पीए और कुछ प्रकार के सिद्धांतों की सापेक्ष स्थिरता

एक प्रकार के सिद्धांत के लिए, स्थिरता से मेरा मतलब है कि इसका एक प्रकार है जो आबाद नहीं है। लैम्ब्डा क्यूब के मजबूत सामान्यीकरण से, यह इस प्रकार है कि सिस्टम और सिस्टम सुसंगत हैं। MLTT + आगमनात्मक प्रकार भी एक सामान्यीकरण प्रमाण है। हालांकि, इन सभी को पीए के एक मॉडल के निर्माण के लिए पर्याप्त शक्तिशाली होना चाहिए, जो साबित करता है कि पीए इन सिद्धांतों से सुसंगत है। प्रणाली है काफी शक्तिशाली इसलिए मैंने इसे एक मॉडल चर्च अंकों का उपयोग कर निर्माण कर पीए की स्थिरता साबित करने में सक्षम होने की उम्मीद। MLTT + IT में एक प्राकृतिक संख्या आगमनात्मक प्रकार है और इसमें स्थिरता भी साबित होनी चाहिए। $F$ $F_\omega$ $F$

इसका मतलब यह है कि इन सिद्धांतों के लिए सामान्यीकरण का प्रमाण पीए में आंतरिक नहीं किया जा सकता है। इसलिए:

क्या सिस्टम , सिस्टम एफ_ , और एमएलटीटी + आईटी वास्तव में पीए की स्थिरता साबित कर सकते हैं? $F$ $F_\omega$
यदि वे कर सकते हैं, तो सिस्टम , , और MLT + IT के लिए सामान्यीकरण साबित करने के लिए क्या मेटाटरी की आवश्यकता है ? $F$ $F_\omega$
क्या सामान्य प्रकार के सिद्धांतों के प्रमाण सिद्धांत के लिए एक अच्छा संदर्भ है, या विशेष रूप से इनमें से कुछ प्रकार के सिद्धांतों के लिए?

type-theory proof-theory

— fhyve
स्रोत

सिस्टम एफ में आपको अपने चर्च के अंकों के लिए एक इंडक्शन सिद्धांत नहीं मिलेगा ताकि वे समीकरणों से बाहर हो जाएं।

— गैलिस

आपके प्रश्न 1 का संक्षिप्त उत्तर नहीं है , लेकिन शायद सूक्ष्म कारणों से।

सबसे पहले, सिस्टम और अंकगणित के पहले-क्रम सिद्धांत को व्यक्त नहीं कर सकते हैं , और यहां तक कि की संगति भी कम है । $F$ $F_\omega$ $\mathrm{PA}$

दूसरे, और यह वास्तव में आश्चर्यजनक है, वास्तव में उन दोनों प्रणालियों की स्थिरता साबित कर सकता है! यह तथाकथित प्रूफ-अप्रासंगिक मॉडल का उपयोग करके किया जाता है , जो प्रकारों की व्याख्या करता है जैसे कि , जहां कुछ डमी तत्व एक गैर-खाली प्रकार के निवासी का प्रतिनिधित्व करता है। । फिर कोई सिस्टम लिए एक मॉडल प्राप्त करने के लिए आसानी से इस प्रकार के और के संचालन के लिए सरल नियम लिख सकता है , जिसमें type की व्याख्या द्वारा की जाती है । लिए एक समान काम कर सकता है $\mathrm{PA}$ $\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$ $\bullet$ $\rightarrow$ $\forall$ $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ $F_\omega$ , परिमित कार्यों के रिक्त स्थान के रूप में उच्च प्रकार की व्याख्या करने के लिए थोड़ी अधिक देखभाल का उपयोग करना।

यहां एक स्पष्ट विरोधाभास है, जहां इन प्रतीत होता है शक्तिशाली सिस्टम की स्थिरता साबित कर सकता है, लेकिन नहीं (जैसा कि मैं एक पल में दिखाऊंगा) सामान्यीकरण। $\mathrm{PA}$

यहां गायब होने वाला घटक वास्तविकता है । वास्तविकता कुछ कार्यक्रमों को निश्चित प्रस्तावों के अनुरूप बनाने का एक तरीका है, आमतौर पर अंकगणित में। मैं यहाँ विवरण में नहीं जाऊँगा, लेकिन यदि कोई प्रोग्राम एक प्रस्ताव , तो लिखा जाता है , तो हमारे पास लिए कुछ निश्चित साक्ष्य हैं , विशेष रूप से यदि सामान्य हो रहा है, तो । हमारे पास है: $p$ $\phi$ $p\Vdash \phi$ $\phi$ $p$ $p\not\Vdash\bot$

