एलपी का न्यूनतम अधिकतम समाधान

रैखिक प्रोग्रामिंग, ज़ाहिर है, आजकल बहुत अच्छी तरह से समझी गई है। हमारे पास बहुत सारे काम हैं जो व्यवहार्य समाधान की संरचना, और इष्टतम समाधान की संरचना की विशेषता है। हमारे पास मजबूत द्वैत, पॉली-टाइम एल्गोरिदम, आदि हैं।

लेकिन एलपी के न्यूनतम अधिकतम समाधान के बारे में क्या जाना जाता है ? या, समतुल्य, अधिकतम न्यूनतम समाधान?

(यह वास्तव में एक शोध प्रश्न नहीं है, लेकिन शायद हमारे पास छुट्टियों के लिए कुछ कम तकनीकी हो सकता है। मैं अभी उत्सुक हूं, और कुछ गुगली के बाद मुझे यह महसूस हुआ कि मुझे सही कीवर्ड याद आ रहे हैं। यह एक स्पष्ट जैसा लगता है। अध्ययन करने के लिए समस्या है, लेकिन मुझे केवल कुछ छिटपुट पेपर मिले हैं जो समस्या का उल्लेख करते हैं।)

चीजों को सरल रखने के लिए, चलो पैकिंग और एलपी को कवर करने पर ध्यान केंद्रित करें । एक में पैकिंग एल.पी. हम एक दिया जाता है गैर नकारात्मक मैट्रिक्स । एक वेक्टर है संभव है, तो और । हम कहते हैं कि है अधिक से अधिक है, तो यह संभव है और हम लालच से किसी भी घटक नहीं बढ़ा सकते हैं। यही है, यदि और , तो संभव नहीं है। और अंत में, एक न्यूनतम अधिकतम समाधान है, अगर यह उद्देश्य फ़ंक्शन कम करता है $A$ $x$ $x \ge 0$ $Ax \le 1$ $x$ $y \ge 0$ $y \ne 0$ $x + y$ $x$ $\sum_i x_i$ सभी अधिकतम समाधानों के बीच।

(आप एक अनुरूप एल.पी. के अधिकतम न्यूनतम समाधान को एक अनुरूप तरीके से परिभाषित कर सकते हैं ।)

न्यूनतम अधिकतम समाधानों का स्थान कैसा दिखता है? हम ऐसे समाधान कैसे पा सकते हैं? ऐसे समाधान खोजना कितना मुश्किल है? हम ऐसे समाधानों का अनुमान कैसे लगा सकते हैं? कौन इस तरह की चीजों का अध्ययन करता है, और इसके लिए सही शब्द क्या है?

ये सवाल मूल रूप से एज डॉमिनेटिंग सेट और न्यूनतम अधिकतम मिलान से प्रेरित थे । यह सर्वविदित है (और देखने में काफी आसान है) कि एक न्यूनतम अधिकतम मिलान एक न्यूनतम बढ़त वाला सेट है; इसके विपरीत, एक न्यूनतम बढ़त वाले सेट को देखते हुए, न्यूनतम अधिकतम मिलान का निर्माण करना आसान है।

तो वे हैं, संक्षेप में, वही समस्या। दोनों समस्याएं एनपी-हार्ड और एपीएक्स-हार्ड हैं। एक तुच्छ 2-सन्निकटन एल्गोरिथ्म है: कोई भी अधिकतम मेल खाता है।

हालांकि, उनके "प्राकृतिक" एलपी आराम बहुत अलग दिखते हैं। यदि आप एज डोमिंग सेट की समस्या लेते हैं और प्राकृतिक एलपी छूट बनाते हैं, तो आपको एक कवरिंग एलपी मिलता है। हालांकि, यदि आप एक न्यूनतम अधिकतम मिलान की समस्या को लेते हैं और एलपी छूट के साथ आने की कोशिश करते हैं, तो आपको क्या मिलता है? खैर, निश्चित रूप से आंशिक मैचिंग एक पैकिंग एलपी के संभव समाधान हैं; तब मैक्सिमल फ्रैक्शनल मैचिंग ऐसे एलपी के मैक्सिमम सॉल्यूशंस होते हैं, और मिनिमम मैक्सिमल फ्रैक्शनल मैचिंग ऐसे एलपी के मिनिमम मैक्सिमम सोल्यूशंस होते हैं। :)

— जुक्का सुओमेला
स्रोत

"हम किसी भी घटक को लालच नहीं बढ़ा सकते हैं" के रूप में मैक्सिमम की आपकी परिभाषा नैश इक्विलिब्रियम की तरह लगती है। क्या यहां गेम थ्योरी से कोई छिपा हुआ संबंध है?

