क्या मध्य के बहिष्कृत कानून का मतलब मार्टिन-लोफ की डायनामिक टाइप थ्योरी में Axiom K है?

Question

इसलिए मैं सोच रहा था कि यदि बहिष्कृत मध्य (LEM) कानून का तात्पर्य मार्टिन-लोफ के डायनामिक टाइप थ्योरी में तथाकथित Axiom K से है। Axiom K में कहा गया है कि वास्तव में, मैं और अधिक सामान्य कथन को साबित करने की कोशिश कर रहा हूं कि लेकिन to to को कम करने के बाद समानता-प्रेरण द्वारा मैं पहली समस्या में फंस गया हूं। मैंने भी विरोधाभास से आगे बढ़ने की कोशिश की, लेकिन यह काम नहीं करता है ..Π एक : टी वाई पी ई Π एक्स , वाई : एक Π पी , क्यू : ईद ( एक्स , y ) , Id ( p , q )

$$\Pi_{A : Type} \Pi_{x : A} \Pi_{p : \text{Id}(x,x)}, \text{Id}(p,\text{refl}_x)$$ $$\Pi_{A : Type} \Pi_{x, y : A} \Pi_{p,q : \text{Id}(x,y)}, \text{Id}(p,q)$$ $q$$\text{refl}_x$

क्या यह सब साबित हो सकता है?

Answer 1

हां, LEM का अर्थ है के। HTberg की प्रमेय के रूप में जाना जाने वाला HoTT पुस्तक प्रमेय 7.2.5 देखें , जो दर्शाता है कि निर्णायक समानता वाला कोई भी प्रकार स्वयंसिद्ध संतुष्ट करता है । यदि हम बीच को छोड़कर मान लेते हैं, तो सभी प्रकार की निर्णायक समानता है।$K$

आपके दूसरे सिद्धांत को यूआईपी या विशिष्ट पहचान के प्रमाण के रूप में जाना जाता है। यह Axiom K के समतुल्य है, Theorem 7.2.1 को HoTT पुस्तक में देखें (बस एक पृष्ठ द्वारा 7.2.5 से स्क्रॉल करें)। थॉमस स्ट्रीचर और मार्टिन हॉफमैन के एक प्रसिद्ध परिणाम द्वारा इनमें से किसी को भी मार्टिन-लोफ के आयामी प्रकार के सिद्धांत में प्राप्त नहीं किया जा सकता है ।

Comments

मैं एलन शमित के सुरुचिपूर्ण प्रमाण का उल्लेख करने का यह अवसर लूंगा, जो स्पष्ट रूप से प्रमुख घटक को उजागर करता है: क्षमता, एक समानता प्रमाण, एक विहित का उत्पादन करने के लिए।

— दीर्घा

हालांकि, यह भी ध्यान देने योग्य है कि, जैसा कि HoTT बुक में भी बताया गया है, "LEM" का एक कमजोर रूप है जो K को नहीं दर्शाता है और यकीनन LEM द्वारा गणितज्ञों का अर्थ है, अर्थात् LEM, सबसेंटल प्रकारों तक सीमित है।

— माइक शुलमैन