अधिकतम वजन मिलान और सबमॉड्यूलर फ़ंक्शन

यह देखते हुए एक द्विपक्षीय ग्राफ सकारात्मक वजन के साथ जाने के साथ ग्राफ में अधिकतम वजन मिलान के बराबर । $G = (U \cup V, E)$ $f: 2^U \rightarrow \mathbb{R}$ $f(S)$ $G[S\cup V]$

क्या यह सच है कि एक सबमॉड्यूलर फंक्शन है? $f$

matching submodularity

— जॉर्ज ऑक्टेवियन रबांका
स्रोत

तुम क्या सोचते हो? क्या आपने इसे साबित / नापसंद करने की कोशिश की है?

— युवल फिल्मस

वास्तव में ऐसा लगता है कि यह सच होना चाहिए लेकिन मैं इसे साबित नहीं कर सका। इसके अलावा, मुझे लगता है कि अगर यह सच है तो यह एक प्रसिद्ध परिणाम होना चाहिए लेकिन मुझे एक संदर्भ नहीं मिला।

— जॉर्ज ऑक्टेवियन रबैंका

यह अनविटेड केस के लिए सही है, क्योंकि इसे घटाकर न्यूनतम किया जा सकता है। यह स्पष्ट नहीं है कि भारित संस्करण कैसे साबित किया जाए ...

— चाओ जू

पर विचार करें

जिनका वजन वज़न 1,1,1,2 है।

K_{2, 2}

$K_{2,2}$

— एंड्रेस सलामोन

@ AndrásSalamon ऐसा लगता है कि अंतिम चरण में आप मानते हैं कि

एडिटिव है, जो सच नहीं है। की अधिकतम मिलान

कोने कि पहले से ही दोनों के मिलान द्वारा इस्तेमाल किया गया है का उपयोग कर सकते

और

। मेरे पास अभी इसके लिए एक प्रमाण है लेकिन निश्चित रूप से इससे कहीं अधिक शामिल है।

f

$f$

S \cap T

$S\cap T$

S ∖ T

$S \setminus T$

T ∖ S

$T \setminus S$

— जॉर्ज ऑक्टेवियन रबैंका

परिभाषा । किसी दिए गए परिमित सेट के लिए , एक सेट समारोह submodular है अगर किसी के लिए यह मानती है कि: $A$ $f:2^A \rightarrow \mathbb{R}$ $X, Y \subseteq A$

f (X) + f (Y) \geq f (X \cup Y) + f (X \cap Y) .

$f(X) + f(Y) \geq f(X \cup Y) + f(X \cap Y).$

लेम्मा एक द्विपक्षीय ग्राफ को देखते हुए सकारात्मक बढ़त वजन के साथ, चलो समारोह नक्शे कि हो में अधिकतम वजन मिलान के मूल्य के । तब सबमॉड्यूलर है। $G = (A \cup B, E)$ $f: 2^A \rightarrow \mathbb{R}^+$ $S\subseteq A$ $G[S \cup B]$ $f$

सबूत। फिक्स दो सेट और जाने और रेखांकन के लिए दो matchings हो और क्रमशः। लेम्मा साबित करने के लिए पता चलता है कि उस में किनारों विभाजन के लिए संभव है पर्याप्त है और दो संबंध तोड़ना matchings में और $X, Y \subseteq A$ $M_\cap$ $M_\cup$ $G[(X\cap Y) \cup B]$ $G[(X \cup Y) \cup B]$ $M_\cap$ $M_\cup$ $M_X$ $M_Y$ रेखांकन के लिए और क्रमशः। $G[X\cup B]$ $G[Y\cup B]$

के किनारों और बारी रास्तों और चक्र का एक संग्रह के रूप में। चलो इस संग्रह को निरूपित और देख सकते हैं कि का कोई चक्र से कोने शामिल या । ऐसा इसलिए होता है क्योंकि उन कोने से मेल नहीं खाता है। $M_\cap$ $M_\cup$ $\mathcal{C}$ $\mathcal{C}$ $X\setminus Y$ $Y\setminus X$ $M_\cap$

चलो में रास्तों में से सेट हो में कम से कम एक शीर्ष के साथ और जाने में रास्तों में से सेट हो में कम से कम एक शीर्ष के साथ । इस तरह के दो मार्ग नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए हैं। $\mathcal{P}_X$ $\mathcal{C}$ $X \setminus Y$ $\mathcal{P}_Y$ $\mathcal{C}$ $Y \setminus X$

का दावा 1. । $\mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y = \emptyset$

