एक नकली से एक असली फूरियर स्पेक्ट्रा को भेद करने की जटिलता क्या है?

Question

एक मशीन को एक यादृच्छिक बूलियन फ़ंक्शन , और दो फूरियर स्पेक्ट्रा और तक पहुंच प्रदान की जाती है ।$PH$$f:\{0,1\}^n \to \{ -1,1 \}$$g$$h$

किसी फ़ंक्शन का फूरियर स्पेक्ट्रा को : के रूप में परिभाषित किया गया है$f$$F:\{0,1\}^n \to R$

$F(s)=\sum_{x\in\{0,1\}^n} (-1)^\left( s\cdot x \mod\ 2 \right) f(x)$

में से एक $g$ या $h$ का सच फूरियर स्पेक्ट्रा है $f$ और अन्य एक बस एक नकली फूरियर एक अज्ञात यादृच्छिक बूलियन समारोह से संबंधित स्पेक्ट्रा है।

यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि $PH$ मशीन, किसी भी s के लिए F (s) का अनुमान नहीं लगा सकती है ।$F(s)$$s$

उच्च सफलता की संभावना के साथ निर्णय लेने की क्वेरी जटिलता क्या है जो एक सच है?

इसके बाद से यदि इस समस्या में नहीं है मेरे लिए दिलचस्प है, $PH$ है, तो एक दिखा सकते हैं मौजूद है जो करने के लिए एक दैवज्ञ रिश्तेदार $BQP$ नहीं के सबसेट में $PH$ ।

Comments

@ मिरोजतबा: जबकि मुझे समस्या और प्रेरणा का पता है, तो अच्छा होगा यदि आप अपने प्रश्न को संपादित कर सकते हैं और "फूरियर स्पेक्ट्रा" को परिभाषित कर सकते हैं और उन पाठकों के लिए प्रेरणा की व्याख्या कर सकते हैं जो इस समस्या से परिचित नहीं हैं (या सिर्फ आपके द्वारा उपयोग की गई शब्दावली)। आपको इस तरह से लोगों से अधिक उत्तर मिल सकते हैं। इसके अलावा, यह आमतौर पर पसंद किया जाता है यदि आप अतिरिक्त टिप्पणियों को जोड़ने के लिए प्रश्न को संपादित करते हैं, बजाय उन्हें टिप्पणी थ्रेड में पोस्ट करें। (ताकि पाठकों को केवल आपके प्रश्न को पढ़ने की जरूरत है और टिप्पणियों को नहीं।)

— रॉबिन कोठारी

हो सकता है कि मैंने समस्या को गलत समझा हो, लेकिन ऐसा लगता है कि यह समस्या बहुत कठिन है। यदि जी और एच बहुत करीब हैं (कहते हैं कि वे केवल 1 बिट पर भिन्न होते हैं), एक बीक्यूपी मशीन कैसे तय करती है कि कौन सा एफ का सही फूरियर स्पेक्ट्रम है? क्या खोज समस्या पर निचले को बाध्य नहीं होना चाहिए कि यह क्वांटम कंप्यूटर के लिए कठिन है?

— रॉबिन कोठारी

मेरा एक और बुनियादी सवाल है। एक मनमाना फ़ंक्शन दिया गया, क्या यह बताना आसान है कि क्या यह वास्तव में बूलियन फ़ंक्शन का फूरियर स्पेक्ट्रम है?

— सुरेश वेंकट

एक तरफ, चूंकि वह क्रॉसपोस्ट करने से दो दिन पहले इंतजार कर रहा था, और वह भी यहां कोई जवाब नहीं मिलने के बाद, मुझे लगता है कि ऐसा करना पूरी तरह से ठीक है। संकल्प को यहां भी देखें: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/673/…

— सुरेश वेंकट

PH मशीन क्या है? वास्तव में, यह अप्रासंगिक लगता है यदि आप केवल क्वेरी जटिलता में रुचि रखते हैं, है ना? इस मामले में समस्या एक सरल रैखिक बीजगणित समस्या को उबालने लगती है, जो संभवतः एक घातीय क्वेरी जटिलता देती है।

— डोमोटरप

Answer 1

क्षमा करें मुझे देर हो गई - यह एक अद्भुत प्रश्न है! जैसा कि अन्य लोग पहले ही बता चुके हैं, इसीलिए मैंने अपने बीक्यूपी बनाम पीएच पेपर में सवाल पूछा , और मैंने 2008 में बिना सफलता के 4 या 5 महीने इस पर काम करने में क्यों बिताए। सवाल का जवाब देने का एक तरीका साबित करना होगा। बहुत अधिक सामान्य कथन जिसे मैंने "सामान्यीकृत लिनिअल-निसान अनुमान" कहा --- --- लेकिन दुर्भाग्य से, यह अनुमान गलत निकला , कम से कम गहराई 3 और उच्चतर के सर्किट के लिए। (मुझे अभी भी लगता है कि गहराई -2 सर्किट के लिए यह सच है, जो कम से कम बीक्यूपी और एएम के बीच एक अलंकृत जुदाई का उत्पादन करेगा।) अधिक हालिया विचारों (नवीनतम, जहां तक ​​मुझे पता है) के लिए बीक्यूपी और पीएच के बीच एक अलंकार अलगाव की ओर। Fefferman, Shaltiel, Umans द्वारा अच्छा फॉलोअप पेपर देखें ,

Comments

ग़रीबी के प्रश्न का उपरोक्त कथन समान है या थोड़ा अलग है? यह तुम्हारा एक संबंधित संस्करण है?

