क्या कोलमोगोरोव जटिलता की सत्य तालिकाओं की जटिलता को विषमता से जाना जाता है?

Question

चलो $HALT_n$ लंबाई की स्ट्रिंग को निरूपित करें $2^n$ लंबाई के इनपुट के लिए पड़ाव समस्या की सत्य तालिका के अनुरूप $n$।

यदि कोलमोगोरोव जटिलताओं का क्रम $K(HALT_n)$ थे $O(1)$, तो सलाह तार में से एक का उपयोग अक्सर असीम रूप से किया जाएगा, और उस स्ट्रिंग के साथ एक टीएम हार्ड-कोडित हल करने में सक्षम होगा $HALT$ समान रूप से अक्सर, जो हमें पता है कि मामला नहीं है।

विकर्ण तर्क का एक करीबी निरीक्षण वास्तव में यह दर्शाता है $K(HALT_n)$ कम से कम है $n - \omega (1)$, इसलिए तुच्छ ऊपरी सीमा के साथ, हमारे पास है:

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq 2^n + O(1)$

इस निचले बाउंड को फोर्टवे और संथानम के `` नॉन-यूनिफ़ॉर्म कॉम्प्लेक्सिटीज़ फ़ॉर यूनिफ़ॉर्म कॉम्प्लेक्सिटीज़ क्लासेस 'के हालिया पेपर के इंट्रो में नोट किया गया है , और वे इसे लोकगीतों का श्रेय देते हैं। असल में, अगर सलाह स्ट्रिंग इनपुट लंबाई से कम है, तो हम अभी भी सलाह की मात्रा के साथ मशीनों के खिलाफ विकर्ण कर सकते हैं।

(संपादित करें: वास्तव में, कागज के पहले संस्करण में उन्होंने इसे लोकगीत के लिए जिम्मेदार ठहराया था, मुझे लगता है कि अब वे सिर्फ यह कहते हैं कि यह हार्टमैनिस और स्टर्न्स का एक रूपांतर है।)

दरअसल, उस पेपर में वे टाइम-पदानुक्रम प्रमेयों से संबंधित हैं, और वे एक संसाधन से संबंधित चीजों के सापेक्ष राज्य करते हैं $t$अप्रतिबंधित कोलमोगोरोव जटिलता के बजाय समय कदम। लेकिन, अप्रतिबंधित मामले में `` लोकगीत '' परिणाम का प्रमाण समान है।

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सलाह कम सीमा के बारे में वे एक कारण यह है कि यह `कम कठोरता बनाम यादृच्छिकता 'प्रतिमान में सर्किट कम सीमा और व्युत्पत्ति से जुड़ा है। उदाहरण के लिए, यदि विहित समस्या समय में हल करती है$2^n$ सत्य सारणी है जिसमें सलाह की आवश्यकता होती है $2^{\epsilon n}$ समय में गणना करने के लिए $2^{\epsilon n}$, तो उन सत्य तालिकाओं में आकार के सर्किट नहीं होते हैं $2^{\epsilon n}$ या तो $P = BPP$ इम्पेग्लियाज़ो और विगडरसन के एक मनाया परिणाम के द्वारा।

बारे में पूछना $K(HALT_n)$इसके बजाय ऐसा कोई भी एप्लिकेशन afaik नहीं है, लेकिन इसे हल करना आसान हो सकता है। यह कहना भी आसान है, समयबद्ध पैरामीटर पर किसी निर्भरता का अभाव - यह एक स्वाभाविक समस्या है जिसका पहले से ही अध्ययन किया जा सकता है।

क्या कोई बेहतर निचले या ऊपरी सीमा पर हैं $K(HALT_n)$'`लोकगीत' 'परिणाम के अलावा जाना जाता है? या तो निचले या ऊपरी सीमा के ऊपर तंग है?

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नोट: हॉल्टिंग की समस्या की सर्किट जटिलता के बारे में एक और अच्छी पोस्ट है, जिसे एमिल जेरेबेक द्वारा दिए गए एक तर्क द्वारा लगभग अधिकतम देखा जा सकता है: /mathpro/115275/non-uniform-complexity के--हॉल्टिंग-समस्या

मूल रूप से, यह एक चाल का उपयोग करता है जहां हम (यादृच्छिक अभिगम के साथ) वर्ग के भीतर (बड़े) सर्किट जटिलता के शाब्दिक पहले सत्य तालिका की गणना कर सकते हैं $E^{NP^{NP}}$। और हम इस गणना को रुकने की समस्या को कम कर सकते हैं, और इस कमी में कम सर्किट जटिलता है। इसलिए,$HALT$ बड़ी सर्किट जटिलता होनी चाहिए - यदि ऐसा नहीं होता तो इस फ़ंक्शन में कम जटिलता भी होती।