विरोधाभास मौजूद है एक पथ से मान लें । चलो में एक शीर्ष हो पथ पर और इसी तरह करते हैं में एक शीर्ष हो पथ पर । निरीक्षण के बाद से न कि और न ही संबंधित करने के लिए वे मिलान से संबंधित नहीं है परिभाषा से, और इसलिए वे पथ के अंतिम बिंदुओं हैं । इसके अलावा, दोनों और के बाद से $P \in \mathcal{P}_X \cap \mathcal{P}_Y$ $x$ $X\setminus Y$ $P$ $y$ $Y \setminus X$ $P$ $x$ $y$ $X \cap Y$ $M_\cap$ $P$ $x$ में हैं , पथ भी लंबाई है और क्योंकि यह एक बारी पथ है, प्रथम या अंतिम बढ़त के अंतर्गत आता है । इसलिए मैचों या तो या , जो परिभाषा के विपरीत है और दावा साबित होता है। $y$ $A$ $P$ $M_\cap$ $M_\cap$ $x$ $y$

चलो और यह स्पष्ट है कि और के बाद से नहीं करता है एक दूसरे को काटना दावा 1 से, और

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cap)$

M_{Y} = (P_{X} \cap M_{\cap}) \cup ((C ∖ P_{X}) \cap M_{\cup}) .

$M_Y = (\mathcal{P}_X \cap M_\cap) \cup ( (\mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X) \cap M_\cup).$

M_{X} \cup M_{Y} = M_{\cap} \cup M_{\cup}

$M_X \cup M_Y = M_\cap\cup M_\cup$

M_{X} \cap M_{Y} = M_{\cap} \cap M_{\cup}

$M_X \cap M_Y = M_\cap \cap M_\cup$ । प्रमेय यह पता चलता है कि बनी हुई है साबित करने के लिए

और

के लिए मान्य matchings हैं

और

क्रमशः। कि देखने के लिए

के लिए एक वैध matchings है

पहले देख सकते हैं कि इस बात का कोई शिखर

के अनुरूप है

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

M_{X}

$M_X$

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

P_{X}

$\mathcal{P}_X$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

दूसरे को काट नहीं करता है

परिभाषा के द्वारा। इसलिए,

केवल के कोने का उपयोग करता है

। दूसरा देख सकते हैं कि हर शिखर

के सबसे पर एक किनारे के अनुरूप है

अन्यथा के बाद से

की या तो दो किनारों के अंतर्गत आता है

या के दो किनारों

, परिभाषा का खंडन। यह साबित करता है कि

M_{\cap}

$M_\cap$

Y ∖ X

$Y \setminus X$

M_{X}

$M_X$

X \cup B

$X \cup B$

x \in X

$x\in X$

M_{X}

$M_X$

x

$x$

M_{\cup}

$M_\cup$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{X}

$M_X$ के लिए एक वैध मिलान है

; दिखा रहा है कि

के लिए एक वैध matchings है

के समान है।

G [X \cup B]

$G[X\cup B]$

M_{Y}

$M_Y$

G [Y \cup B]

$G[Y\cup B]$

— जॉर्ज ऑक्टेवियन रबांका
स्रोत

यह बहुत अच्छा लग रहा है! एक मामूली सुझाव के रूप में:

और

की परिभाषा सममित नहीं है, इसलिए आपका अंतिम दावा है कि "

... समान है जो मैं तत्काल हूं।" यह (मुझे लगता है कि) और अधिक स्पष्ट है अगर आप जाने

M_{X}

$M_X$

M_{Y}

$M_Y$

M_{Y}

$M_Y$

निरूपित में किसी भी शिखर को छू नहीं जुड़ा घटकों

, और फिर सेट

C^{'} ≐ C ∖ P_{X} ∖ P_{Y}

$\mathcal{C'} \doteq \mathcal{C} \setminus \mathcal{P}_X \setminus \mathcal{P}_Y$

X Δ Y

$X \Delta Y$

और

के साथ एक ही होने के लिए

और

बदली और फिर पिछले

करने के लिए बदल

।

M_{X} = (P_{X} \cap M_{\cup}) \cup (P_{Y} \cap M_{\cap}) \cup (C^{'} \cap M_{\cap})

$M_X = (\mathcal{P}_X \cap M_\cup) \cup (\mathcal{P}_Y \cap M_\cap) \cup (\mathcal{C'} \cap M_\cap)$

M_{Y}

$M_Y$

X

$X$

Y

$Y$

M_{\cap}

$M_\cap$

M_{\cup}

$M_\cup$

— एंड्रयू मॉर्गन