प्रमेय: यदि 2nd ऑर्डर अंकगणित प्रमेय है , तो सिस्टम का कुछ बंद टर्म है जैसे कि $\phi$ $\mathrm{PA}_2$ $t$ $F$
$t ⊩ ϕ$ $t\Vdash\phi$

यह प्रमेय में सिद्ध किया जा सकता है , और इसलिए हमारे पास और Gödel का तर्क लागू होता है (और सिस्टम सामान्यीकरण को साबित नहीं कर सकता है )। यह ध्यान रखना उपयोगी है कि रिवर्स निहितार्थ भी निहित है, इसलिए हमारे पास सिस्टम सामान्यीकरण को साबित करने के लिए आवश्यक सबूत-सिद्धांत-शक्ति का सटीक लक्षण वर्णन है । $\mathrm{PA}$

P A ⊢ F is normalizing \Rightarrow {P A}_{2} is consistent

$\mathrm{PA}\vdash F\mbox{ is normalizing}\Rightarrow\mbox{$\mathrm{PA}_2$ is consistent}$

P A

$\mathrm{PA}$

F

$F$

F

$F$

सिस्टम लिए एक समान कहानी है , जो, मेरा मानना है कि उच्च अंकगणित मेल खाती है । $F_\omega$ $\mathrm{PA}_\omega$

अंत में, हम आगमनात्मक प्रकार के साथ MLTT का मुश्किल मामला है। यहाँ फिर से कुछ सूक्ष्म मुद्दा उठता है। निश्चित रूप से यहाँ हम की स्थिरता को व्यक्त कर सकते हैं , ताकि कोई समस्या न हो, और कोई प्रमाण-अप्रासंगिक मॉडल न हो, क्योंकि हम यह साबित कर सकते हैं कि type में कम से कम 2 तत्व हैं (एक अलग-अलग तत्वों की अनंत राशि, वास्तव में)। $\mathrm{PA}$ $\mathrm{Nat}$

हालाँकि हम उच्च-क्रम अंतर्ज्ञान सिद्धांतों के एक आश्चर्यजनक तथ्य में भाग लेते हैं: , Heyting अंकगणित का उच्च-क्रम संस्करण पर रूढ़िवादी है ! विशेष रूप से, हम की स्थिरता साबित नहीं कर सकते , (जो कि बराबर है )। इसका एक सहज कारण यह है कि अंतर्ज्ञानवादी कार्य स्थान आपको मनमाने उपसमुच्चय की मात्रा निर्धारित करने की अनुमति नहीं देते हैं , क्योंकि सभी निश्चित कार्य को कम्प्यूटेशनल होने चाहिए। $\mathrm{HA}_\omega$ $\mathrm{HA}$ $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$ $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

विशेष रूप से, मुझे नहीं लगता कि आप की संगति साबित कर सकते हैं यदि आप बिना ब्रह्मांडों के MLTT में केवल प्राकृतिक संख्याएँ जोड़ते हैं। मेरा मानना है कि या तो ब्रह्मांड या "मजबूत" आगमनात्मक प्रकार (जैसे क्रमिक प्रकार) को जोड़ने से आपको पर्याप्त शक्ति मिलेगी, लेकिन मुझे डर है कि मेरे पास इसके लिए कोई संदर्भ नहीं है। ब्रह्मांडों के साथ, यह तर्क काफी सरल लगता है, क्योंकि आपके पास का एक मॉडल बनाने के लिए पर्याप्त सिद्धांत है । $\mathrm{PA}$ $\mathrm{HA}$

अंत में, टाइप सिस्टम के प्रूफ थ्योरी के संदर्भ: मुझे लगता है कि साहित्य में वास्तव में एक अंतर है, और मैं इन सभी विषयों का एक साफ इलाज करना चाहूंगा (वास्तव में, मैं इसे किसी दिन खुद लिखने का सपना देखता हूं!)। इस बीच में:

