क्या पीपीएडी वास्तव में एक और असंतुलित शीर्ष खोजने की धारणा पर कब्जा करता है?

जटिलता वर्ग पीपीएडी का आविष्कार क्राइस्टोस पापादिमित्रिउ ने 1994 के अपने पत्र में किया था । वर्ग को खोज समस्याओं की जटिलता को पकड़ने के लिए डिज़ाइन किया गया है, जहां एक समाधान के अस्तित्व की गारंटी "निर्देशित ग्राफ़ में समानता तर्क" द्वारा की गई है: यदि एक निर्देशित ग्राफ में असंतुलित कगार है, तो एक और मौजूद होना चाहिए। लेकिन आम तौर पर वर्ग औपचारिक रूप से करने के मामले में परिभाषित किया गया है $\mathsf{ANOTHER\ END\ OF\ THE\ LINE}$ ( $\mathsf{AEOL}$ ) समस्या है, जहां तर्क केवल दोनों in- साथ रेखांकन और outdegrees लिए आवेदन किया है $\le 1$ । मेरा प्रश्न है: ये धारणाएँ बराबर क्यों हैं?

इस बिंदु तक यह इस प्रश्न का एक डुप्लिकेट है । अब मैं समस्या को औपचारिक रूप से बताना चाहता हूं और स्पष्ट करना चाहता हूं कि मैं वहां के जवाब से संतुष्ट क्यों नहीं हूं।

खोजें समस्या $\mathsf{ANOTHER\ UNBALANCED\ VERTEX}$ ( $\mathsf{AUV}$ ): हम दिया जाता है दो बहुपद आकार सर्किट $S$ और $P$ कि मिल $x\in\{0,1\}^n$ और में अन्य तत्वों की बहुपद सूची को लौटाएं $\{0,1\}^n$ । ये सर्किट एक निर्देशित ग्राफ को परिभाषित करते हैं $G=(V,E)$ जहां $V=\{0,1\}^n$ और $(x,y)\in E\Leftrightarrow (y\in S(x)\land x\in P(y))$ । खोज समस्या निम्नलिखित है: दिए गए $S$ , $P$ और $z\in V$ ऐसी है कि $indegree(z)\ne outdegree(z)$ , एक ही संपत्ति के साथ एक और शिखर पाते हैं।

खोज समस्या $\mathsf{AEOL}$ : समान, लेकिन $S$ और $P$ दोनों एक खाली सूची या एक तत्व है।

कमी है की धारणा (रिकी के सुझाव के अनुसार सही): कुल खोज समस्या कुल खोज समस्या को कम करने योग्य है बहुपद कार्यों के माध्यम से और अगर के लिए एक समाधान है समस्या में का मतलब है के लिए एक समाधान समस्या में । $A$ $B$ $f$ $g$ $y$ $f(x)$ $B$ $g(x,y)$ $x$ $A$

औपचारिक प्रश्न : को क्यों कहा जाता है ? या क्या हमें reducibility की एक और धारणा का उपयोग करना चाहिए? $\mathsf{AUV}$ $\mathsf{AEOL}$

क्रिस्टोस पापादिमित्रिउ पीपीए के बारे में अनुरूप प्रमेय सिद्ध करता है (सिद्धांत 1, पृष्ठ 505) लेकिन तर्क पीपीएडी के लिए काम नहीं करता है । कारण यह है कि डिग्री संतुलन के साथ एक शीर्ष है में परिवर्तित हो जाएगा डिग्री संतुलन के साथ कोने । फिर लिए एल्गोरिथ्म इनमें से एक कोने को प्राप्त कर सकता है और दूसरे को वापस कर सकता है। यह लिए एक नया शीर्ष नहीं होगा । $\pm k$ $k$ $\pm1$ $\mathsf{AEOL}$ $\mathsf{AUV}$