— डेरिक स्टोले

यह मामला है कि हर अधिक से अधिक समाधान के लिए नहीं है

एल.पी. उदाहरण पैकिंग में,

?। तो अनिवार्य रूप से हम एक न्यूनतम (में तलाश कर रहे हैं

-norm) रेखीय समीकरण प्रणाली के समाधान।

x^{'}

$x'$

A x^{'} = 1

$Ax'=1$

L_{\infty}

$L_{\infty}$

— इमरान रऊफ

@ इमरान: नहीं, मुझे नहीं लगता कि यह सही है। एक अधिकतम समाधान (और एक अधिकतम समाधान) हमेशा मौजूद होता है, भले ही हमारे पास

समाधान न हो ।

A x = 1

$Ax = 1$

— जूका सूमेला

क्या आप टोंटी रैखिक कार्यक्रमों से परिचित हैं , जिसमें न्यूनतम उद्देश्य उद्देश्य फ़ंक्शन में है?

— माइक स्पाइवे

जवाबों:

अधिकतमता और न्यूनतमता: वे परेटो इष्टतमता के प्रकार हैं।
जटिलता: मुझे लगता है कि न्यूनतम अधिकतम समाधान एनपी-हार्ड है। मैं द्विपदीय रेखांकन में स्वतंत्रता वर्चस्व की समस्या (उर्फ न्यूनतम अधिकतम स्वतंत्र सेट समस्या) को कम करूंगा। यह समस्या (अधिक सटीक रूप से इसका निर्णय संस्करण) एनपी-पूर्ण (DG Corneil and Y. Perl, क्लस्टरिंग और सही ग्राफ में वर्चस्व के लिए जाना जाता है। असतत अनुप्रयुक्त गणित 9 (1984) 27-39)। चूँकि एक द्विदलीय ग्राफ परिपूर्ण होता है, इसके स्वतंत्र सेट बहुवचन को विषमताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है, और द्विदलीय ग्राफ में गुच्छों की संख्या बहुपद होती है। इसलिए, हम स्पष्ट रूप से स्वतंत्र सेट पॉलीटॉप के लिए रैखिक असमानताओं एक्स <= 1, x> = 0 की एक प्रणाली लिख सकते हैं। चरम समाधान स्वतंत्र सेट के अनुरूप हैं, और चरम अधिकतम समाधान अधिकतम स्वतंत्र सेट के अनुरूप हैं।

— योशियो ओकामोटो
स्रोत

आपको पॉलीहेड्रा के जोड़े को अवरुद्ध करने और विरोधी अवरुद्ध करने के लिए उपयोगी लग सकता है । कहते हैं कि आपको पैकिंग की समस्या है। तब आपका व्यवहार्य क्षेत्र नॉनगेटिव ऑर्थेंट में एक कोने वाला पॉलीहेड्रॉन है, और इसका एंटी-ब्लॉकर (एक कॉर्नर पॉलीहेड्रॉन) मूल रूप से को परिभाषित करने वाली असमानताओं का समूह है । $P$ $A(P)$ $P$

उदाहरण के लिए, यदि आप कुछ ग्राफ लिए स्थिर सेट पॉलीटॉप लेते हैं (यानी स्थिर सेट के घटना वैक्टर के उत्तल पतवार), तो इसका विरोधी अवरोधक , यानी का आंशिक क्लिंट पॉलीटोप है। (यानी गैर नकारात्मक weightings के सेट ऐसा है कि कोई स्थिर सेट कुल वजन है )। $STAB(G)$ $G$ $G$ $QSTAB(\bar G)$ $> 1$

$P$ $A(P)$

अफसोस की बात है कि मुझे इस सामान की पारदर्शी व्याख्या करने में कठिन समय मिला है, लेकिन मैं किसी भी तरह से पॉलीहेड्रा का विशेषज्ञ नहीं हूं। उम्मीद है कि आप इसे हाथ में समस्या के लिए प्रासंगिक पाएंगे।

— एंड्रयू डी। राजा
स्रोत