सेट के संग्रह के लिए रैमसे का प्रमेय

Question

वितरित एल्गोरिदम के लिए कम सीमा साबित करने की विभिन्न तकनीकों की खोज करते समय, यह मेरे लिए हुआ कि रैमसे के प्रमेय के निम्नलिखित प्रकार के अनुप्रयोग हो सकते हैं - अगर यह सच होता है।

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पैरामीटर: $k$ , $K$ , $n$ दिए गए हैं, और फिर $N$ को पर्याप्त रूप से बड़ा होने के लिए चुना गया है। शब्दावली: एक $m$ -subset आकार का सबसेट है $m$।

• Let $A = \{1,2,...,N\}$ ।
• चलो $B$ सभी से मिलकर $k$ की -subsets $A$ ।
• चलो $C$ सब से मिलकर $K$ की -subsets $B$ ।
• एक रंग निरुपित $f\colon C \to \{0,1\}$ के $C$ ।

अब रैमसे की प्रमेय (hypergraph संस्करण) का कहना है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कैसे चुनें कि $f$ , वहाँ एक है एक रंग $n$ -subset $B'$ के $B$ : सभी $K$ की -subsets $B'$ एक ही रंग की है।

मैं एक कदम आगे जाने के लिए और एक एक रंग प्राप्त करना चाहते हैं $n$ -subset $A'$ की $A$ : यदि $B' \subset B$ सभी के होते हैं $k$ की -subsets $A'$ है, तो सब $K$ के -subsets $B'$ एक ही रंग की है।

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यह सही है या गलत? इसका कोई नाम है? क्या आपको कोई संदर्भ पता है?

यदि यह कुछ तुच्छ कारणों से गलत है, तो क्या एक कमजोर संस्करण है जो इस दावे से मिलता जुलता है?

Comments

नहीं एक जवाब है, लेकिन मामले में एक त्वरित संदर्भ यह मदद करता है: यह थोड़ा से संबंधित लगता है डिजाइन समस्या है, जहां आप चाहते हैं (और प्राप्त कर सकते हैं) का एक छोटा सा संग्रह -covering रों की -subsets n जिसमें n , r < s < n के लिए सभी r -subsets । $(r,s,n)$$s$$n$$r$$n$$r < s < n$

— लेव Reyzin

अब एक अनुवर्ती प्रश्न है: cstheory.stackexchange.com/questions/3795

— जुका सुकोमेला

Answer 1

यह देखा कि प्रश्न केवल गैर-तुच्छ है जब k, K दोनों 1 से बड़ा हो; केस k = 1 या K = 1 के लिए, यह सिर्फ सामान्य रैमसे प्रमेय है, जो सभी n के लिए सही है। इसके अलावा, हम केवल मामले से निपटने के लिए है > कश्मीर, अन्यथा प्रमेय सच के बाद से वहाँ है अधिकतम एक बार बी के -subset 'एक n सबसेट एक द्वारा निर्मित' ए का।${n \choose k}$${n \choose k}$

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पहले हम सिद्ध करते हैं कि प्रमेय सभी k> 1, K> 1 के लिए गलत है, और कोई भी n संतुष्ट > K> ।${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

किसी भी बड़े N और A = [N] के लिए एक प्रति-रचना का निर्माण करने के लिए, हमें एक रंग फ़ंक्शन का निर्माण करना होगा, जैसे कि A के सभी n- उप-वर्ग A के लिए, यदि B 'में A के सभी k-सबसेट होते हैं। कुछ K- सबसेट के B 'के अलग-अलग रंग हैं। यहाँ हम निम्नलिखित अवलोकन है:

अवलोकन 1. उन शर्तों के तहत जो k, K> 1 और > K> , B का कोई भी K- उपसमूह सबसे अधिक B 'द्वारा निर्मित सबसे उपसमुच्चय है। n- उपसमूह A 'A का।${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

अवलोकन को हाइपरग्राफ के रूप में प्रदर्शित करके आसानी से देखा जा सकता है। मान लीजिए कि ग्राफ G का नोड्स है, A का n-subset A ', G। B का पूर्ण n- सबग्राफ का नोड सेट है, जो पूर्ण उपसमूह में k-hyperedges का सेट है (एक 2-हाइपरेज है) सामान्य किनारा), और B 'के K- उपसमूह कुल संयोजन हैं (वहाँ कुल, जहाँ | B '| = ) k k-hyperedges । अवलोकन में कहा गया है: G में हाइपरडेज का कोई K-tuple अधिकतम एक पूर्ण n-सबग्राफ पर है, जो किसी भी दो पूर्ण के बाद से > K> लिए स्पष्ट है। n-subgraphs अधिकांश n-1 नोड्स पर प्रतिच्छेद करता है, सबसे अधिक हाइपरगेज के साथ।$({|B'| \atop K})$${n \choose k}$${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$$({n-1 \atop k})$

तब हम अलग-अलग रंगों को K-subsets C 'के भीतर n-सब्मिट A' द्वारा निर्मित कर सकते हैं, क्योंकि C 'में कोई भी तत्व n- सबसेट द्वारा निर्मित B' 'के' K 'के अन्य उप के रूप में नहीं होगा। ए''। A के किसी भी n-subset द्वारा निर्मित B के किसी भी K- सबसेट के लिए, हम उस पर यादृच्छिक रंग नहीं देते हैं। अब हमारे पास एक रंग फ़ंक्शन है, जिसमें ऐसी संपत्ति है कि कोई बी 'ए के एन-सबसेट द्वारा निर्मित नहीं है, मोनोक्रोमैटिक है, यानी बी के के-सबसेट के कुछ अलग-अलग रंग हैं।

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आगे हम दिखाते हैं कि प्रमेय सभी k> 1, K> 1 के लिए भी गलत है, और कोई भी n > संतुष्ट करता है । यहाँ केवल अंतर n को चुना जा सकता है, ताकि K> सच नहीं है। लेकिन एक और सरल अवलोकन द्वारा:${n \choose k}$$({n-1 \atop k})$

अवलोकन 2. यदि A के n-subset A 'द्वारा निर्मित कुछ B' मोनोक्रोमैटिक है, तो n '<n के लिए A' के n '-subset A' 'द्वारा निर्मित प्रत्येक B' 'भी मोनोक्रोमैटिक है।

इसलिए हम मान सकते हैं कि प्रमेय बड़े n पर रखता है, दूसरा अवलोकन लागू करता है, और पहले मामले से विरोधाभास का समापन करता है, n 'संतुष्टी > K> ; ऐसे n 'को इस तथ्य से मौजूद होना चाहिए कि > K और K> , n' को n और k + 1 के बीच में होना चाहिए।$({n' \atop k})$$({n'-1 \atop k})$$({n \atop k})$$({k \atop k})$

Comments

महान, इस तरह के एक सरल प्रतिधारण, बहुत धन्यवाद! मुझे आश्चर्य है कि अगर आपके विचार को मनमाने ढंग से तक बढ़ाया जा सकता है । उदाहरण के लिए, क्या यह आवश्यक रूप से गलत है कि अगर या ? $k, K$$1 \ll k \ll K$$1 \ll K \ll k$

— जुका सुकोमेला

हां, यह लगभग सभी मामलों के लिए भी गलत है। मैं उत्तर संपादित करूँगा।

— ह्इस-चिह चांग 張顯