हार्ड गिनती संस्करणों के साथ आसान समस्याएं

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विकिपीडिया उन समस्याओं का उदाहरण देता है जहाँ गिनती संस्करण कठिन है, जबकि निर्णय संस्करण आसान है। इनमें से कुछ सही मिलान गिना रहे हैं, समाधानों की संख्या को $2$ -सैट और टॉपोलॉजिकल सॉर्टिंग की संख्या की गिनती कर रहे हैं ।

क्या कोई अन्य महत्वपूर्ण वर्ग हैं (उदाहरण के लिए लैटिस, पेड़, संख्या सिद्धांत और इतने पर)? क्या ऐसी समस्याओं का एक संकलन है?

वहाँ में समस्याओं के कई प्रकार हैं $P$ जो है $\#P$ -हार्ड गिनती संस्करणों।

वहाँ में एक प्राकृतिक समस्या का एक संस्करण है $P$ है कि और अधिक पूरी तरह से समझ में आ या सामान्य द्विपक्षीय सही मिलान से सरल (पर विवरण शामिल करें क्यों सरल ऐसे होने के रूप में provably के निम्नतम वर्ग में $NC$ -hierarchy और इसी तरह) कुछ अन्य में क्षेत्र (जैसे संख्या सिद्धांत, अक्षांश) या विशेष रूप से सरल द्विपदी ग्राफ के लिए, जिसका गिनती संस्करण $\#P$ -hard है?

लैटिस, पॉलीटॉप्स, पॉइंट काउंटिंग, संख्या सिद्धांत से उदाहरण की सराहना की जाएगी ।

— टी ....
स्रोत

1

संभवतः आप प्राकृतिक समस्याएँ चाहते हैं , क्योंकि [#SAT से कमी करके, # पी-हार्ड के तहत [कमी जो गैर-शून्य संख्या से गुणा करें] में एचपी-कठोर निर्णय समस्याएं हैं] और [पहचान कार्य द्वारा, {x: एक्स 1 + (number_of_variables_ (है

ϕ

$\phi$ )) लोगों या [एक शून्य करने के लिए एक संतोषजनक काम के बाद

ϕ

$\phi$ ]} # पी कठिन कमी की अगली सबसे सख्त प्रकार किया जा रहा है, लेकिन अपने निर्णय संस्करण तुच्छ है]।

@ रिकीडेमर आपका लेखन सुसाइड है। हां मैं प्राकृतिक समस्याएं चाहता हूं।

— टी ....

क्या हम वास्तव में द्विदलीय रेखांकन में पूर्ण मिलान को नहीं समझते हैं? इसके अलावा, समस्या के लिए एक आरएनसी 2 एल्गोरिदम है।

— साशो निकोलेव

1

हाँ, हम नहीं करते। हमारे पास निर्धारक

N C

$NC$ एल्गोरिथ्म नहीं है।

— टी ....

8

यहां वास्तव में उत्कृष्ट उदाहरण है (मैं पक्षपाती हो सकता हूं)।

आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को देखते हुए:
क) क्या इसमें रैखिक विस्तार होता है (यानी, आंशिक ऑर्डर के साथ संगत कुल ऑर्डर)? तुच्छ: सभी पॉकेट में कम से कम एक रैखिक विस्तार होता है
b) कितने में होता है? # इसे पूरा करने के लिए P- पूरा करें (Brightwell and Winkler, Counting Linear Extensions , Order, 1991)
c) क्या हम उन सभी को जल्दी से पैदा कर सकते हैं? हां, निरंतर परिशोधित समय में (प्रूसी और रस्क, उत्पन्न करने वाले रेखीय विस्तार , 1994 का SIAM J)

— गारा प्रूसे
स्रोत

3

+1: मैं मानता हूं कि यह वास्तव में एक उत्कृष्ट उदाहरण है (इसे स्वयं पोस्ट करने की सोच रहा था और फिर इस उत्तर को देखा)। इसके अलावा, ऐसा न हो कि कोई यह कहे कि "क्या तय करने के बारे में अगर कम से कम एक अन्य रैखिक विस्तार है", तो यह समस्या भी पूरी तरह से तुच्छ है: कुल आदेश में 1 एक्सटेंशन है, अन्य सभी पॉसेट में> 1 है। और ठीक 2 एक्सटेंशन का पता लगाना भी आसान है (यह अगर ऐसा होता है तो अतुलनीय तत्वों की एक जोड़ी होती है)। वास्तव में, 7 लीनियर एक्सटेंशन (हनमुरा -इवाता, आईपीएल 2011 देखें ) के साथ पोज का पूरा वर्गीकरण है ।

