नियमित भाषा और निरंतर संचार जटिलता

Question

चलो $L \subseteq A^*$ एक भाषा हो, और परिभाषित करें $f_L\colon A^* \times A^* \to \{0, 1\}$ द्वारा $f_L(x, y) = 1$ iff $x\cdot y \in L$। मैं इसके लिए एक संदर्भ खोज रहा हूं:

प्रस्ताव। $L$ नियतात्मक संचार जटिलता के नियमित होने पर $f_L$ स्थिर है।

दूसरे शब्दों में, $L$ नियमित रूप से अगर वहाँ एक दो खिलाड़ी प्रोटोकॉल मौजूद है $P$ के लिये $f_L$ ऐसा है कि समारोह

$$n \mapsto \max\{\text{comm}(P, x, y) : |x\cdot y| = n\}$$ एक निरंतरता से घिरा होता है, जहां ऐलिस और बॉब द्वारा आदान-प्रदान किए जाने वाले बिट्स की संख्या है जब ऐलिस प्रोटोकॉल अनुसरण करते हुए और Bob प्राप्त करता है ।$\text{comm}(P, x, y)$$x$$y$$P$

एकमात्र जगह जो मुझे मिल सकती है, वह जोर्ज हौसर के पीएचडी थीसिस, 1989 में उपलब्ध है , जहां वह यह भी बताता है कि ऐलिस और बॉब के बीच इनपुट अन्य वितरणों के लिए सामान्य है , जैसे कि "कट" की संख्या निरंतर है।$x\cdot y$

Comments

एक भाषा लो कि नियमित रूप से नहीं है, और परिभाषित । तब में संचार जटिलता , लेकिन यह निश्चित रूप से नियमित नहीं है। मैं क्या खो रहा हूँ? $C$$L = \{c \circ r : c \in C, r \in \{0,1\}^{|c|} \}$$L$$O(1)$

— इगोर शिनकर

@IgorShinkar: मुझे यकीन नहीं है कि आपने जो लिखा है, मैं ठीक-ठीक मिलता हूं, लेकिन आप शास्त्रीय प्रमाण पर इशारा करते हुए कहते हैं कि हर भाषा में हर शब्द के साथ एक भाषा को निरंतर संचार जटिलता वाली भाषा में बदला जा सकता है। हालाँकि, यह मानता है कि एलिस और बॉब परीक्षण किए जा रहे शब्द का ठीक आधा हिस्सा प्राप्त करते हैं ; यहां, ऐसी कोई धारणा नहीं है, और, एक प्रतिकूल तरीके से, उन्हें इनपुट के किसी भी विभाजन को देखते हुए समस्या को हल करना चाहिए । क्या वह आपके सवाल का जवाब है?

— माइकल कैडिलैक

ओह मैं समझा। इसलिए यदि किसी विभाजन के लिए CC स्थिर है तो नियमित है। $L$

— इगोर शिनकर

Answer 1

के लिए , आप "संचार जटिलता", कंप्यूटर के क्षेत्र में अग्रिम में ईयाल Kushilevitz, खंड 44, 1997 (है http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065245808603423 )।$\Rightarrow$

आप जुराज हर्मकोविक की पुस्तक "कम्युनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी एंड पैरेलल कम्प्यूटिंग" में एक खंड "कम्युनिकेशन कॉम्प्लेक्सिटी एंड चॉम्स्की हायरार्की" भी पा सकते हैं, जहां यह सिद्ध है। यह हो सकता है कि पुस्तक में कहीं न कहीं भी सिद्ध हो लेकिन मैं इसे यहां खोजने में असफल रहा। निकटतम चीज़ जो लगती है वह है व्यायाम ५.२.५.२ लेकिन, यह केवल एक अभ्यास है (संपूर्ण अध्याय ५ भी देखें, जो परिमित ऑटोमोटन का बड़े पैमाने पर अध्ययन करता है, लेकिन मुझे नहीं लगता कि यह स्पष्ट रूप से आपके प्रश्न का उत्तर देता है)।$\Leftarrow$

इसके लायक होने के लिए, दोनों दिशाओं का प्रमाण आसान लगता है, इसलिए मुझे लगता है कि यदि आपको किसी पेपर में इसकी आवश्यकता है तो आप इसे जल्दी से स्केच कर सकते हैं: for , लिए एक परिमित लें और निरीक्षण करें कि यह ऐलिस के लिए पर्याप्त है। इनपुट के उसके हिस्से को पढ़ने के बाद वह जिस स्थिति में पहुंचती है। फिर बॉब ऑटोमेटा में अनुकरण समाप्त करता है। के लिए , यदि आप एक प्रोटोकॉल एक निरंतर से घिरा है, तो भागफल के एक परिमित संख्या है जो नियमित रूप से भाषाओं के एक प्रसिद्ध लक्षण वर्णन है ।$\Rightarrow$$L$$\Leftarrow$$L$$w^{-1}L = \{u : wu \in L\}$

Comments

आपके इनपुट के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। मैं सहमत हूं कि यह एक आसान परिणाम है, और उस पर एक स्वाभाविक है, और शायद लोककथाओं पर विचार किया जाना चाहिए। मुझे पता है कि आपके द्वारा दिए गए दो संदर्भ वास्तव में, और, जैसा आपने किया था, उस प्रोटोकॉल को नहीं पा सके, जिसका मैं ऊपर विचार कर रहा हूं। जैसा कि यह प्रश्न "संदर्भ-अनुरोध" है, मुझे डर है कि मैं इस बिंदु पर आपके उत्तर को स्वीकार नहीं कर सकता।

— माइकल कैडिलैक

मुझे पता है, लेकिन यह एक टिप्पणी के लिए बहुत लंबा था और मुझे लगता है कि यह अभी भी ध्यान देने योग्य है कि साहित्य में कम से कम एक तरीका स्पष्ट रूप से साबित होता है। मैं तुम्हें पता है अगर मैं सबूत पर ठोकर!

— होल्फ

बहुत ही सराहनीय! :-)

— मिशैल कैडिलैक