ भी याद नहीं है।

— user833970

मुझे यह सुनने में बहुत दिलचस्पी होगी कि वे कैसे हानिकारक हो सकते हैं। क्या मुझे उस बारे में एक नया सवाल करना चाहिए?

— user833970

@AndrejBauer मैं जानना चाहूंगा कि वे हानिकारक क्यों होंगे। फाउंडेशनल लैंग्वेज को कमतर मानने का मेरा तर्क ओडैम के उस्तरा के पीछे का तर्क है, यह अनुचित जोड़ा जटिलता है। वहां क्यों रुके? सूची, तार, जोड़े, त्रिकोणीय, वैक्टर को भी क्यों नहीं जोड़ें? उन लोगों की मनमानी पसंद लगती है, उनका क्या औचित्य है? संपादित करें: मैंने अभी देखा कि इस प्रश्न के उत्तर हैं; लेकिन मैं इस टिप्पणी को सिर्फ इस बात के लिए छोड़ दूंगा कि मुझे इसमें भी क्यों दिलचस्पी होगी।

— MaiaVictor

मैं एक ब्लॉग पोस्ट लिखूंगा।

— बाउर

जवाबों:

मुझे यह बताने दें कि खाली प्रकार का सुझाव दिया एन्कोडिंग काम क्यों नहीं करता है। हमें ब्रह्मांड के स्तर के बारे में स्पष्ट होना चाहिए और उन्हें गलीचा के नीचे नहीं झाड़ना चाहिए।

जब लोग "खाली प्रकार" कहते हैं, तो उनका मतलब दो चीजों में से एक हो सकता है:

$E$ $n$ $A : E \to U_n$ $e_{n,A} : E \to A$
$E_k$ $k$ $E_k$ $U_k$ $E_k : U_k$ $A : E_{k} \to U_k$ $e_{k,A} : E_{k} \to A$

बिना किसी प्रोविज़न के, जब लोग "खाली प्रकार" कहते हैं, तो वे ऊपर दिए गए पहले अर्थ की अपेक्षा करते हैं।

$E$

E = Π (T : U) . T

$E = \Pi (T : U) \,.\, T$

E_{k} = Π (T : U_{k}) . T

$E_k = \Pi (T : U_k) \,.\, T$

E_{0}, E_{1}, E_{2}, \dots

$E_0, E_1, E_2, \ldots$

k

$k$

E_{k}

$E_k$

U_{k + 1}

$U_{k+1}$

U_{k}

$U_k$

E = Π n . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi n \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

Π n

$\Pi n$

L

$L$

E = Π (n : L) . Π (T : U_{n}) . T

$E = \Pi (n : L) \,.\,\Pi (T : U_{n}) \,.\, T$

E

$E$

L

$L$

$U$ $B : U \to U$ $\Pi (X : U) B(X)$ $U$ $U$ $\Pi (X : U) X$ $U$

अप्रतिष्ठित ब्रह्मांडों को व्यवस्थित किया जा सकता है। हालांकि, थिएरी कोक्वंड का एक प्रसिद्ध प्रमेय (यदि मैं गलत नहीं हूं), यह दर्शाता है कि दो अनुदैर्ध्य ब्रह्मांड वाले, एक में निहित, एक विरोधाभास की ओर जाता है।

कहानी का नैतिक है: बस सीधे प्रकार को स्वयंसिद्ध करें और चीजों को एन्कोडिंग करना बंद करें।

— प्रेमिका बाउर
स्रोत

यह खाली प्रकार को स्वयंसिद्ध करने के लिए एक ठोस तर्क है, लेकिन मैं अभी भी उन सभी भारी चीजों को स्वयंसिद्ध करने के तर्क के बारे में उत्सुक हूं।

— MaiaVictor

@MaiaVictor: किसके विरोध में?

— बाउर

माफ़ करना? मेरा तात्पर्य यह है कि आप आश्वस्त करते हैं कि विशेष रूप से खाली प्रकार को स्वयंसिद्ध करना एक अच्छा विचार क्यों है। लेकिन ओपी ने अन्य चीजों के बारे में भी पूछा: "ब्रह्मांड प्रकार, आश्रित प्रकार प्रकार, आश्रित जोड़ी प्रकार, कॉप्टर प्रकार, खाली प्रकार, इकाई प्रकार, प्राकृतिक संख्या प्रकार, और पहचान प्रकार" (जो मुझे लगता है कि प्रस्तावित सिस्टम पर भी आदिम हैं। HoTT पुस्तक)। (मैं स्पष्ट रूप से आपको उन सभी को सही ठहराने के लिए नहीं कह रहा हूं, बस मेरी रुचि प्रकट कर रहा हूं।)

— MaiaVictor

1 = \prod_{X : U} (X \to X)

$\mathbb{1} = \prod_{X : U} (X \to X)$

@IngoBlechschmidt किस प्रकार की समस्याओं को जानने के लिए उत्सुक हैं! यह मुझे अच्छा लगता है ...

— MaiaVictor

आप कई सवाल पूछ रहे हैं जो समान हैं लेकिन अलग हैं।

डेटा प्रकारों के लिए HoTT पुस्तक चर्च एन्कोडिंग का उपयोग क्यों नहीं करती है?