— जोशुआ ग्रूचो

यह वास्तव में एक अच्छा उदाहरण है। हालांकि एक बहुत "सरल" समस्या एक ही तरह के गुणों का आनंद ले रही है (इस अर्थ में सरल है कि ये गुण साबित करने के लिए लगभग तुच्छ हैं)। डीएनएफ के संतोषजनक कार्य की संख्या की गणना: ए) प्रत्येक गैर-खाली डीएनएफ संतोषजनक है बी) गिनती है # पी-पूर्ण (# एसएटी में कमी) ग) बहुपद देरी (शायद लगातार परिशोधन समय, के साथ किया जा सकता है) इसके बारे में सोचने के लिए)

— Holf

मुझे यह जानने में बहुत दिलचस्पी होगी कि क्या डीएनएफ संतोषजनक असाइनमेंट लगातार परिशोधित समय (कैट) में उत्पन्न हो सकता है। फ्रैंक के साथ उस समय और मेरे पेपर में, 1994 में, रैखिक विस्तार पहले "स्वाभाविक रूप से परिभाषित" ऑब्जेक्ट थे, जिसके लिए गिनती कठिन थी और पीढ़ी जितनी जल्दी हो जाती थी, जब amortized (यानी, कैट)। DNF समाधान इसके लिए एक संभावित उम्मीदवार की तरह लगता है। क्या किसी का संदर्भ है?

— गारा प्रूसे

@GaraPruesse मेरे पास इसके लिए संदर्भ नहीं हैं। मोनोटोन-डीएनएफ के लिए, यह हाइपरग्राफ के हिटिंग सेट को मानने के बराबर है और देरी को बेहतर बनाने के लिए कुछ तकनीकों को केइसुके मुराकामी और टेककी ऊनो dl.acm.org/citation.cfm द्वारा "बड़े पैमाने पर हाइपरग्राफ को दोगुना करने के लिए कुशल एल्गोरिदम" प्रस्तुत किया गया है । आईडी = 2611867 । हमें यह देखना चाहिए कि क्या यह कैट देता है। डीएनएफ के लिए, मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि यदि कोई छोटा खंड है तो आपके पास पहले से ही ब्रूट फोर्सिंग के लिए पर्याप्त समाधान हैं। अन्यथा, आपके पास केवल बड़े खंड हैं और जो तब टकराव की अधिक संभावना रखते हैं और इसका उपयोग कैट एल्गोरिथ्म को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है।

— 8

17

संख्या सिद्धांत से एक दिलचस्प उदाहरण चार वर्गों के योग के रूप में एक सकारात्मक पूर्णांक व्यक्त कर रहा है। यह यादृच्छिक बहुपद समय में अपेक्षाकृत आसानी से किया जा सकता है (मेरे 1986 के लेख को राबिन के साथ https://dx.doi.org/10.1002%2Fcpa.3160390713 पर देखें ), और अगर मुझे सही याद है, तो अब एक नियतकालिक बहुपद-समय भी है समाधान। लेकिन इस तरह के अभ्यावेदन की संख्या गिनने से आप योग-भाजक फलन गणना कर सकते हैं , जो कि यादृच्छिक बहुपद-काल के गुणनखण्ड बराबर है । इसलिए गिनती की समस्या शायद कठिन है। $\sigma(n)$ $n$

— जेफरी शालिट
स्रोत

"तो गिनती की समस्या शायद कठिन है" आपका मतलब शायद

कठिन है? क्या आपके पास सबूत हैं?

# P

$\#P$

— टी .... 10

"शायद कठिन" से मेरा मतलब है कि यह पूर्णांक बहुपद-काल पूर्णांक कारक के बराबर है।

— जेफरी शालित

3

इसलिए, यह स्पष्ट करने के लिए: समस्या यह है नहीं # पी कठिन (जब तक सब नरक टूट ढीला)।

— एमिल जेकाबेक

@JeffreyShallit एक

उदाहरण है?

# P

$\#P$

— टी ....

