एनपी और वर्गमूल जटिलता में यूक्लिडियन टीएसपी

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ओला स्वेन्सन द्वारा इस व्याख्यान नोट्स में: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf , यह कहा जाता है कि हम नहीं जानते कि क्या यूक्लिडियन टीएसपी एनपी में है:

इसका कारण यह है कि हम यह नहीं जानते कि वर्गमूलों की कुशलता से गणना कैसे करें।

दूसरी ओर Papadimitriou द्वारा यह पत्र है: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 यह कह रहा है कि यह एनपी-पूर्ण है, जिसका अर्थ यह भी है कि यह एनपी में है। यद्यपि वह इसे कागज में साबित नहीं करता है, मुझे लगता है कि वह एनपी तुच्छ में सदस्यता पर विचार करता है, जैसा कि आमतौर पर ऐसी समस्याओं के साथ होता है।

मैं इससे भ्रमित हूं। ईमानदारी से, यह दावा कि हम नहीं जानते कि यूक्लिडियन टीएसपी एनपी में है, तो मुझे झटका लगा, क्योंकि मैंने अभी यह माना है कि यह तुच्छ है - टीएसपी टूर को एक सर्टिफिकेट के रूप में लेना, हम आसानी से जांच सकते हैं कि यह वैध टूर है। लेकिन समस्या यह है कि कुछ वर्गमूल हो सकते हैं। इसलिए व्याख्यान नोट्स मूल रूप से दावा करते हैं कि हम बहुपद समय में निम्नलिखित समस्या को हल नहीं कर सकते हैं:

यह देखते हुए तर्कसंगत संख्या में निर्णय लें कि । $q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$ $\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

प्रश्न 1: हम इस समस्या के बारे में क्या जानते हैं?

यह निम्नलिखित सरलीकरण को दर्शाता है, जिसे मैं खोजने में असमर्थ था:

प्रश्न 2: क्या यह विशेषांक के मामले में ? क्या यह विशेष मामला बहुपद-समय विलेय है? $n=1$

कुछ समय तक इसके बारे में सोचते हुए, मैं इस पर आया। हम इनपुट के बिट्स की संख्या के संबंध में बहुपद समय की जटिलता चाहते हैं, अर्थात, संख्याओं का आकार स्वयं नहीं। हम आसानी से दशमलव अंकों की बहुपद संख्या के योग निकाल सकते हैं। एक बुरा मामला पाने के लिए, हमें लिए जैसे प्रत्येक बहुपद के लिए एक उदाहरण की आवश्यकता है। , वहाँ एक पूर्णांक मौजूद है जैसे कि और पहले अंकों पर सहमत होते हैं दशमलव विस्तार। $q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$ $k=1,2,\ldots$ $p$ $k$ $\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$ $A_k$ $p(\text{input-size})$

प्रश्न 3: क्या इस तरह के एक उदाहरण संख्यात्मक है?

लेकिन क्या है? यह उस तरीके पर निर्भर करता है जिस तरह से तर्कसंगत संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जाता है! अब मैं इस बारे में उत्सुक हूं: $\text{input-size}$

प्रश्न 4: क्या तर्कसंगत रूप से महत्वपूर्ण है यदि तर्कसंगत संख्या को दो पूर्णांक (जैसे ) के अनुपात या दशमलव विस्तार में दिया जाता है (जैसे )? दूसरे शब्दों में, क्या परिमेय संख्याओं का एक परिवार है जैसे कि दशमलव विस्तार का आकार बहुपद के अनुपात अनुपात के आकार या अन्य तरीके से घिरा हुआ नहीं है? $24/13$ $2.5334\overline{567}$

np tsp computing-over-reals

— JS_
स्रोत

लिए आपको बिट्स को सटीक करने की आवश्यकता है, फिर दिए गए को साथ बाइनरी में गुणा करें और न्यूटन के पुनरावृत्ति cstheory.stackexfhange.com/questions/9706/… पर लागू करें ।

2

$2$

b

$b$

q_{1}

$q_1$

1 \underset{b length}{\underset{⏟}{00 \dots 00}}

$1\underbrace{00\dots00}_{b\mbox{ length }}$

— टी ....

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Q1। यह एक कुख्यात खुली समस्या है। यह [ABKM] के कारण, गिनती के पदानुक्रम के चौथे स्तर में जाना जाता है । एनपी में होने के लिए ज्ञात नहीं है। समस्या वास्तव में वर्गमूलों की गणना करने में नहीं है जैसा कि व्याख्यान नोट्स में दावा किया गया है: पूर्णांक के वर्गमूल की बिट्स को बहुपद और पूर्णांक के बिट्स में समय पर गणना की जा सकती है । समस्या यह है, बल्कि, पूर्णांकों के वर्गमूलों का योग वास्तव में अभिन्न होने के बिना, पूर्णांक तक प्राप्त कर सकता है। $n$ $n$

Q2। मामले पाठ्यक्रम आसान की है। यह , जो बहुपद समय में है, क्योंकि एक परिमेय संख्या बहुपद काल में होती है। $n=1$ $q \le A^2$

Q3। इस पृष्ठ के अनुसार , सबसे अच्छा यह ज्ञात है कि पूर्णांक , सभी के बीच और , जैसे हैं । यह संभावित रूप से कठिन समस्या के लिए गणना की जाने वाली बिट्स की संख्या पर की एक निचली सीमा है जो नकारात्मक गुणांक की अनुमति देता है। बिट्स की संख्या पर सबसे अच्छी ऊपरी सीमा में घातीय है । $a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$ $1$ $n$ $| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$ $\Omega(2k\log n)$ $k$

Q4। मुझे लगता है कि दशमलव प्रतिनिधित्व काफी अक्षम हो सकता है। अवधि की लंबाई 10 modulo हर का गुणात्मक क्रम है, जो हर के बिट्स की संख्या में घातीय हो सकता है।

— साशो निकोलोव
स्रोत

तो एक समस्या पीटीएएस हो सकती है जबकि इसका निर्णय संस्करण में ज्ञात नहीं है ?

N P

$\mathsf{NP}$

— लैमिने

@ निश्चित रूप से, दूसरे के साथ क्या करना है?

— साशो निकोलेव

3

आप ने लिखा:

दूसरी ओर Papadimitriou द्वारा यह पत्र है: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 यह कह रहा है कि यह एनपी-पूर्ण है, जिसका अर्थ यह भी है कि यह एनपी में है। यद्यपि वह इसे कागज में साबित नहीं करता है, मुझे लगता है कि वह एनपी तुच्छ में सदस्यता पर विचार करता है, जैसा कि आमतौर पर ऐसी समस्याओं के साथ होता है।

आप इस तरह के बकवास दावे पोस्ट करने के बजाय केवल कागज क्यों नहीं पढ़ते हैं? पृष्ठ 239 पर, पापादिमित्रिउ ने इन मुद्दों पर सावधानीपूर्वक चर्चा की और अपने सबूत के लिए यूक्लिडियन मीट्रिक के अंतर्निहित संस्करण को परिभाषित किया।

— Gamow
स्रोत

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मुझे लगता है कि यह एक उत्तर की तुलना में एक टिप्पणी के रूप में बेहतर है, जब तक कि आप कुछ विवरण प्रदान नहीं करते हैं कि कैसे पापादिमित्रीओ वर्ग समस्या की समस्या से बचा जाता है।

— साशो निकोलोव