चर्च के एनकाउंटर मार्टिन-लोफ प्रकार के सिद्धांत में दो कारणों से काम नहीं करते हैं।

$n$ $k < n$

दूसरा, भले ही आपने चर्च एन्कोडिंग के साथ प्राकृतिक संख्याओं जैसे डेटाटाइप्स को परिभाषित किया हो, इन प्रकारों के साथ प्रमाण करने के लिए, आपको उनके बारे में चीजों को साबित करने के लिए प्रेरण सिद्धांतों की आवश्यकता होती है। चर्च के एन्कोडिंग के लिए प्रेरण सिद्धांतों को प्राप्त करने के लिए, आपको रेनॉल्ड्स की समरूपता पर आधारित एक तर्क का उपयोग करने की आवश्यकता है, और इस प्रकार के सिद्धांत में पैरामीट्रिकिटी सिद्धांतों को कैसे आंतरिक किया जाए, इस सवाल का अभी भी पूरी तरह से समाधान नहीं हुआ है। (कला की स्थिति Nuyts, Vezzosi, और Devriese के ICFP 2017 के पेपर पेमेन्ड्रिक क्वांटिफायर फॉर डिपेंडेंट टाइप थ्योरी है - ध्यान दें कि यह HoTT पुस्तक लिखे जाने के बाद अच्छी तरह से है!)
अगला, आप पूछ रहे हैं कि नींव कम से कम क्यों नहीं है। यह वास्तव में टाइप-थ्योरिटिक फ़ाउंडेशन की विशिष्ट समाजशास्त्रीय विशेषताओं में से एक है - टाइप थेरिस्ट एक तकनीकी सुविधा के रूप में नियमों का एक छोटा सा सेट मानते हैं, बिना बहुत अधिक महत्व के। नियमों के सबसे छोटे सेट के बजाय नियमों का सही सेट होना कहीं अधिक महत्वपूर्ण है।

हम गणितज्ञों और प्रोग्रामरों द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रकार के सिद्धांतों को विकसित करते हैं , और यह बहुत महत्वपूर्ण है कि टाइप थ्योरी के भीतर किए गए प्रमाण वे हैं जो गणितज्ञों और प्रोग्रामर का संबंध सही तरीके से किया जा रहा है। ऐसा इसलिए है क्योंकि गणितज्ञों का तर्क आमतौर पर अच्छी शैली के रूप में माना जाता है जो आमतौर पर अध्ययन के क्षेत्र के प्रमुख बीजीय और ज्यामितीय सिद्धांतों का उपयोग करके संरचित होते हैं। यदि आपको जटिल एन्कोडिंग का उपयोग करना है तो बहुत संरचना खो जाती है या अस्पष्ट हो जाती है।

यही कारण है कि प्रपोजल क्लासिकल लॉजिक के टाइप-थ्योरिटिक प्रेजेंटेशन भी सभी तार्किक संयोजकों को देते हैं, भले ही यह औपचारिक रूप से सिर्फ नंद के साथ एक लॉजिक के बराबर हो। निश्चित रूप से, सभी बूलियन संयोजनों को नंद के साथ एन्कोड किया जा सकता है, लेकिन यह एन्कोडिंग तर्क की संरचना को अस्पष्ट करता है।

— नील कृष्णस्वामी
स्रोत

इस उत्तर के लिए धन्यवाद! मुझे वह कागज (और तुम्हारा) पढ़ना होगा और यह अधिक समझ में आता है। लेकिन, मुझे लगा कि ब्रह्माण्ड पदानुक्रम को डिजाइन करने के लिए बनाया गया था, जैसे कि आप विधेय चीजें कर सकते हैं: उदाहरण के लिए (λA: U.λa: Aa) (ΠA: UA → A) desugar to (λA: Un + 1.λa: आ) (ΠA: Un.A → ए)। मुझे लगता है कि यह एक अजीब संपादकीय पसंद है कि यह समझाने के लिए नहीं, हर तर्क पुस्तक मुझे पता है कि CNF, DNF, NAND और इतने पर जैसे कई न्यूनतम एन्कोडिंग हैं। और जो कोई भी सिद्धांत सेट करने के लिए उपयोग किया जाता है, वह सिद्धांत का प्रदर्शन करने के लिए, नैट्स के "प्राकृतिक" एन्कोडिंग की अपेक्षा करता है। लेकिन यह सिर्फ मेरा शास्त्रीय पक्षपात हो सकता है।

— user833970

मेरी अंतिम टिप्पणी में "impredicative" होना चाहिए

— user833970

\prod (T : U_{n}) . T

$\prod (T : U_n) . T$

U_{n}

$U_n$

U_{n + 1}

$U_{n+1}$

U_{n}

$U_n$

शायद मैं ब्रह्मांड पदानुक्रम के बारे में कुछ गलत समझ रहा हूं। मैंने सोचा था कि हम इस बात की परवाह नहीं करते हैं कि कोई विशिष्ट ब्रह्मांड किस प्रकार का है, केवल तभी ब्रह्मांड संख्या को असाइन किया जा सकता है जब हम किसी प्रमाण को सत्यापित करना चाहते हैं। तो तकनीकी रूप से technT: UT सार्वभौमिकों पर अनुक्रमित प्रकारों का एक परिवार है। जैसे कि पॉलीमॉर्फिक पहचान ब्रह्मांडों पर अनुक्रमित प्रकारों का एक परिवार है। लेकिन क्या हमें बहुरूपिया पहचान के साथ समान समस्या नहीं है? यदि आप पिछले 2 वाक्यों पर विस्तार कर सकते हैं, तो मैं वास्तव में इसकी सराहना करूंगा, मुझे नहीं लगता कि मैं समझता हूं।

— user833970

जब आप कहते हैं कि इसके पास सही उन्मूलन गुण नहीं हैं, तो क्या आपका मतलब है कि एक बार ब्रह्मांड तय होने के बाद उच्च ब्रह्मांडों में प्रकार होते हैं जिन्हें ΠT: Un.T के एक शब्द द्वारा सीधे संश्लेषित नहीं किया जा सकता है?

— user833970 21