मुझे लगता है कि निम्नलिखित एक भी सरल उदाहरण है: "क्या

से एक उचित भाजक अधिक से अधिक है

" बनाम "कितने की तुलना में अधिक उचित divisors

करता

है?"। निर्णय संस्करण "

समतुल्य है" के बराबर है इसलिए यह

, लेकिन गणना संस्करण फैक्टरिंग की तुलना में कोई आसान नहीं है।

n

$n$

1

$1$

1

$1$

n

$n$

n

$n$

P

$P$

— डैन ब्रुमलेव

17

ग्राफ थ्योरी से एक बहुत अच्छा और सरल उदाहरण एक अप्रत्यक्ष ग्राफ में ईयूलियन सर्किट की संख्या की गिनती है।

निर्णय संस्करण आसान है (... और कोनिग्सबर्ग समस्या के सात पुलों का कोई हल नहीं है :-)

काउंटिंग संस्करण # पी-हार्ड: ग्राहम आर ब्राइटवेल, पीटर विंकलर: काउंटिंग यूलरियन सर्किट्स # पी-कम्प्लीट है । ALENEX / ANALCO 2005: 259-262

— मारजियो दे बियासी
स्रोत

वह कागज "हमारा दृष्टिकोण यह दिखाने के लिए है कि एक ओरेकल की सहायता से जो यूलरियन सर्किट को गिनता है, एक ट्यूरिंग मशीन कर सकता है ... और" हम यूलरियन झुकावों की संख्या

की गणना करना चाहते हैं "

। "पैरा-ब्रेक" हम किसी भी विषम अभाज्य के लिए निर्माण

, एक ग्राफ

orbs के जिनकी संख्या के बराबर है

सापेक्ष

। "और" हम इस प्रक्रिया के बीच हर प्रधानमंत्री पी के लिए दोहराएँ

और

, जहां

, और ... "निश्चित रूप से सुझाव देते हैं कि वे केवल एक

बजाय एक समानांतर कमी देते हैं

N

$N$

G

$G$

p

$p$

G_{p}

$G_p$

N

$N$

p

$p$

m

$m$

m^{2}

$m^2$

| E | = m

$|E| = m$

-query कमी।

m^{ϵ}

$m^{\epsilon}$

@MarzioDeBiasi नेकां में Eulerian सर्किट निर्णय है?

— टी ....

1

@AJ। आपको बस प्रत्येक नोड की डिग्री की समता की गणना करने की आवश्यकता है और जांचें कि वे सभी हैं। नेकां में जरूर लगता है।

— साशो निकोलोव

4

आप एक

आकार सूत्र या गहराई

एक रैखिक आकार सर्किट का उपयोग करके

बिट्स की समता ले सकते हैं । इसलिए यदि आपका ग्राफ एक आसन्न मैट्रिक्स के रूप में दिया गया है, तो प्रत्येक पंक्ति की समता की गणना करें, नकारात्मक करें, और एक लें। और

बिट्स को रैखिक आकार के फॉर्मूले के साथ किया जा सकता है, इसलिए कुल मिलाकर, आपको

आकार बूलियन फॉर्मूला और

आकार बूलियन सर्किट ऑफ डेप्थ

n

$n$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$

n

$n$

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

O (\log n)

$O(\log n)$ (AND-OR आधार पर)। तो समस्या वास्तव में

।

{N C}^{1}

$\mathsf{NC}^1$

— सशो निकोलोव

2

वास्तव में, समस्या

।

{A C}^{0} [2]

$\mathrm{AC}^0[2]$

— एमिल जेकाबेक

6

आपके दूसरे प्रश्न के बारे में, मोनोटोन-2-सैट (क्लॉज द्वारा अधिकतम 2 पॉजिटिव शाब्दिक अर्थों में CNF- फॉर्मूले की संतोषजनकता का निर्णय) जैसी समस्याएं पूरी तरह से तुच्छ हैं (आपको सिर्फ यह देखना है कि आपका फॉर्मूला खाली है या नहीं) गिनती की समस्या # पी-हार्ड है। यहां तक कि इस तरह के फार्मूले के संतोषजनक कार्य की संख्या का अनुमान लगाना कठिन है (अनुमानित तर्क की कठोरता पर, दान रोथ, आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस, 1996)।

— holf
स्रोत

5

से [Kayal, सीसीसी 2009] : स्पष्ट रूप से कुछ बिंदु पर annihilating बहुआयामी पद का मूल्यांकन