चीजें बदतर होती जा रही हैं क्योंकि में हमेशा असंतुलित संख्याओं की एक समान संख्या होती है लेकिन में उनमें से एक विषम संख्या हो सकती है। यही कारण है कि कोई भी इन दो सेटों के बीच एक आक्षेप नहीं बना सकता है और हमेशा बराबर नहीं हो सकता है । तो तो हम को सुलझाने के लिए एक विधि प्राप्त कुछ उदाहरणों के लिए कम से कम बहुपद समय में। यदि और पर निर्भर नहीं करता है $\mathsf{AEOL}$ $\mathsf{AUV}$ $g$ $f^{-1}$ $g(x,f(x))\ne x$ $\mathsf{AUV}$ $g$ $x$ के लिए तो के लिए एक जवाब के रूप लौटाया जा सकता है । यह लिए एक समाधान नहीं देगा। $g(y_1)=g(y_2)$ $y_1\ne y_2$ $y_2$ $y_1$ $\mathsf{AUV}$

अंतिम प्रश्न : क्या उपरोक्त सूचीबद्ध बाधाओं को किसी तरह दूर किया जा सकता है? क्या कोई पर निर्भरता को नियोजित कर सकता है ? $g$ $x$

— डेनियल मुसाटोव
स्रोत

"ये धारणाएँ बराबर क्यों हैं?" क्रिस्टोस पापादिमित्रीउ द्वारा पृष्ठ 505 पर प्रमेय 1 के प्रमाण में दिए गए कारणों के लिए। (अन्यथा, आपको क्या लगता है कि AUV की समग्रता के लिए एक समानता तर्क है?) Reducibility की आपकी परिभाषा बहुत मजबूत लगती है - उदाहरण के लिए, आपकी परिभाषा के तहत, समाधान के सेट का विस्तार करना कुल खोज समस्या को सख्ती से कठिन बना सकता है।

+1 और -1 में समान समानता है। (वह समता "विषम" है।)

$\hspace{3.09 in}$ दायें वाले का अर्थ है "

"के बजाय" iff

g(x,y) $g(x,\hspace{-0.03 in}y)$

"।g(y) $g(\hspace{.04 in}y)$

अब, हमारे पास क्या है, मैं इसे UnbalancedInOtherDirectionVertex कहूंगा, यह समस्या PPADS को कम कर देती है , क्योंकि यदि किनारों को फ्लिप किया जा सकता है, तो दिए गए शीर्ष पर डिग्री से अधिक डिग्री और फिर

कुल -dgree-1 कोने दिए गए वर्टेक्स में तब्दील हो जाते हैं, सभी सिंक के बजाय स्रोत होंगे। मैं अपनी समस्या से AEOL जाने का कोई समान तरीका नहीं देखता। k $k$

कम से कम कमी से पता चलता है कि एयूवी अपने मामले के बराबर है जहां सभी वर्टिक्स में 1 से कम में जेडग्रेट्री और आउटडेग्री हैं, सिवाय संभवतः दिए गए वर्टीकल जेड के लिए, जिसमें इंडिग्री 0 है, लेकिन बड़े आउटडेग्री हो सकते हैं।

— एमिल जेकाब

मैंने अभी फ्रेडरिक मूनियर से सुना है कि उन्होंने पांच साल पहले भी इस समस्या को देखा था और पापादिमित्रियो ने सहमति व्यक्त की थी।

— डोमपोटर

जवाबों:

समस्याओं को समतुल्य साबित किया गया है (और इस प्रकार PPAD- पूर्ण), देखें बालों की गेंद की समस्या में धारा 8 पॉल डब्ल्यू गोल्डबर्ग और अलेक्जेंड्रो हॉलेंडर द्वारा PPAD-Complete है ।

— domotorp
स्रोत

धन्यवाद। ऐसा लगता है कि सबूत एक ही लेखकों द्वारा एक पहले तकनीकी रिपोर्ट में प्रकाशित हुई: समाप्ति की लाइन समस्या की बहु स्रोत प्रकार की जटिलता, और संक्षिप्त विकृत बिसात

— Daniil Musatov

यह एक दिलचस्प सवाल है, और मैं केवल एक आंशिक उत्तर दे सकता हूं।

यह देखना आसान है कि निर्माण पी पर है। पापादिमित्रिउ के पेपर का 505 इसके विशेष मामले के साथ AUV की समानता को दर्शाता है

मैन ऑफ द लाइन (MEOL): अधिक से अधिक (ऊपर के रूप में सर्किट द्वारा दर्शाया गया) में डिग्री और आउट-डिग्री के साथ एक निर्देशित ग्राफ को देखते हुए , और के स्रोतों के एक गैर-रिक्त सेट , एक सिंक या एक स्रोत । $G$ $1$ $X$ $G$ $v\notin X$

