उच्च ट्रेविद और स्थिर डिग्री के साथ सबग्राफ का पता लगाना

मुझे एक ग्राफ दिया गया है $G$ ट्रेविद के साथ $k$ और मनमानी डिग्री, और मैं एक सबग्राफ खोजना चाहूंगा $H$ का $G$ (जरूरी नहीं कि एक प्रेरित उपसमूह) ऐसा हो $H$ के पास निरंतर डिग्री है और इसका treewidth यथासंभव उच्च है। औपचारिक रूप से मेरी समस्या निम्नलिखित है: एक डिग्री बाउंड चुने जाने के बाद $d \in \mathbb{N}$ , "सबसे अच्छा" फ़ंक्शन क्या है $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ऐसे, किसी भी ग्राफ में $G$ ट्रेविद के साथ $k$ , मैं पा सकता हूँ (उम्मीद है कि कुशलता से) एक सबग्राफ $H$ का $G$ अधिकतम डिग्री के साथ $\leq d$ और ट्रेविदथ $f(k)$ ।

जाहिर है हमें लेना चाहिए $d \geq 3$ चूंकि अधिकतम डिग्री के साथ उच्च स्तर के रेखांकन नहीं हैं $<3$ । के लिये $d = 3$ मुझे पता है कि आप ले सकते हैं $f$ ऐसा है कि $f(k) = \Omega(k^{1/100})$ या तो, चेकुरी और चेज़ॉय के ग्रिड मामूली निष्कर्षण परिणाम के लिए अपील करके (और एक उच्च-ट्रेविद डिग्री -3 ग्राफ, उदाहरण के लिए, एक दीवार, एक सामयिक नाबालिग के रूप में) का उपयोग करके, सबग्राफ की गणना संभव होने के साथ (आरपी में) )। हालांकि, यह एक विस्तृत प्रमाण के साथ एक बहुत शक्तिशाली परिणाम है, इसलिए इसका उपयोग करने में गलत लगता है कि एक बहुत सरल समस्या की तरह क्या दिखता है: मैं बस किसी भी निरंतर-डिग्री, उच्च-ट्रेविदथ सबग्राफ को ढूंढना चाहता हूं, जैसे कोई विशिष्ट नहीं उनके परिणाम में। आगे, बाउंड पर $f$ उतना अच्छा नहीं है जितना मैंने उम्मीद की होगी। यकीन है, यह ज्ञात है कि इसे बनाया जा सकता है $\Omega(k^{1/20})$ (संगणना की दक्षता को छोड़ना), लेकिन मैं कुछ इस तरह की उम्मीद करूंगा $\Omega(k)$ । तो, क्या यह संभव है कि एक ग्राफ दिया जाए $G$ treewidth का $k$ , का एक उपसमूह है $G$ में निरंतर डिग्री और रैखिक ट्रेविद के साथ $k$ ?

मैं भी के लिए ठीक उसी सवाल में दिलचस्पी रहा हूँ pathwidth बजाय treewidth। पथप्रदर्शन के लिए मुझे मामूली अर्क ग्रिड के लिए कोई भी एनालॉग नहीं पता है, इसलिए समस्या और भी रहस्यमय लगती है ...

— a3nm
स्रोत

जूलिया चज़ोय और खुद ट्रेविद स्पार्सफायर्स के पेपर देखें। हम दिखाते हैं कि कोई भी अधिकतम 3 में एक डिग्री का सबग्रिड प्राप्त कर सकता है $\Omega(k/polylog(k))$ कहाँ पे $k$ के बीच में है $G$ । https://arxiv.org/abs/1410.1016 यह सबूत ग्रिड नाबालिगों के लिए एक से कम है, लेकिन यह अभी भी उतना आसान नहीं है और पिछले कई टूल पर बनाता है।

मान लीजिए कि आप एक आसान लक्ष्य के लिए तय करते हैं - डिग्री 4 और ट्रेविद $\Omega(k^{1/4})$ फिर आप ग्रिड जैसे नाबालिगों पर रीड और लकड़ी के परिणाम के माध्यम से इसे और अधिक आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। https://arxiv.org/abs/0809.0724

एक और आसान परिणाम जो आप प्राप्त कर सकते हैं, वह निम्नलिखित है जो कुछ अधिक शामिल प्रमाणों के लिए एक प्रारंभिक बिंदु है। आप अवगुण का सबग्राफ प्राप्त कर सकते हैं $\log^2(k)$ और ट्रेविदथ $\Omega(k/\mathsf{polylog}(k))$ । आप इसे प्राप्त करने के तर्क के लिए ट्रेविद स्पार्सिफायर पेपर देख सकते हैं।

