एक विरल ग्राफ में 5-चक्र को कुशलता से खोजना।

(MathOverflow से क्रॉसपोस्ट किया गया)

नमस्ते,

मैं इस सूत्र को पढ़ रहा था: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

मैं एक ग्राफ में 5-चक्र ढूंढना चाहता हूं। वास्तव में, जो मैं वास्तव में चाहता हूं वह कम से कम 5 की लंबाई का सबसे छोटा विषम चक्र है, लेकिन शायद वह बिंदु के बगल में थोड़ा सा है। अपने उद्देश्यों के लिए, मैं जटिलता विश्लेषण में और का इलाज करता हूं । $m$ $n$

क्या हम इस मामले में 5-चक्र खोजने के लिए रंग कोडिंग से बेहतर कर सकते हैं? मुझे अपने प्रश्न का एक विशिष्ट सूत्रीकरण करने दें:

न्यूनतम ऐसा क्या है जिसमें लंबाई 5 के चक्र का पता लगाने के लिए -टाइम एल्गोरिथ्म है? एल्गोरिथ्म क्या है? और यह क्या है यदि आप Coppersmith-Winograd फास्ट मैट्रिक्स गुणन जैसे अव्यवहारिक तरीकों को मना करते हैं? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— एंड्रयू डी। राजा
स्रोत

क्रॉसपोस्ट से मो।

— सीन-चिह चांग।

क्या आपके रेखांकन में विरल होने के अलावा कोई विशेष संरचना है? (उदाहरण के लिए, निम्न अध: पतन के रूप में।)

— रॉबिन कोठारी

नहीं, आप चाहें तो ग्राफ को शैतानी कर सकते हैं। असल में मैं भी परवाह नहीं है अगर ग्राफ विरल है: मैं एक लाइन ग्राफ पर विचार कर रहा हूँ

, और उसके अंतर्निहित ग्राफ

ऐसी है कि

(हम मान सकते हैं

सरल है)। कारण मैं इलाज

और

वही मुझे पता है

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$ और मैं जटिलता का विश्लेषण करना चाहता हूँ

और

, लेकिन मैं कुछ भी नहीं कह सकता कि कैसे

तुलना

।

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— एंड्रयू डी। राजा

स्पष्ट होने के लिए, आपको कोई आपत्ति नहीं है यदि चक्र में दोहराए जाने वाले चक्र शामिल हैं, सही है?

— user834

मैं दोहराए जाने की अनुमति नहीं देता, लेकिन 5-चक्र के लिए यह कोई फर्क नहीं पड़ता क्योंकि मुझे लगता है कि ग्राफ सरल है और इसलिए 2-चक्र नहीं है।

— एंड्रयू डी। राजा

जवाबों:

मिहाई के जवाब में जोड़ने के लिए:

दरअसल, 5-चक्र (और सामान्य में चक्र) विरल रेखांकन में बहुत तेजी से हल किया जा सकता समय उच्च डिग्री / कम डिग्री चाल का उपयोग कर। आपको केवल एलोन, यस्टर और ज़्विक के एक और पेपर को देखने की आवश्यकता है: $k$ $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

उदाहरण के लिए, 5 गुणा -चक्र समय में पाया जा सकता है , मैट्रिक्स गुणन पर किसी भी निर्भरता के बिना। उपरोक्त लिंक किए गए पेपर का प्रमेय 3.4 देखें। $O(m^{1.67})$

इसके अलावा, जबकि बूलियन मैट्रिक्स गुणन (लगातार कारक ओवरहेड के साथ) 5-चक्र का पता लगाना कम करना मुश्किल नहीं है, विपरीत दिशा में कमी रंग-कोडिंग पेपर में प्रकट नहीं होती है। बूलियन मैट्रिक्स गुणा से 5-चक्र का पता लगाने के लिए एक तंग कमी (जो रनटाइम जटिलता को संरक्षित करता है) ज्ञात नहीं है।

— रेयान विलियम्स
स्रोत

घने मामला अनिवार्य रूप से रंग कोडिंग द्वारा बूलियन मैट्रिक्स गुणा के बराबर है। Http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf देखें ।

विरल रेखांकन के लिए, [B] के कारण के साथ एक एल्गोरिथ्म है । मोनियन, कुशलता से लंबे रास्तों को कैसे खोजें, एन। असतत मठ।, 25 (1985), पीपी। 239-254]। मुझे संदेह है कि उच्च-डिग्री / कम-डिग्री ट्रिक्स से कुछ बेहतर हो सकता है। $O(mn)$

— मिहाई
स्रोत

धन्यवाद! मैं मोनिन पेपर पर एक नज़र डालूंगा, जब मुझे इसकी पहुँच मिल सकेगी।

— एंड्रयू डी। राजा