एक ओर, मुझे ऐसे ग्राफ़ के रूपांतरण की कल्पना करना मुश्किल है जो एक से अधिक स्रोतों को कम कर सके।

हालांकि, दूसरे हाथ पर, MEOL सभी सामान्य रूप से अध्ययन किया कक्षाओं युक्त के अंतर्गत आता है PPAD संभवतः छोड़कर PPAD ही:

सबसे पहले, जाहिर है,

MEOL में है PPADS ।

मैं एक तर्क के नीचे स्केच करूंगा

MEOL में है पीपीए

मानक पीपीए में कमी से- अपूर्ण समस्या ( AEOL का अप्रत्यक्ष संस्करण )। मान लें कि हमें और को MEOL की परिभाषा में दिया गया है। $G=(V,E)$ $X$

अगर अजीब है, हम बस ग्राफ को अप्रत्यक्ष बना सकते हैं, से सभी मिलान पर एक शीर्ष को शामिल कर सकते हैं (जैसा कि पी। 505 पर तर्क में है), और परिणाम को से पीपीए ऑरेकल तक शेष स्रोत के साथ पास करें । $|X|$ $X$ $X$

सामान्य तौर पर, , और के सबसे बड़े बिजली होना कि विभाजित । हम एक नए ग्राफ परिभाषित जिसका कोने हैं के तत्व सबसेट । यदि इस तरह के सेट हैं, हम किनारे डाल में अगर हम के रूप में सेट करके बताना कर सकते हैं $s=|X|$ $2^k$ $2$ $s$ $G'=(V',E')$ $2^k$ $V$ $A,B\in V'$ $(A,B)$ $E'$ , इस तरह से कि में प्रत्येक के लिए । $A=\{a_0,\dots,a_{2^k-1}\}$ $B=\{b_0,\dots,b_{2^k-1}\}$ $(a_i,b_i)\in E$ $i<2^k$

जाहिर है, में डिग्री और बाहर डिग्री अधिक से अधिक के साथ एक निर्देशित ग्राफ है । एक एक स्रोत (सिंक) iff यह का एक स्रोत (सिंक, resp।) शामिल है । (यही कारण है कि अगर यह दोनों शामिल है, यह एक अलग शिखर है, है।) तो, किसी भी तरह के शिखर का एक समाधान करने के लिए नेतृत्व करेंगे MEOL , उदाहरण के लिए जब तक एक "ज्ञात स्रोत" है: जो है, । हम ग्राफ़ को अप्रत्यक्ष बनाने का इरादा रखते हैं, और इसमें हेरफेर करते हैं ताकि ज्ञात स्रोतों की संख्या तक कम हो जाए जिसमें शेष लोगों पर मिलान शामिल हो। $G'$ $1$ $A\in V'$ $G$ $A$ $A\cap X\ne\varnothing$ $1$

इसलिए, यदि ज्ञात स्रोत है, तो है, जो संतुष्ट । यदि , तो बस । इस तरह के सेट की संख्या है $A$ $t=|A\cap X|$ $0<t\le2^k$ $t=2^k=|A|$ $A\subseteq X$ । स्मरण करो किमेंअभाज्यकी बहुलता $\binom{s}{2^k}$ $p$ संख्या के अलावा किया जाता है के बराबर होती हैआधार में प्रदर्शन। के चुनाव तक, यह इस प्रकार है कि $\binom ab$ $b+(a-b)=a$ $p$ $k$ विषम है। इसके अलावा,बीच बहुपद-काल के अनुमान हैं $\binom{s}{2^k}$ , औरसेमेंट सब्सक्रिप्शन। इसका उपयोग करते हुए, हमके-element सबसेट में सेएक पर बहुपद-काल मिलान को परिभाषित कर सकते हैं। हम इसे ग्राफ में शामिल करते हैं, जिससे ज्ञात स्रोतों की संख्यासे। $[0,\binom ab)$ $b$ $[0,a)$ $2^k$ $X$ $t=2^k$ $1$