— चन्द्र चकुरी
स्रोत

अतिरिक्त टिप्पणी। किसी के साथ सबग्राफ मिल सकता है या नहीं

Ω (k)

$\Omega(k)$ treewidth और निरंतर डिग्री एक बहुत ही दिलचस्प खुली समस्या है। हम यह सवाल ट्रेविद स्पार्सिफायर पेपर में पूछते हैं, लेकिन सही उत्तर की अच्छी समझ नहीं है। एक दिलचस्प ग्राफ, जिसके बारे में बार्ट जानसन ने पूछा कि यह हाइपरक्यूब है

n

$n$ नोड्स जिसमें ट्रेविड होता है

Θ (n / \log n)

$\Theta(n/\log n)$ और प्रारंभिक डिग्री

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$ ।

— चंद्रा चकुरी

रीड और लकड़ी की ओर इशारा करने के लिए धन्यवाद! मैं विवरण भर दूंगा। उनके पेपर के Thm 1.2 में कहा गया है कि treewidth के साथ एक ग्राफ G

Ω (l^{4} p o l y l o g (l))

$\Omega(l^4 polylog(l))$ आदेश l का ग्रिड-जैसा-छोटा होता है। अब एक ग्रिड-जैसे-मामूली M एक Bipartite चौराहे ग्राफ H के साथ पथों से बना G का एक उपसमूह है, इसलिए M में प्रत्येक शीर्ष M के अधिकांश 2 पथों से संबंधित है (अन्यथा यह H में एक त्रिभुज है), इसलिए M, अधिकतम डिग्री है 4. आगे, एम के पास ट्रेविद है

Ω (l)

$\Omega(l)$ : वास्तव में M की चौड़ाई का कोई भी वृक्ष k की चौड़ाई H के वृक्ष से उत्पन्न होता है <= 2k (इसके सदस्य पथों द्वारा प्रत्येक शीर्ष की जगह, अधिकतम 2 पर), और H के पास है

K_{l}

$K_l$ नाबालिग के रूप में।

— A3nm

फिर से, यह बहुत उपयोगी है, धन्यवाद। यह दिलचस्प है कि रैखिक त्रिभुज के लिए सवाल अभी भी खुला है। (कहा कि, अगर मैं सही ढंग से समझता हूं, तो आपके स्पार्सिफायर पेपर में अनुमान 1.2 थोड़ा अलग समस्या के बारे में है: यह सबग्राफ को k में कुछ बहुपद आकार के H के उपविभाग की आवश्यकता है, जबकि मैं इसके लिए नहीं कह रहा हूं और बस चाहता हूं सबग्राफ के पास निरंतर डिग्री है।) एक आखिरी बात: क्या आप जानते हैं कि इस खुली समस्या के बारे में कुछ भी ज्ञात है लेकिन ट्रेविद के बजाय पाथवे के लिए? एक बार फिर धन्यवाद!

— a3nm

@ a3nm आप क्यों हैरान हैं कि रैखिक त्रिभुज का प्रश्न खुला है? वर्तमान में हमारे पास treewidth के लिए एक निरंतर कारक सन्निकटन नहीं है। पाथवे के बारे में, अभी पथविद्या का लगभग एक ही रास्ता है, जो ट्रेवडिथ और पथप्रदर्शन के बीच संबंध के माध्यम से पता चलता है

t w (G) \leq p w (G) \leq O (\log n) t w (G)

$tw(G) \le pw(G) \le O(\log n) tw(G)$ । ट्रेविद स्पार्सिफिकेशन के माध्यम से किसी को भी पाथफुल स्पार्सिफिकेशन मिल सकता है लेकिन हम लॉग एन फैक्टर खो देते हैं। यह अच्छा होगा यदि यह केवल लॉग पीडब्ल्यू (जी) कारक था, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि यह कैसे करना है या क्या यह ज्ञात है।

— चन्द्र चकुरी

रैखिक थ्राइविड की स्थिति के बारे में आपके स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद, और साथ ही साथ प्रसार प्रसार स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद। आपने जिस अंतिम चीज का उल्लेख किया है, वह उस तरह के परिणाम हैं जिनकी हमें आवश्यकता होगी; बहुत बुरा है कि सवाल अभी भी खुला है। किसी भी मामले में, आपके स्पष्टीकरण के लिए फिर से बहुत बहुत धन्यवाद!

— a3nm