क्या आधा भरा जादू वर्ग समस्या एनपी-पूर्ण है?

Question

यहाँ समस्या है:

हमारे पास कुछ कोशिकाओं वाले 1. एन से कुछ संख्याओं वाला एक वर्ग है। यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या यह एक जादू वर्ग को पूरा किया जा सकता है।

उदाहरण:

2 _ 6       2 7 6
_ 5 1  >>>  9 5 1
4 3 _       4 3 8

7 _ _ 
9 _ _  >>>  NO SOLUTION 
8 _ _

क्या यह समस्या एनपी-पूर्ण है? यदि हाँ, तो मैं इसे कैसे साबित कर सकता हूँ?

MS पर क्रॉसपोस्ट

Comments

नहीं, मदद मांगना बुरी बात नहीं है। लेकिन आपका सवाल उस साइट के दायरे में होना चाहिए जो आपने पूछा था। मुझे लगता है कि गणित एसई इस प्रश्न के लिए उचित है, और टीसीएस एसई नहीं है।

— हसीन-चिह चांग 張顯

हम एनपी-कठोरता साबित करने के बारे में सवाल स्वीकार करते हैं, खासकर जब समस्या कठिन हो। उदाहरण के लिए, उत्तर के रूप में सूचीबद्ध तीन उदाहरणों पर विचार करें: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/784/…

— सुरेश वेंकट

यदि यह होमवर्क है, तो हम इसे अनुमति नहीं देते हैं, चाहे वह अनैतिक हो या न हो।

— पीटर शोर

@levanovd: यह स्टैकओवरफ़्लो नहीं है। इस समुदाय के पास गृहकार्य के सवालों की स्पष्ट नीति है। तथ्य यह है कि स्टैकओवरफ़्लो की एक अलग नीति है यहां कोई फर्क नहीं पड़ता।

— जेफ

मुझे एक समाधान नहीं पता है और मुझे नहीं लगता कि यह होमवर्क के स्तर पर है। हालाँकि, मुझे कुछ सरल याद आ रहा है। इसलिए यदि कोई पूर्ण समाधान जानता है और सोचता है कि यह प्रश्न होमवर्क-स्तर है, तो कृपया ऐसा कहें। इस बीच, मैं मान लूंगा कि यह सवाल होमवर्क नहीं है और मैथ एसई और लेवानोव्ड की पिछली टिप्पणी में इस्तेमाल किया गया [होमवर्क] टैग केवल गलतियाँ थीं।

— त्सुयोशी इटो

Answer 1

आंशिक रूप से भरे लैटिन वर्ग को भरना एनपी-पूर्ण है। "आंशिक लैटिन वर्गों को पूरा करने की जटिलता" चार्ल्स जे। कोलबोरन। असतत अनुप्रयुक्त गणित, खंड 8, अंक 1, अप्रैल 1984, पृष्ठ 25-30 http://dx.doi.org/10.1016/0166-218X(84)90075-1

क्या मॉड्यूलर स्क्वायर के माध्यम से लैटिन वर्ग समस्या को जादू वर्ग समस्या में बदल दिया जा सकता है? मेरा अंतर्ज्ञान हाँ कहता है, लेकिन मेरे मस्तिष्क के बाकी लोग कहते हैं "ग्रेडिंग पर वापस जाओ!"

Comments

इसे एक कठोर तर्क में बदलना अच्छा होगा। यह मेरे लिए बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि मॉड्यूलर अंकगणित वास्तव में मैजिक सक्लेयर कंप्लेंट के लिए LATIN SQUARE COMPLETION को कम करने में मदद करेगा, या इसके विपरीत। यह बहुत सुंदर होगा यदि इसे काम करने के लिए बनाया जा सकता है।

— एंड्रू सलामोन

Answer 2

इस प्रश्न के दो भाग हैं: पहला, NP में समस्या है, और दूसरा, क्या यह NP- हार्ड है?

पहले भाग के लिए, मेरे पास एक गैर-स्पष्ट प्रमाण के साथ एक सकारात्मक जवाब है। (पहले की त्रुटि बताने के लिए सुरेश का धन्यवाद।)

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निर्णय समस्या के रूप में प्रश्न को औपचारिक रूप देने के लिए निम्नलिखित तरीके पर विचार करें:

अप्रतिबंधित जादू वर्ग पूरा
इनपुट: पूर्णांक सकारात्मक एकल में दी गई, एक में उनके पदों के साथ पूर्णांकों की सूची द्वारा ग्रिड प्रश्न: तो यह है कि व्यवस्था रूपों एक वहाँ ग्रिड में शेष पदों के लिए पूर्णांकों का अस्तित्व है जादू वर्ग ?$n$$n$$n$

यदि हम यह पूर्णांक जोड़ते हैं कि प्रत्येक पूर्णांक का जादू वर्ग में एक बार ठीक होना चाहिए, तो परिणामी MAGIC SQUARE COMPLETION निर्णय समस्या स्पष्ट रूप से NP में है। यूलर के बाद 1911 के विश्वकोश ब्रिटानिका में एक जादू वर्ग की परिभाषा में यह प्रतिबंध है; इसके विपरीत, विकिपीडिया लेख वर्तमान में "सामान्य जादू वर्ग" शब्दावली का उपयोग करता है और अप्रतिबंधित संस्करण के लिए "जादू वर्ग" को आरक्षित करता है।$1,2,\dots,n^2$

एक साथ$n$$n$$n$$n$$n$

$n^2$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$\sqrt{5}^{n-1}$

यह भी प्रमेय 4.7 के रूप में दिखाई दिया:

• Apoloniusz Tyszka, आर और सी , गणित में अंकगणित पर दो अनुमान । लॉग इन करें। चौथाई गेलन। 56 175–184, 2010।

$2^n$$2^{n-1}$

$x_i = 1$$x_i = x_j + x_k$$i,j,k \in \{1,2,\dots,n\}$$x_i$$2^n$

$2^{n-1}$

यह निम्नलिखित पैदावार देता है:

$N$$2^{O(N^2)}$

$O(N^4)$$O(N^8)$$n^2 + 2(n+1)(n-2)+1 = 3n^2-2n-3$$n-2$$m$$O(m^2)$

$n$

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INTEGER LINEAR PROGRAMMING के एक उदाहरण के समाधान पर Papadimitriou की बाउंड का उपयोग करके, कोई यह भी दिखा सकता है कि वह संस्करण जहाँ संख्याएँ सभी गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए वह भी NP में है।

$A$$r \times s$$b$$r$$\{-a, -a+1, \dots, a-1, a\}$$Ax = b$$\{0,1,\dots,s(ra)^{2r+1}\}$

$a=1$$s=n^2+1$$r=2n+2$

• क्रिस्टोस एच। पापादिमित्रिउ, पूर्णांक प्रोग्रामिंग की जटिलता पर , जेएसीएम 28 765–768, 1981। ( लिंक )

Comments

मुझे लगता है कि मैं भ्रमित हूँ। यदि उत्तर के आकार पर एक पाली बंधी है, तो हमें एक अनुमान लगाने की गारंटी है कि इसे बहुपद समय में पढ़ा और सत्यापित किया जा सकता है।

— सुरेश वेंकट

@ सुरेश: त्रुटियों के लिए क्षमा याचना, यह उत्तर थोड़ा कठिन हो गया था, क्योंकि मैं उम्मीद से कम लिख रहा था।

— एंड्रस सलामों