PPAD की ये दो परिभाषाएँ क्यों समान हैं?

Question

जटिलता वर्ग पीपीएडी को आमतौर पर यह कहते हुए परिभाषित किया जाता है कि एंड-ऑफ-द-लाइन पीपीएडी-पूर्ण है।

एंड-ऑफ-द-लाइन एक खोज समस्या है। इनपुट एक निर्देशित ग्राफ, जिसमें प्रत्येक नोड है में डिग्री और बाहर डिग्री सबसे 1. पर ग्राफ एक बहुपद समय गणनीय समारोह द्वारा दिया जाता है के होते हैं कि रिटर्न पूर्ववर्ती और उत्तराधिकारी की एक्स । इसके अलावा, एक उत्तराधिकारी के साथ एक नोड वी दिया जाता है लेकिन कोई पूर्ववर्ती नहीं है। एक नोड का पता लगाएं टी ≠ वी कोई उत्तराधिकारी या कोई पूर्ववर्ती है।$f(x)$$x$$v$$t\ne v$

हाल ही में, मैंने PPAD की एक अलग परिभाषा सुनी। जहाँ तक मुझे याद है, यह निम्नलिखित समस्या पर आधारित था।

एक निर्देशित ग्राफ (फिर से एक बहुपद-समय कम्प्यूटेबल फ़ंक्शन द्वारा निर्दिष्ट) और एक नोड जिसका डिग्री के बराबर नहीं है, इसकी आउट-डिग्री दी गई है। इस संपत्ति के साथ एक और नोड खोजें।

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स्पष्ट रूप से, एंड-द-लाइन बाद की समस्या का एक विशेष मामला है लेकिन क्या बाद की समस्या को हल करना अधिक कठिन है? मेरा सवाल यह है:

क्या दोनों समस्याएं समान जटिलता वर्ग पीपीएडी के लिए पूरी हैं? यदि हाँ, तो क्यों? यदि नहीं, तो दूसरी समस्या के परिणामस्वरूप जटिलता वर्ग क्या है?

Answer 1

उद्धृत पेपर के साथ मुद्दों के लिए, (और इसलिए यह उत्तर) देखें कि क्या PPAD वास्तव में एक और असंतुलित कगार खोजने की धारणा को पकड़ता है?

हाँ। ये दो समस्याएं समतुल्य हैं और इसलिए पीपीएडी-पूर्ण हैं। यह कमी पापडिमित्रिउ के मूल 1994 के पेपर ( पीडीएफ ) के पेज 505 पर दी गई है, जिसमें एंड ऑफ द लाइन की शुरुआत की गई है । यदि ग्राफ़ की डिग्री घातीय है, तो भी यह मान्य है, बशर्ते कि हमें "एज-रिकॉग्निशन एल्गोरिथ्म" और "पेयरिंग फंक्शन" दिया जाए। यह भी उसी पृष्ठ पर उल्लेख किया गया है। कमी पीपीए (पीपीएडी के अप्रत्यक्ष संस्करण) के लिए दी गई है। इसे PPAD तक भी बढ़ाया जा सकता है।

Comments

पीपीएडी को तर्क देने में मुझे परेशानी होती है। मूल प्रमाण में एक ही पुराने शीर्ष के किनारों के जोड़ों को मिलाकर नए सिरे का उत्पादन किया जाता है। पीपीएडी के लिए आने वाले और बाहर के किनारों को संयोजित करना स्वाभाविक लगता है। लेकिन फिर यह गारंटी नहीं है कि प्रत्येक असंतुलित पुराना शीर्ष केवल एक असंतुलित नया शीर्ष बनाता है। और अगर उनमें से कई हैं तो नए ग्राफ में एक खोज उसी पुराने शीर्ष द्वारा उत्पादित एक और नया शीर्ष वापस कर सकती है। यह मूल समस्या के लिए एक उत्तर नहीं देता है। इस मुसीबत को कोई कैसे दूर कर सकता है?

— डेनियल मुस्तोव