के लिए , कैरी-गिनती सूत्र से पता चलता है कि $0<t<2^k$ सम है। फिर, हम-element सबसेटपर एक स्पष्ट मिलान पा सकते हैं। हम इसे ज्ञात स्रोतोंसाथबढ़ाते हैंकरने के लिए मिलान लगाने से, और छोड़ने केतय की। $\binom st$ $t$ $X$ $A$ $|A\cap X|=t$ $A\cap X$ $A\smallsetminus X$

इस तरह, हम एक ज्ञात पत्ती शीर्ष के साथ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का उत्पादन करते हैं। हम एक और पत्ती के लिए पीपीए ऑरेकल पूछते हैं , और निर्माण से, हम इसे MEOL उदाहरण के लिए एक उत्तर से निकाल सकते हैं ।

संक्षेप में पापादिमित्रिउ से उल्लेख किया है, हम सामान्यीकरण कर सकते हैं पीपीए वर्गों के लिए पीपीए - किसी भी प्रधानमंत्री के लिए । PPA - पूर्ण समस्या का एक उदाहरण है $p$ $p$ $p$

AUV - : एक निर्देशित ग्राफ और एक वर्टेक्स जिसका डिग्री बैलेंस है, को देखते हुए $p$ $G$ , इस तरह के एक और शीर्ष खोजें। ${}\not\equiv0\pmod p$

( इस उत्तर को AUV - की समानता के लिए Papadimitriou की PPA की परिभाषा के साथ देखें - ) $p$ $p$

PPA - सिर्फ PPA है । कक्षाएं पीपीए - जोड़ो में अतुलनीय है, और साथ अतुलनीय माना जाता है PPADS । उन सभी में PPAD शामिल है । $2$ $p$

मैं ऊपर उल्लिखित तर्क में बारे में कुछ विशेष नहीं था , और इसे आसानी से उपज के लिए संशोधित किया जा सकता है $p=2$

MEOL में है पीपीए - हर प्रधानमंत्री के लिए । $p$ $p$

— एमिल जेकाब
स्रोत

मुझे उत्तर बहुत पसंद है और मैंने इसे स्वीकार कर लिया है (निश्चित रूप से, अधिक पूर्ण उत्तर अभी भी स्वागत है)। मुझे केवल यही लगता है कि AUV -

द्वारा प्रदर्शित वर्ग को PPAD -

कहा जाना चाहिए । Papadimitriou अप्रत्यक्ष द्विदलीय रेखांकन और बस डिग्री के बारे में लिखता है, संतुलन नहीं। $p$

$p$

— डेनियल मुसाटोव

कक्षाएं

लिए पीपीए नहीं, पीपीए के सामान्यीकरण हैं । Papadimitriou AUV-

तुलना में एक अलग पूर्ण समस्या देता है (ध्यान दें कि उसके रेखांकन द्विदलीय हैं), लेकिन यह मेरी परिभाषा के बराबर है। पूरी नामकरण योजना बहुत भ्रामक है; एक विशेष वर्ग के लिए निर्देशित बनाम अप्रत्यक्ष रेखांकन का उपयोग सिर्फ एक दुर्घटना है, कई वर्गों को निर्देशित और अप्रत्यक्ष दोनों ग्राफ़ों के विषय में पूरी समस्याएँ हैं (जैसा कि पीपीए-

के मामले में )। इसके अलावा, उनके नाम के बावजूद, अधिकांश वर्ग समानता के तर्कों पर आधारित नहीं हैं , लेकिन अन्य मत सिद्धांत हैं। केवल PPA समानता के बारे में है। $p=2$

$p$

— एमिल जेकाब

धन्यवाद, मिल गया। यह वास्तव में एक ही वर्ग है। मैंने एक अटकल सुनी है कि पापादिमित्रिउ ने पीपीएडी नाम इसलिए चुना है क्योंकि यह अपने उपनाम से मिलता जुलता है।

— डेनियल मुस्तोव

क्या आपके पास पीपीएपी पीपीए-पी में होने का संदर्भ है?

— डोमटॉर्प

एक स्पष्ट नहीं है, लेकिन उदाहरण के लिए, PPAD- पूर्ण समस्या को परिभाषित करना वास्तव में AUV-

का एक विशेष मामला है । $p$

— एमिल जेकाबेक