राम्से के प्रमेय के विस्तार: मोनोक्रोमैटिक लेकिन विविध

Question

मेरे पिछले प्रश्न के फॉलो-अप के रूप में , जिसे Hsien-Chih Chang द्वारा हल किया गया था, यहाँ रैमसे के प्रमेय का एक उपयुक्त सामान्यीकरण खोजने का एक और प्रयास किया गया है। (आपको पिछले प्रश्न को पढ़ने की आवश्यकता नहीं है; यह पोस्ट स्व-निहित है।)

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पैरामीटर: पूर्णांक $1 \ll d \ll k \ll n$ दिए गए हैं, और फिर $N$पर्याप्त रूप से बड़ा होने के लिए चुना जाता है। शब्दावली: ए$m$-Subset आकार का एक सबसेट है $m$।

चलो $B = \{1,2,...,N\}$। प्रत्येक के लिए$k$-सबसेट $S \subset B$, एक रंग असाइन करें $f(S) \in \{0,1\}$।

परिभाषाएं:

• $X \subset B$है एक रंग है, तो$f(S) = f(S')$ सबके लिए $k$-subsets $S \subset X$ तथा $S' \subset X$।
• $X \subset B$है विविध अगर$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$ ऐसा है कि $x_i < x_{i+1}$ तथा $x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$सभी के लिए ।$i$

उदाहरण के लिए, यदि $d = 10$ , तो $\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$ विविध है, लेकिन $\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$ नहीं है। ध्यान दें कि एक विविध सेट का सबसेट आवश्यक रूप से विविध नहीं है।

अब रैमसे की प्रमेय कहती है कि हम चाहे कोई भी च चुनें $f$, एक मोनोक्रोमेटिक $n$ -subset X \ सब्सेट B है$X \subset B$ । और स्पष्ट रूप से यह एक विविध $n$ -subset X \ सब्सेट B खोजने के लिए तुच्छ है $X \subset B$।

प्रश्न: क्या हमेशा एक विविध और एक प्रकार का प्राकृतिक $n$ -ububset $X \subset B$ ?

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संपादित करें: Hsien-Chih चांग दिखाता है कि दावा एक प्रमुख लिए गलत है , लेकिन समग्र बारे में क्या ? अपने अनुप्रयोगों में, मुझे के सटीक मूल्यों को चुनने में बहुत अधिक स्वतंत्रता होगी , जब तक कि मैं उन्हें मनमाने ढंग से बड़ा बना सकता हूं। वे primes, अभाज्य संख्याओं के उत्पाद, या दावे को सच करने के लिए जो भी आवश्यक हो, की शक्तियाँ हो सकती हैं।$d$$d$$d \ll k \ll n$

Answer 1

पहले मुझे कहना होगा: यह समस्या वास्तव में दिलचस्प है !! और यहां मैं संक्षेप में वर्णन करता हूं कि मेरे पिछले दृष्टिकोण विफल क्यों हुए, जैसा कि इस मेटा पोस्ट में गलत उत्तरों के बारे में सुझाया गया है।

• मेरा पहला प्रयास k-subset के sumset से संबंधित एक रंग निर्माण की कोशिश कर रहा था जो सभी n-subset को गैर-मोनोक्रोमैटिक बनाता है। लेम्मा 1 अभी भी उपलब्ध है; लेकिन लेम्मा 2 गलत था, यह देखते हुए कि यदि k और d संबंधित प्राइम हैं, तो द्वारा सुझाए गए मॉड्यूल d में एक n-subset एक काउंटर-उदाहरण है।$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• दूसरी कोशिश प्रमेय का प्रमाण थी; विविध और मोनोक्रोमैटिक एसबसेट्स के अनुपात की गिनती करके, हम आशा करते हैं कि मोनोक्रोमेटिक लोगों की संख्या गैर-विविध लोगों से अधिक होगी। लेकिन मेरी गणना में एक त्रुटि है, @domotorp द्वारा मनाया गया: गैर-विविध होने का अनुपात शून्य तक नहीं पहुंचेगा; यह लगभग में परिवर्तित होता है , जो से स्पष्ट रूप से बड़ा है ।$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• तीसरा एक पहले तरीके पर वापस जाता है, और यह दर्शाता है कि uber-weak पैरामीटर सेट ( और ) के लिए, प्रमेय गलत है। हमने एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स में एक प्रसिद्ध लेम्मा का उपयोग किया: ईजीजेड-प्रमेय।$n > k+d-1$$d \mid k$

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चौथी कोशिश @domotorp द्वारा उत्तर के कारण है ; यह चतुर और प्रेरक दोनों है, और मैं सभी मापदंडों से निपटने के लिए उनके प्रमाण को संशोधित करने का प्रयास करूंगा। लेकिन अभी भी उनकी विधि सुरुचिपूर्ण है, और मैं इस सरल दृष्टिकोण की पूरी तरह से सराहना करता हूं।