हालांकि यह संबंधित लगता है, मुझे नहीं लगता कि यह तर्क कुछ भी देता है $K(HALT_n)$। (यह हो सकता है कि समयबद्ध कोलमोगोरोव की जटिलता$HALT$सर्किट जटिलता से बंधे होने के कारण बड़ी है, लेकिन जब समय पर प्रतिबंध में ढील दी जाती है, तो नाटकीयता से जटिलता कम हो जाती है।) मुझे लगता है कि एनालॉग तर्क से पता चलता है कि, अगर हम हॉल्टिंग समस्या के लिए एक ओरेकल होते, तो हम रैंडम-एक्सेस प्राप्त कर सकते थे। लेक्सिकोग्राफिक रूप से पहले अयोग्य स्ट्रिंग के लिए प्रश्न। लेकिन, हमें अनुकूली प्रश्नों की एक श्रृंखला बनानी चाहिए, और इसे सीधे घटाया नहीं जा सकता है$HALT$जहाँ तक मुझे पता है। साथ ही, क्वेरी स्ट्रिंग्स को बहुत बड़ी afaik होना चाहिए, इसलिए यह केवल वही दिखाते हुए समाप्त होता है$HALT_{2^n}$ कम से कम जटिलता है $2^n$ afaict, और यह `` लोकगीत 'तर्क को हरा नहीं करता है।

Kolmogorov जटिलता में मेरी पृष्ठभूमि दुर्भाग्य से कमजोर है, है $K(HALT_n)$पहले से ही किसी अन्य तर्क से जाना जाता है? शायद सूचना की समरूपता का उपयोग कर एक चाल है?

या, वहाँ एक बेहतर ऊपरी बाध्य है जो मैंने याद किया है?

एक चीज जो अजीब लग सकती है, वह है, वापस स्विच करना $DTIME$सेटिंग, हम केवल एक सलाह कम बाध्य होने की उम्मीद करते हैं जब हम भोले एल्गोरिदम के नीचे समय कम करते हैं। जब आपके पास भोली एल्गोरिथ्म को चलाने के लिए पर्याप्त समय है, तो जाहिर है कि यह संकुचित है। के मामले में$K(HALT_n)$, कोई समय सीमा नहीं है, इसलिए शायद हमारे पास `` वही '' समय की राशि है जो प्रतिकूल के रूप में है, और इसे अधिकतम रूप से अक्षम होने की उम्मीद नहीं करनी चाहिए। फिर भी, विकृतीकरण अप्रतिबंधित सेटिंग में भी काम करता है - ऐसा लगता है कि किसी भी मशीन के लिए, एक मशीन होती है जो उस मशीन के समान काम करती है और फिर कुछ और करती है, इसलिए हमेशा कोई ऐसा व्यक्ति होता है जिसके पास आपके लिए अधिक समय होता है। तो शायद विरोधी हमेशा हमेशा की तुलना में हमारे लिए अधिक समय है ...

Answer 1

हम्म, पता चला कि वास्तव में एक मिलान ऊपरी सीमा है जो बहुत कठिन नहीं है:

सत्य सारणी का निर्माण करने के लिए $HALT_n$ समय की एक सीमित मात्रा में, केवल जानकारी की आवश्यकता होती है जो कि विवरण लंबाई की मशीनों की संख्या सबसे अधिक है $n$कौन सा पड़ाव। यह संख्या इससे अधिक नहीं है$2^{n}$, इसलिए इसके बारे में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $n$बिट्स। फिर हम ऐसी सभी मशीनों को समानांतर में शुरू कर सकते हैं और उन्हें तब तक चला सकते हैं जब तक कि उनमें से बहुत से पड़ाव नहीं हो जाते, और शेष को रुकने के लिए नहीं जाना जाता है।

इसलिए, मुझे लगता है कि लोकगीत का तर्क यहाँ तंग है। हमारे पास है

$n - \omega(1) \leq K(HALT_n) \leq n + O(1)$

तथा $K(HALT_n)$ केवल additive तक अच्छी तरह से परिभाषित है $O(1)$ वैसे भी, यूनिवर्सल ट्यूरिंग मशीन की हमारी पसंद पर निर्भर करता है।

NB: एक प्यारा बोनस के रूप में, यह सबूत दिखाता है कि $n$-अधिकतम लंबाई में विवरण लंबाई की मशीनों की संख्या के अनुरूप स्ट्रिंग $n$ कौन सा पड़ाव एक अचूक स्ट्रिंग है - अगर यह संकुचित था, तो यहां ऊपरी सीमा तंग होगी, निचली सीमा के विपरीत।