अमूर्त से: `` यह एकमात्र प्राकृतिक कम्प्यूटेशनल समस्या है जहाँ किसी वस्तु के अस्तित्व का निर्धारण (हमारे मामले में बहुपत्नी बहुपद) को कुशलता से किया जा सकता है लेकिन वस्तु की वास्तविक गणना बहुत मुश्किल है। '

को एक फ़ील्ड होने दें और $\mathbb{F}$ का एक सेट हो -कई डिग्री से अधिक -variate बहुआयामी पदएक -annihilating बहुपदहै किसी भी (गैर तुच्छ) सेंट $\vec{f} = (f_1, ..., f_k)\in\mathbb{F}[x_1, ..., x_n]$ $k$ $d$ $n$ $\mathbb{F}.$ $\vec{f}$ $A$ $A(f_1, ..., f_k) = 0.$

निर्णय आसान है: से अधिक किसी भी क्षेत्र, और किसी भी के लिए बहुआयामी पद - अगर इस तरह के annihilating है के लिए । ((एक आयाम-गिनती तर्क के माध्यम से।)) $k$ $(f_1, ..., f_k)$ $k \ge n+1,$ $A$ $(f_1, ..., f_k)$

गिनती मुश्किल है: परिभाषित करें annihilating-EVAL कुछ बिंदु पर एक annihilating बहुपद का मूल्यांकन करने की कार्यात्मक समस्या के रूप में : एक प्रमुख को देखते हुए और एक सेट न्यूनतम monic annihilating है कि $p,$ $(f_1, ..., f_k)\in\mathbb{Z}[x_1, ..., x_n]$ उत्पादन पूर्णांक $A(t_1, ..., t_k)\in\mathbb{Z}[t_1, ..., t_k],$ $A(0, ..., 0)\bmod{p}.$

Annihilating-EVAL है -हार्ड। इसके अलावा, annihilating बहुपद एक छोटे सर्किट प्रतिनिधित्व जब तक नहीं है गिर। $\#\mathsf{P}$ $A(t_1, ..., t_k)$ $\mathsf{PH}$

— डैनियल एपोन
स्रोत

1

मार्ज़ियो के उदाहरण के लिए, 15.2 के दावे के कागज के प्रमाण से प्रतीत होता है कि वे केवल समानांतर कटौती के तहत कठोरता दिखाते हैं, बजाय

नीचे

-query कटौती।

m^{ϵ}

$m^{\hspace{.02 in}\epsilon}$

1

जिन संसाधनों को मैं पा सकता हूं वे सभी परिभाषाओं पर असहमत हैं। चलो AE समस्या आपके उत्तर पर चर्चा करती है। (... जारी)

1

(जारी ...) मैं अधिक सटीक क्या आधार स्तरीय वे का उपयोग बाहर काम करने के प्रयास नहीं किया है, लेकिन अगर उनके परिणाम #P से बेहतर था होगा काफी आश्चर्यचकित हो =

(

$\big(\hspace{-0.07 in}$ DLOGTIME- वर्दी टीसी

^{0}

$^0$

)

$\hspace{-0.06 in}\big)$

^{| |}

$^{\hspace{-0.06 in}||\hspace{-0.06 in}}$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt{n}]}

$^{\hspace{-0.05 in}[\sqrt{n}]}$ । (... जारी)

1

(जारी ...) जहाँ तक मैं देख सकते हैं, यह करता है नहीं का पालन करें कि LWPP

सांसद

\subseteq

$\subseteq$

^{AE}

$^{\text{AE}}$

^{[\sqrt[3]{n}]}

$^{[\sqrt[3]{n}]}$

/

$\hspace{-0.06 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ पाली ।

1

अधिक आम तौर पर, यानी मनमानी

k

$k$ (यहां तक कि

से भी कम ), निर्णय याकूब की कसौटी के कारण आसान है, है ना? (ध्यान दें कि जेकोबियन मानदंड केवल विशेषता में काम करता है>

; छोटी सकारात्मक विशेषता में, मित्तमान-सक्सेना-स्किबेल्नेर के कारण एक संशोधित जेकोबियन मानदंड है , लेकिन यह स्पष्ट रूप से केवल

ओर जाता है। निर्णय के लिए एल्गोरिथ्म ...)

n

$n$

m a x d e g f_{i}

$max deg f_i$

{N P}^{# P}

$\mathsf{NP}^{\mathsf{\# P}}$

— जोशुआ ग्रोको