— vzn

यह एक मामूली संस्करण है, लेकिन मेरा मानना ​​है कि इसके समकक्ष साबित होना मुश्किल नहीं है। सबसे पहले, निश्चित रूप से यदि आप फूरियर जाँच को हल कर सकते हैं तो आप घारिबी की समस्या को भी हल कर सकते हैं (बस जी एल्गोरिथ्म को अलग से जी और एच के लिए चलाएं)। ऐंठन के लिए, यदि आप ग़रीबी की समस्या को हल कर सकते हैं, तो एफसी का एक उदाहरण दिया जाता है, दूसरे FC फ़ंक्शन को "g" या "h" समान रूप से यादृच्छिक रूप से नाम दें, और दो में से दूसरे को सेट करें (क्रमशः h या g) होने के लिए एक यादृच्छिक समारोह। अगर ग़रीबी एल्गोरिथ्म हमेशा एफसी उदाहरण से मूल फ़ंक्शन को चुनता है, तो यह सबूत है कि उदाहरण यादृच्छिक के बजाय संबंधित था।

— स्कॉट एरॉनसन

अधिक ज्ञात है जब एफ पी में है?

— गिल कालई

Gil: नहीं सच में! फिर आपको BQP में एक असंबंधित वादा समस्या मिलती है, जिसे हम PH में नहीं जानते हैं। निश्चित रूप से, आप छद्म आयामी कार्यों द्वारा च और जी की जगह ओरेकल समस्या के "यादृच्छिक" मामले का अनुकरण कर सकते हैं (समय में गणना की गई है कि पीएच मशीन की तुलना में एक बड़ा बहुपद है)। कठिन हिस्सा यह है, कि आप ओरेकल समस्या के "फॉरेलेटेड" मामले का अनुकरण कैसे करते हैं (जहां f, G के फूरियर रूपांतरण के करीब है)? यानी, आप इस तरह के f और g के लिए छोटे सर्किट कैसे प्रदान करते हैं जो "पूरे खेल को दूर नहीं" करते हैं? (साइमन की समस्या के साथ एक समान मुद्दा होता है।)

— स्कॉट आरोनसन

Answer 2

स्कॉट आरोनसन इस सवाल का जवाब देने के लिए दुनिया के सबसे अच्छे व्यक्ति हो सकते हैं, हो सकता है कि इस पोस्ट के बाद उनका बेहतर जवाब होगा। उन्होंने मूल समस्या का प्रस्ताव दिया, जिस पर यह पोस्ट किया गया प्रश्न बहुत मामूली रूप से भिन्न प्रतीत होता है, तथाकथित फ़ॉयर चेकिंग समस्या (टिप्पणियों में उस पर अधिक विवरण)। समस्या निकट संबंधी / लगभग दो महत्वपूर्ण जटिलता वर्गों PH और BQP को अलग करने के बराबर है जो QM जटिलता सिद्धांत की एक प्रमुख खुली समस्या है, और यह संभवतः बहुत कठिन है। ऐसा प्रतीत नहीं होता है कि इस पर प्रत्यक्ष / आगे के कई शोध इस समस्या पर किए गए हैं जो अब तक आरोनसन के अलावा किसी और ने किए हैं और शायद वह भी नहीं (इसके स्पष्ट रूप से केवल 2 साल से अधिक पुराना है)।

हालाँकि यहाँ पर एरॉनसन के अलावा किसी अन्य द्वारा कम से कम एक पेपर है जो कुछ नए परिणामों के साथ अनुमान / समस्या पर ध्यान केंद्रित / बनाता है।

एक्सपेंनेशियल स्पीडअप फर्नांडो जीएसएल ब्रांडो और मिशैल होरोडेकी द्वारा जेनेरिक हैं

हमारे पेपर [4] में हम फूरियर चेकिंग समस्या को सामान्य करते हैं [1] और बताते हैं कि फूरियर ट्रांसफॉर्म, समस्या की परिभाषा और क्वांटम एल्गोरिथम दोनों में इसे हल करते हुए, क्वांटम सर्किट के एक बड़े वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इनमें किसी भी (संभवतः गैर-एबेलियन) परिमित समूह पर फूरियर रूपांतरण और क्वांटम सर्किट के सेट पर प्राकृतिक वितरण से लगभग किसी भी पर्याप्त रूप से लंबे क्वांटम सर्किट शामिल हैं। हम इस तरह के सभी सर्किटों के लिए क्वांटम और पोस्टसेलेक्टेड शास्त्रीय क्वेरी जटिलताओं के घातीय पृथक्करण प्राप्त करते हैं।

Comments

परिशिष्ट: ~ ओ पेपर के [1] Ref में को हल करने के लिए विशेष रूप से एक संभावित / प्रशंसनीय मार्ग के रूप में फूरियर जाँच समस्या तैयार की । $BQP\nsubseteq PH$

— vzn