प्रूफ-अप्रासंगिक मॉडल को यहां मिकेल और वर्नर द्वारा समझाया गया है, हालांकि वे इसे पथरी के निर्माण के लिए करते हैं, जो कुछ मामलों को जटिल करता है।
रियलिज़ेबिलिटी का तर्क क्लासिक प्रूफ एंड टाइप ऑफ़ गिरार्ड, टेलर और लाफोंट में स्केच किया गया है । मुझे लगता है कि वे प्रूफ-अप्रासंगिक मॉडल, और इसके अलावा उपयोगी चीजों का एक बड़ा हिस्सा स्केच करते हैं। यह शायद पढ़ने का पहला संदर्भ है।
उच्च-क्रम हेइटिंग अंकगणित के रूढ़िवाद तर्क को त्रैलस्ट्रा एंड वैन डालेन ( यहां देखें ) द्वारा गणित में कंस्ट्रक्टिविज्म के मायावी दूसरे खंड में पाया जा सकता है । दोनों खंड बेहद जानकारीपूर्ण हैं, लेकिन नौसिखिए, आईएमएचओ के लिए पढ़ना काफी कठिन है। यह कुछ हद तक "आधुनिक" प्रकार के सिद्धांत विषयों से भी बचता है, जो किताबों की उम्र को देखते हुए आश्चर्यजनक है।

टिप्पणियों में एक अतिरिक्त सवाल MLTT + Inductives की सटीक स्थिरता शक्ति / सामान्यीकरण ताकत के बारे में था। मेरे पास यहां सटीक उत्तर नहीं है, लेकिन निश्चित रूप से उत्तर ब्रह्मांड की संख्या और आगमनात्मक परिवारों की प्रकृति पर निर्भर करता है। रथजेन ने उत्कृष्ट मार्टिन द स्ट्रेंथ ऑफ द कुछ मार्टिन-लोफ टाइप सिद्धांतों में इस प्रश्न की पड़ताल की ।

राइट सामान्यीकरण, मूल विचार यह है कि यदि, 2 सिद्धांतों और , हमारे पास $\cal{T}$ $\cal{U}$

P A ⊢ C o n (T) \Rightarrow C o n (U)

$\mathrm{PA}\vdash\mathrm{Con}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Con}(\cal{U})$

फिर, आम तौर पर

P A ⊢ 1- C o n (T) \Rightarrow N o r m (U)

$\mathrm{PA}\vdash \mbox{1-$\mathrm{Con}$}(\cal{T})\Rightarrow\mathrm{Norm}(\cal{U})$

जहां 1- है 1-स्थिरता और (कमजोर) सामान्य है। $\mathrm{Con}$ $\mathrm{Norm}$

MLTT + नेचुरल नंबर्स (और रिकर्सन) का प्रकार का एक रूढ़िवादी विस्तार है , जो कंस्ट्रक्टिव सेट थ्योरीज़ के लिए Besson Recursive मॉडल में सिद्ध होता है । $\mathrm{HA}_\omega$

जहाँ तक MLTT में इंडक्शन-रिकर्सन या इंडक्शन-इंडक्शन के साथ है, मुझे नहीं पता कि स्थिति क्या है, और AFAIK, सटीक स्थिरता शक्ति की समस्या अभी भी खुली है।

— कोड़ी
स्रोत

तो एक अर्थ में, सिस्टम एफ एक बहुत ही कमजोर सिद्धांत है, लेकिन इसमें यह जुझारू समस्या है जिसे साबित करने के लिए बहुत मजबूत सिद्धांत की आवश्यकता है? यदि ऐसा है, तो क्या इसके प्रमाण के सिद्धांत को ज्ञात नहीं किया जाना चाहिए, और से कम , उस प्रश्न का खंडन करना जो मैंने जोड़ा था?

ϵ_{0}

$\epsilon_0$

— नवमीं

और क्या इसे पढ़ना चाहिए "अगर सामान्य हो रहा है, तो ?

p

$p$

p ⊮ \emptyset

$p\not\Vdash\emptyset$

— fhyve

क्यों आप "में सभी कार्यों को कम्प्यूटेशनल होना चाहिए " से मतलब है ? निश्चित रूप से नहीं, सेट-सिद्धांत मॉडल पर विचार करें।

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— एंड्रेज बॉयर

@AndrejBauer निश्चित रूप से, सभी फ़ंक्शंस जो भीतर मौजूद साबित हो सकते हैं, वे ("बाहर" से) कम्प्यूटेबल हैं। बेशक, "अंदर" से, यह मानने के लिए सुसंगत है कि गैर-कम्प्यूटेबल फ़ंक्शन हैं, जब तक कि आगे मज़ा स्वयंसिद्ध जोड़ नहीं दिया जाता है।

N \to N

$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— कोड़ी

तब आपको कुछ ऐसा कहना चाहिए था जैसे "निश्चित कार्य संगणनीय हैं"। "कम्‍प्‍यूटेबल होना चाहिए" कहना कम से कम भ्रामक है।

{H A}_{ω}

$\mathrm{HA}_\omega$

— बाउर