एक विविध n- सेट में कम से कम साथ कम से कम "मॉड क्लासेस के बीच स्विच" होता है; ठीक है, एक विविध n- सेट हो, और , एक स्विच परिभाषित किया जाता है अगर और अलग-अलग d में हो कक्षाएं। हमारे पास लिए k-1 स्विच हैं ।$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

यदि के -सब्सेट में लाल है, तो -2 स्विच में है; अन्यथा यह नीला है । पिछले पैराग्राफ से हमारे पास पहले से ही एक नीला था, अब हम यह साबित करते हैं कि , किसी भी n- सेट में लाल है । चूंकि , एक ही mod-d वर्ग में दो संख्याएँ हैं और ; और के बाद से , वहाँ कम से कम कश्मीर -2 तत्वों पर हैं में के साथ या । और हम साथ k-subset निर्माण कर सकते हैं$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$ बगल में , जो केवल के -२ बार स्विच करता है। इस प्रकार एक लाल k-subset है।$x_j$$S$

Comments

मैंने चक्रीय समूहों पर सामान्यीकृत EHC में साहित्य के अनुरोध के लिए MO पर एक प्रश्न प्रस्तुत किया ।

— Hsien-Chih चांग

धन्यवाद, यह ज्ञानवर्धक था, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि अगर यह दिखाने के लिए बढ़ाया जा सकता है कि दावा समग्र लिए गलत है । उदाहरण के लिए, यदि और विषम है, तो एक विविध में ऐसे तत्व शामिल हो सकते हैं जो वैकल्पिक रूप से या mod , और -subset शून्य mod ? $d$$d = 4$$k$$X$$1$$3$$d$$k$$d$

— जुका सूमेला

वास्तविक समस्या के बारे में: यह सब फॉर्म के बयानों को साबित करने से संबंधित है "कोई नियतात्मक वितरित एल्गोरिथ्म नहीं है जो इस ग्राफ समस्या को कई संचार दौरों से कम में हल करता है"। रामसे सिद्धांत को कई मामलों में सफलतापूर्वक लागू किया गया है; उदाहरण देखें व्याख्यान 4 यहाँ । लेकिन कभी-कभी मुझे "मात्र" मोनोक्रोमैटिक उपसमुच्चय से अधिक मजबूत कुछ चाहिए। यह एक लंबी कहानी है, और इस बिंदु पर सब कुछ शर्मनाक रूप से अस्पष्ट है, लेकिन अगर यह कुछ ठोस होता है, तो मैं निश्चित रूप से यहां एक विस्तृत विवरण लिखूंगा!

— जुल्का सुमेला

@ जुक्का: कृपया अपने विचारों को साझा करने के लिए धन्यवाद, मुझे आशा है कि आप जल्द ही कुछ अच्छा लेकर आएंगे! इस मामले के लिए जब घ समग्र होता है, मुझे उन्हें संभालने के लिए कुछ विचार मिले, लेकिन यह अभी भी थोड़ा गड़बड़ है, मैं उन्हें लिखने से पहले कुछ और घंटों के लिए सोचूंगा, अगर विचार अलग नहीं होते हैं। ..

— ह्सियन-चीह चांग। '15

@ जुक्का: मुझे अपने सबूत में एक अजीब गलती मिली। Lemma 3 में, को से छोटा नहीं माना जाना चाहिए, इस प्रकार से छोटा है ? अन्यथा सभी का अलग होना असंभव है । मैं गलती को ठीक करने की कोशिश करूंगा। लेकिन वर्तमान में प्रमाण टूट गया है ...$k$$|X|$$d$$x_i$

— Hsien-Chih Chang 之 '

Answer 2

मैंने आपके प्रश्न को गलत समझा हो सकता है, लेकिन यदि नहीं, तो मुझे लगता है कि यह गलत है। के-सेट को रंग दें, जिसके सदस्य लाल रंग के सभी डी मोडुलो डी हैं, दूसरे के-सेट नीले रंग के हैं। यदि n> kd, तो किसी भी n-set में एक k-set होना चाहिए, जिसके सदस्य सभी अनुरूप मोडुलो d हैं और इस प्रकार लाल हैं। दूसरी ओर, यदि के-सेट में एक विविध एन-सेट के दो लगातार तत्व होते हैं, तो यह नीला है।

Comments

यह चतुर है! और हमें वास्तव में की आवश्यकता है। आपका उत्तर लगभग सभी मामलों को नियमबद्ध करता है ... अब केवल संभावनाएं , जो बहुत अधिक नहीं हैं। $n > (k-1)d$$n \leq (k-1)d$

— Hsien-Chih चांग 張顯